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文檔簡介

一、主成分分析的基本原理

假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣（1）

降維處理?。?！當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。降維是用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(2)

系數(shù)lij的確定原則：

①zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關；②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；……zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。則新變量指標z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。

從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的載荷lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）。從數(shù)學上可以證明，載荷lij分別是相關矩陣的m個較大的特征值所對應的特征向量。二、計算步驟

（一）計算相關系數(shù)矩陣

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：（3）

（4）

（二）計算特征值與特征向量：

①解特征方程，求出特征值，并使其按大小順序排列；

②分別求出對應于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第j個分量。③計算主成分貢獻率及累計貢獻率

▲貢獻率:▲累計貢獻率:

一般取累計貢獻率達85—95%的特征值所對應的第一、第二、…、第m（m≤p）個主成分。

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