2021年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2021年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、填空題（滿分54分，共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分）.

1.設(shè)集合4={4^-3*-4<0},B=（x\-2<x<2],貝|JAC1B=.

2.復(fù)數(shù)z#L（i為虛數(shù)單位）的共粗復(fù)數(shù)為.

1

3.在無(wú)窮等比數(shù)列{〃“}中，"2=1,"5=玲，則白以（a「a2+…+a/=.

sinx1

4.已知函數(shù)f（x）=|1|,若/（。）=2021,則/（-〃）=.

31

x1

5.已知角a的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（2,4）.則

55

cos2a=.

T=1+t

6.若直線/的參數(shù)方程為1、L（reR），則直線/的傾斜角為_________.

y=l+V3t

7.在（1-2）6的二項(xiàng)展開式中，中間一項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

x

8.如圖，在正六棱柱的所有棱中任取兩條，則它們所在的直線是互相垂直的異面直線的概

率為____________

9.已知雙曲線25-/1仁〉0,b>0）的兩焦點(diǎn)分別為丹、Fl,P為雙曲線上一點(diǎn)，PF1

_Lx軸，且\PF2\是|PFd與\FIF2\的等差中項(xiàng)，則雙曲線的漸近線方程

為.

10.若四邊形4BC。是邊長(zhǎng)為4的菱形，P為其所在平面上的任意點(diǎn)，則|忌.我一說(shuō).而|

的取值范圍是.

+C-（-冗冗iii/2九3冗、

tanx,xt（-r-,—JU-y）

11.己知函數(shù)/（x）=|廠，若/'（x）在區(qū)間D

ci~仁,九兀

|—3x+3^，x€（—,—21]

上的最大值存在，記該最大值為K{。},則滿足等式K{[0,a）}=3?K{[a,20}的實(shí)數(shù)a

的取值集合是.

12.已知數(shù)列{a“}(〃eN*)滿足的+1=|。2-。1|+|的-㈤+…+|a”-a”-il(〃22),且防=1,a2

=a(a>l),則0+42+43+…+“24=.(結(jié)果用含。的式子表示)

二、選擇題(每小題5分).

13.設(shè)p：logjxVO,q：x<\,則p是q成立的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分亦非必要條件

14.如圖是函數(shù)f(x)=sin(兀x哈)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，該圖象分別與*軸、y軸相交

于A、B兩點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)A的直線相交于另外兩點(diǎn)C、D,:為x軸上的基本單位向量，則

(BC+BD)-I=()

15.已知函數(shù)f(x)=X+-&(a>0),0<Xl<X2,且/(X|)—f(JC2)?給出以下結(jié)論：

X

①11^1>道恒成立；②f(2F-xP〈f(X2)恒成立.則()

A.①正確，②正確B.①正確，②錯(cuò)誤

C.①錯(cuò)誤，②正確D.①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤

16.在直角坐標(biāo)平面上，到兩條直線y=0與y=x的距離和為3的點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的

面積是()

A.18B.1872C.36D.36A/2

三、解答題(共有5題，滿分76分)

17.已知函數(shù)f(x)=log2(2X+l).

(1)證明：/(x)在區(qū)間(-8,+8)上是增函數(shù)；

(2)若函數(shù)/(x)=m+f(x)在區(qū)間［0,2］上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐M-4BCZ)中，已知AM_L平面ABC。，AB1.AD,AB//CD,AB=2CD,

且AB=AM=A￡>=2.

(1)求四棱錐M-ABC。的體積；

(2)求直線仞C與平面AOM所成的角.

M

19.某植物園中有一塊等腰三角形ABC的花圃，腰長(zhǎng)為20米，頂角為30。，現(xiàn)在花圃內(nèi)

修一條步行道(步行道的寬度忽略不計(jì))，將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰

和百合.步行道用曲線OE表示(￡＞、E兩點(diǎn)分別在腰48、AC上，以下結(jié)果精確到0.01).

(1)如果曲線OE是以A為圓心的一段圓弧(如圖1),求4。的長(zhǎng)；

(2)如果曲線OE是直道(如圖2),求AO+AE的最小值，并求此時(shí)直道QE的長(zhǎng)度.

26

20.(16分)如圖，已知橢圓「：亍+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓「上異

于A、8的一點(diǎn)，直線/：x=4,直線AP、BP分別交直線/于兩點(diǎn)C、D,線段CD的中

點(diǎn)為E.

(1)設(shè)直線AP、的斜率分別為以八kBP,求“”?總p的值；

(2)設(shè)△ABP、ZVIBC的面積分別為$、S2,如果a=2Si,求直線4P的方程；

(3)在x軸上是否存在定點(diǎn)N(〃，0),使得當(dāng)直線NP、NE的斜率比戶、ZNE存在時(shí)，

kNP，kNE為定值?若存在，求出比PMNE的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(18分)對(duì)于有限集5={。1,ai,?3,■■■,am.\,am}(meN,,,如果存在函數(shù)

/(x)(/U)=》除外)，其圖象在區(qū)間。上是一段連續(xù)曲線，且滿足f(S)=S,其

中/(S)={f(x)\x&S,S^D},那么稱這個(gè)函數(shù)f(x)是尸變換，集合S是P集合，數(shù)

歹ija”?2,。3，■am-1,a,”是尸數(shù)列.

例如，5={1,2,3}是P集合，此時(shí)函數(shù)/(x)=4-x是P變換，數(shù)列1,2,3或3,2,

1等都是尸數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列1,2,5,8,9是否是P數(shù)列？說(shuō)明理由；

(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列{a,,)(1W〃〈2O21,〃€N*)是尸數(shù)列，若尸變換f(x)=-)

X

求,,?。2021的值;

(3)元素都是正數(shù)的有限集S={a”。2,。3,…，a、-i，am}(m€N*,〃?23),若。(勾,

總有」€S，其中IWi,jWm.試判斷集合S是否是「集合？請(qǐng)說(shuō)明理由.

ai

參考答案

一、填空題(滿分54分，共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分).

1.設(shè)集合4={4^-3x-4<0},B={x\-2<x<2],則(-1,2).

解：A={x4-3x-4V0}={*(x-4)(x+1)<0}={x|-l<x<4),ADB={R-IVx

<2).

故答案為：(-1,2).

2.復(fù)數(shù)z#1(i為虛數(shù)單位)的共軌復(fù)數(shù)為2+i.

1

解：Vz=^i-=-i+2,

1

:.z=2+i,

故答案為：2+/.

3.在無(wú)窮等比數(shù)列{斯}中，“2=1,。5=上，則lim(ai+a2+--+an)=2.

27n+8—2—

解：在無(wú)窮等比數(shù)列{斯}中，由〃2=1,。5=*，

得q3=產(chǎn)=/，即4=^■，則ai=—=3-

a之Nfo1q

a139

Alim(ai+a2+-+an)^^—=~至.

n—81q1」乙

3

故答案為：

smx1

4.已知函數(shù)f(x)=|_LI，若/(。)=2021,則f(-a)=-2021.

31

x1

sinx1

解：函數(shù)f(x)=|1.\=s\nx-y,函數(shù)是奇函數(shù)，

x

所以/(。)=2021,則/(-a)=-f(a)=-2021.

故答案為：-2021.

5.已知角a的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)「(整，4)-則

55

cos2a==7

25—

解：因?yàn)榻莂的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（2，之）,

55

所以tana=4

3

16

T

cosCl+sina1+tana

故答案為：-

25

6.若直線/的參數(shù)方程為X4=l+,tL（￡R），則直線/的傾斜角為IT魯.

ly=l+V3t—3—

x=]+1

解：直線/的參數(shù)方程為＜r（三R）,消去參數(shù)得到：y=l+J§（x-l）,整理得

y哂x+1-正，

所以直線的斜率Z=tan6

由于06(0,11),

jr

故答案為：.

o

7.在（1-2）6的二項(xiàng)展開式中，中間一項(xiàng)的系數(shù)為-160.（用數(shù)字作答）

解：???（1-2）6的二項(xiàng)展開式共7項(xiàng),

中間一項(xiàng)為第4項(xiàng)，且73+1=C]（-2）3=-160廣3,

°x

二中間一項(xiàng)的系數(shù)為-160.

故答案為：-160.

8.如圖，在正六棱柱的所有棱中任取兩條，則它們所在的直線是互相垂直的異面直線的概

率為—善_?

解：由正六棱柱的18條棱中任取兩條，共有C窘=153種,

1C

考慮側(cè)棱與底面垂直，與底面的直線都垂直，

其中是互相垂直的異面直線共有2X6X4=48種,

所以它們所在的直線是互相垂直的異面直線的概率為若7=號(hào).

153bl

故答案為：

22

9.已知雙曲線弓-31(a>0,b>0)的兩焦點(diǎn)分別為Q、Fl,P為雙曲線上一點(diǎn)，PF1

_Lx軸，且IPBI是IPQI與|尸產(chǎn)2|的等差中項(xiàng)，則雙曲線的漸近線方程為丫=±2揚(yáng).

解：設(shè)Fi(-c,0),F2(c,0),由x=c,可得y=±bj?！恪猐_=i——,

Ua

2

則|PF2|=EX-,

a

由戶為雙曲線的右支上一點(diǎn)，可得|PF］|=2q+|PB|=2〃+2_,

a

22

由IPF2I是|PH|與尸畫的等差中項(xiàng)，可得a_=24+紅+2°,

aa

可得b2=c2-a2=2a(a+c),即為c=3a,

則z?=Vc2-a2=2V2a>

所以雙曲線的漸近線方程為y=±2&x.

故答案為：y=±2技.

10.若四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的菱形，P為其所在平面上的任意點(diǎn)，RiJIPA-PC-PB-PDI

的取值范圍是［0,16).

解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=a,OD=b,A(0,a),C(0,

-a),B(b,Q),D(-b,0),P(x,y),

7r

則OA=4sina,。。=4cosa,aE(0,,

貝Ij2aw(0,n),

p^=(-x,a-y),'pQ=(-x,-a-y),pg=(Z?-x,-y),pp=(-b-x,-y),

所以而,氏=爐+產(chǎn)一〃，而?麗*凡

則I直■瓦-而,瓦|=爐-〃2l=16|cos2(x-sin2(x|=16|cos2al€[0,16).

故答案為：［0,16).

y

r(兀兀i11/2兀3幾

tanx,xt—JU(-^-2)

11.已知函數(shù)f(x)=1八七

,若/(x)在區(qū)間D

弋3_/-ur兀2兀7

-6x+3^3*xW(E，-I

上的最大值存在，記該最大值為K｛。｝,則滿足等式K｛[0,a)｝=3?K｛[m2a]｝的實(shí)數(shù)a

的取值集合是_｛等，

解：函數(shù)/(x)的大致圖象如右圖所示,

由K{[0,a)}=f(x)???,x6[0,a),結(jié)合圖象可知，

oo

此時(shí)K{[0,a))=V3,貝iJK{[a,2a])型，x€[a,2a]，

而?)=乎時(shí)，x號(hào)或x節(jié)，

當(dāng)a#時(shí)，K{[a,2a])=K{唾，等]}=-攀■X等+入母平，滿足條件;

y99兒94

當(dāng)2aW，即a書時(shí)，KUa,2a]}=K{磊，]=tan-^—=-^->滿足條

oLZ12□03

件.

，實(shí)數(shù)a的值可以為萼或咚.

912

故答案為：修7兀

~12

12.已知數(shù)列{a〃}(n€N*)滿足。/1=|政-。1|+3-公|+…+|。〃?Mil(心2),且的=1,。2

=a(?>1),則。1+〃2+。3+…+〃24=23。+210.(結(jié)果用含。的式子表示)

解：因?yàn)??！?1=|。2-。1|+|。3-〃2什…+|斯--1|,

所以-。||+|。3-。2什…+1?！?1-?！?2|(〃23),

所以an+\-an—\an-an-\\9所以a〃+i=a〃+|a〃-an-\\9

因?yàn)椤?=1,ai—a(tz>l),

所以〃3=。2-a\=a-1,

。4=。3+|。3-。2|=〃，

。5=?4+|。4-。3|=。+1，

〃6=。5+|。5-。4|=。+2,

所以小-小一1=1,心3,

1n=l

所以〃〃=<a,n=2,

a-hi-4,n》3且nWN*

所以。1+。2+。3^■^。24=1+。+1)+。+(。+1)+…+(a+20)

=23〃+1+2+3+…+20

=23〃+210,

即。1+〃2+。3+"+〃24=23〃+210.

故答案為：23a+210.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.設(shè)p：log2X<0,q：x<l,則〃是q成立的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分亦非必要條件

解：由于命題p=log2XV0=log2100<X〈l；

.'.P：0<x<l=p：x<1,q推不出p；

故P是q的充分不必要條件.

故選：A.

JT

14.如圖是函數(shù)f（x）=sin（兀x哈）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，該圖象分別與x軸、y軸相交

于A、8兩點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)A的直線相交于另外兩點(diǎn)C、D,：為x軸上的基本單位向量，則

R1

解：由題意得A0）,B（0,4）,A為CZ）的中點(diǎn)，

02

BA=嚕，彳=°），BC+BD=2BA=仔-1）,

0Z6

所以（BC+BD）-I=TX1+0X

故選：D.

15.已知函數(shù)f（x）=x+■生（〃>0）,0<X|<X2,且/（Xl）=/（及），給出以下結(jié)論：

X

①號(hào)11〉道恒成立；@f（2VI-x1）<f（x2）m^.則（）

A.①正確，②正確B.①正確，②錯(cuò)誤

C.①錯(cuò)誤，②正確D.①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤

解：對(duì)于①，因?yàn)?<X|〈X2,且/（尤|）=/（X2）,所以X2—~（。>0）,

于是3-及）（X|X2-6Z）=0,

因?yàn)閄|〈X2,所以X1X2=4,所以X[+*2〉^^^=2〃，于是21黃2〉遙，所以①

對(duì);

對(duì)于②，因?yàn)?<Xl<X2,且/（即）=f（X2），由函數(shù)f（x）=x+更（”>0）的性質(zhì)得，0

X

<xi<Va<%2，

由①知遍<2sqrta-X[<X2，因?yàn)閒（x）在（JZ，+°°）上單調(diào)遞增，所以

f（2?-X]）〈f（X2）,所以②對(duì).

故選：A.

16.在直角坐標(biāo)平面上，到兩條直線y=0與y=x的距離和為3的點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的

面積是（）

A.18B.1872C.36D.3672

解：設(shè)點(diǎn)PCGy）是曲線C上的任意一點(diǎn)，由點(diǎn)尸滿足平面內(nèi)到兩條定直線x=0,y

=x距離之和為3,

.?i」x-y|_

??|x|+~3，

V2

當(dāng)0WyW3時(shí)

①時(shí)，.??%+（0-1）y-3&=0,

②xWy時(shí)，x-y+3M=0,

當(dāng)-3WyW0時(shí)

①時(shí)，Ax-（亞+l）y-3&=0,

②x這y時(shí)，x+（&-1）y+3&=0,

分別畫出四條直線如下圖，易知四邊形ABCO為矩形，

???直線無(wú)+（血-1）y-3&=0與直線x+（^2-1）y+3^/2=O的距離為

._13&+3&16企

-7（V2-1）2+1—弋4：2?

?.?直線x-（揚(yáng)1）y+3M=0與直線x-（揚(yáng)1）y-3&=0的距離為

._I3A/2+3V2I_6&

?也一、(a+1)2+「

：.代2r=\8版,

V4-2^2r4+2&

故選：B.

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必

要的步驟.

17.已知函數(shù)f（x）=log2（2'+l）.

（1）證明：/（X）在區(qū)間（-8,+8）上是增函數(shù)；

（2）若函數(shù)/（幻=m4/（外在區(qū)間［。，2］上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】證明：（1）在R上任取為，必且X1VX2，

X-

??91+1

則/（xi）-f（X2）—log2（2，1+1）-l°g2（2,2+1）—log2------,

2%+1

\"Xi<X2,；.0<2力+1V2、2+L

X,X,

21+191+1

A0<-——-<1,.\log2-——-<0,

X,X,

22+122+1

.*./（X1）</（X2）,（X）在（-8,+OO）上為增函數(shù).

（2）VF（x）=m+f（x）在區(qū)間［0,2］上存在零點(diǎn)，

t

：.m=-log2（2+l）在［0,2］上有解,

由⑴知m=-k?g2（2V+1）在［0,2］上為減函數(shù)，

二當(dāng)x=0時(shí)，機(jī)取得最大值為-1,

當(dāng)x=2時(shí)，力取得最小值為-log25,

-log25W/?W-1,

的取值范圍為［-10g25,-1］.

18.如圖，在四棱錐M-A8CO中，己知平面4BCZ）,AB1,AD,AB//CD,AB=2CD,

且AB=AM=AO=2.

（1）求四棱錐M-ABCD的體積；

（2）求直線MC與平面所成的角.

M

解：（1）在梯形ABC。中，AB=2,2CD=AB,貝i]CQ=l,

所以口■(杷

5ABe4VD)?AD=3,

又四棱錐M-ABCD的高h(yuǎn)=AM=2,

所以棱錐M-ABC。的體積丫《5時(shí)D士=2；

(2)因?yàn)锳M_L平面A8CZ),CDu平面A3CQ,

所以4M_LC￡>,

又因?yàn)?BLA。，AB//CD,所以CCA。，

5LAMQAD=A,AM,ADeffiADM,所以

所以NCMD為直線MC與平面ADM所成的角，

在Rt^CDM中，CD-I,MD=2&tan/CMD=28=g

后

所以/CMD二arctaiiTL

4

故直線MC與平面AOM所成的角為arctan厚.

19.某植物園中有一塊等腰三角形A8C的花圃，腰長(zhǎng)為20米，頂角為30°,現(xiàn)在花圃內(nèi)

修一條步行道（步行道的寬度忽略不計(jì)），將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰

和百合.步行道用曲線OE表示（￡>、E兩點(diǎn)分別在腰AB、AC上，以下結(jié)果精確到0.01）.

（1）如果曲線OE是以A為圓心的一段圓?。ㄈ鐖D1）,求A。的長(zhǎng)；

（2）如果曲線。E是直道（如圖2）,求AO+4E的最小值，并求此時(shí)直道OE的長(zhǎng)度.

17Tc

解：（1）設(shè)AZ）=x,依題知，扇形的面積為S扇形D虹-'x'

又AABC的面積為=]-202sin30°=IOC-

,1/日1兀2

由S扇形DAE=9SAABC<：5.飛~.X=50，

Aze2600

解2得：xh5i-，

...K13.82（米）

故A。的長(zhǎng)約為13.82X.

（2）如圖2,線段QE平分AABC的面積，設(shè)AZ）=x,AE=y,

?,-yxy*sin30°=yX100>

；.xy=200,

又AD+AE=x+y>2后（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10加時(shí)取等號(hào)），

此時(shí)AD+AE=20&g28.28（米），DE=72x2-2x2cos30°=7.32（米）

綜上，AQ+AE的最小值約為28.28米，此時(shí)直道。E的長(zhǎng)度約為7.32米.

(1*11)(圖2)

2c

20.（16分）如圖，已知橢圓「：今+丫2=]的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓「上異

于A、8的一點(diǎn)，直線/：x=4,直線AP、B尸分別交直線/于兩點(diǎn)C、D,線段C￡）的中

點(diǎn)為E.

（1）設(shè)直線AP、BP的斜率分別為kAP、kBP,求k",kBP的值；

（2）設(shè)△ABP、ZVIBC的面積分別為$、52,如果S2=2SI,求直線4P的方程；

（3）在x軸上是否存在定點(diǎn)N5,0）,使得當(dāng)直線NP、NE的斜率左液、加E存在時(shí),

ANP?6E為定值？若存在，求出心PM,VE的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）可求點(diǎn)4、8的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（2,0）,

Q11

所以yyy41；…

kAP'kBP^2''7：2=_r7=_2-T=^4

“乙同乙x-4x-4*

(2)設(shè)點(diǎn)尸(2cos0,sin0)(sin。#。),

則直線入尸的方程為尸盤前（x+2）.................................

令X=4得y金管不，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,3sin6x..........

COSD+1cos0+1

由S2=2SI得31叵唔三L：2|sin8所以cos8二《，sinB=

cos+122

所以直線AP的方程為y=±返（X+2）?.................................

6

(3)同(2),設(shè)點(diǎn)尸(2cos0,sinQ)(sin0#=O),

Sln

直線AP的方程為y-^(x+2)

2cos+2

S1

同理可求直線BP的方程為：y=NQN(x-2)>

2cos-2

?A?0

令X=4得y=S￡D,所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,SR,),CD中點(diǎn)

COSy-1COSD-1

E(4,2-4噌)....

sinf

2-4cos8

_sin8sin8

如'迎2cos8-n4-n

2-4cos82-4cos8..............

(2cos0-n)(4-n)n(n-4)+2(4-n)cos0

要使&NP-E為定值，只需72

n(n-4)2(4-n)

解得”=1,此時(shí)kjjp,卜恥

所以在x軸上存在定點(diǎn)N(1,0),使得ZNPZNE為定值，......(16分)

3

21.(18分)對(duì)于有限集S={ai,。2,ai,■,am.\,am}(/neN*,根23),如果存在函數(shù)

/(%)(/(x)=》除外)，其圖象在區(qū)間。上是一段連續(xù)曲線，且滿足/(S)=S,其

中/(S)={/(%)|AG5,5CD),那么稱這個(gè)函數(shù)f(x)是尸變換，集合S是P集合，數(shù)

列ai,az,?3,-?>am.i,一是P數(shù)列.

例如，S={1,2,3}是「集合，此時(shí)函數(shù)/(x)=4-x是P變換，數(shù)列1,2,3或3,2,

1等都是P數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列1,2,5,8,9是否是P數(shù)列？說(shuō)明理由；

⑵若各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列{m}(I-W202I,〃eN*)是戶數(shù)列，若P變換f(x)=旦

X

求????々2021的值;

(3)元素都是正數(shù)的有限集S={m,