第七章量綱分析與相似原理

第七章量綱分析與相似原理第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章量綱分析與相似原理7.1量綱與物理方程的量綱齊次性物理量的量綱物理量大小類別導出量綱工程單位制國際單位制英制單位制量綱基本量綱量綱冪次式SI制中的基本量綱：導出量綱：用基本量綱的冪次表示。dimm=M,diml=L,dimt=T

第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月應變率

角速度，角加速度

其他量粘度系數(shù)壓強，壓力，彈性模量力，力矩密度，重度體積流量，質(zhì)量流量

速度，加速度

常用量

第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月注：為溫度量綱（比）焓，內(nèi)能（比）熵

導熱系數(shù)比熱表面張力系數(shù)功率能量，功，熱動量，動量矩慣性矩，慣性積第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月同一方程中各項的量綱必須相同。用基本量綱的冪次式表示時，每個基本量綱的冪次應相等，稱為量綱齊次性。量綱齊次性原理常數(shù)（沿流線）第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無量綱化伯努利方程在無粘性圓柱繞流中前后駐點上下側(cè)點其他點柱面上：流場中還與無量綱半徑有關·C·DABa以上結(jié)果對任何大小的來流速度，任何大小的圓柱都適用。第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2量綱分析與П定理量綱分析概念一個方程中多項量綱必須齊次；

一個流動過程中各物理量在量綱上存在相互制約關系，可以按量綱齊次性原理作分析。類比：角色分析量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過對有關的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數(shù)之間的關系代替有量綱的物理量之間的關系，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，用于指導理論分析和實驗研究。

第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月x1=φ(x2，x3,……,xn)

П1=f(П2,П3,……,Пn-r)

提議用量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎的是布金漢（E.Buckingham,1914):

7.2.1П定理Π定理方法充要條件n個物理量r個獨立基本量n-r個導出量選r個獨立基本量組成n-r個獨立Π數(shù)量綱分析方法等第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2.2量綱分析法一般步驟：以圓柱繞流為例第2步、選擇包含不同基本量綱的物理量為基本量（或稱為 重復量，取3個）。第3步、將其余的物理量作為導出量，即、μ分別與基本量的冪次式組成П表達式(參見例7.2.2)。第1步、列舉所有相關的物理量。阻力密度速度直徑粘度系數(shù)選ρ、V、d

第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月量綱分析的優(yōu)點vd第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月不可壓縮牛頓粘性流體在內(nèi)壁粗糙的直圓管定常流動，分析壓強降低與相關物理量的關系。

[例7.2.2]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟

解：1．列舉物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7個2．選擇基本量：ρ、V、d

3．列П表達式求解П數(shù)①

П1=ρaVbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bL

c(ML–1T

–2)第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解得：a=-1,b=-2,c=0（歐拉數(shù)，1/2是人為加上去的）

②П2=ρabbccμ

M0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

c(ML–1T–1)

第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解得：a=b=c=-1

(雷諾數(shù))

③П3=ρaVbdcεM0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

cL

解得：a=b=0，c=-1

第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月（相對粗糙度）

④П4=ρaVbdcl

(同上)

（幾何比數(shù)）

4．列П數(shù)方程即或第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月不可壓縮流體在重力作用下，從三角堰中定常泄流，求泄流量的表達式。

[例7.2.2A]

三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較

2．選擇基本量：ρ、g、h

3．列П表達式求解П數(shù)解：1．列舉物理量。Q,ρ，g，h

，共5個①

M0

L

0

T0=(ML

–3)a(LT–2)b

Lc(L3

T

–1)

第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解得：a=0,b=-1/2,c=-5/24．列П數(shù)方程П1=f(П2)

②（弧度，無量綱）第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月或討論：①結(jié)果表明Q與ρ無關，與h成5/2次方關系。與例B4.3.3中的解析式一致，解析式為②對一孔口角已確定的三角堰，(c)式已明確地表達了Q與h的理論關系，在這里量綱分析結(jié)果與解析解起同樣的作用。

由實驗確定(c)

第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3流動相似與相似準則7.3.1流動相似性幾何相似同類現(xiàn)象相似現(xiàn)象流動相似形狀相似尺度成比例遵循同一方程物理量成比例尺度成比例時間成比例速度成比例力成比例幾何相似時間相似運動相似動力相似第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3.2相似準則矩形相似稱為相似準則數(shù)或無量綱邊長。流動相似①幾何相似準則數(shù)：②運動相似準則數(shù)：③動力相似準則數(shù)：（為慣性力）當F為粘性力，為粘性流動動力相似準則數(shù)當F為重力，為重力流動動力相似準則數(shù)第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4相似準則數(shù)的確定量綱分析法對不可壓縮粘性流體的流動：ρ，V，l，μ，g，Δp，ω

雷諾數(shù)

佛魯?shù)聰?shù)

歐拉數(shù)斯特哈爾數(shù)

優(yōu)點：適用未知物理方程的流動。

缺點：選準物理量較難，物理意義不明確。第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月方程分析法以N-S方程x方向的投影式為例(B5.4.2)代入(B5.4.2)式得

令第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)物理法則或物理定律用特征物理量表示各種力的量級，用這些力的量級比值構(gòu)成相似準則數(shù)。與流體微元尺度相應的特征物理量l與流體微元速度相應的特征速度V與流體微元質(zhì)量相應的特征質(zhì)量與流體微元粘性相應的粘度系數(shù)

與流體微元壓強相應的壓強差與流體微元不定常運動相應的特征角速度3.物理法則分析法優(yōu)點：導出的相似準則數(shù)物理意義明確；

缺點：不能用于未知物理方程的流動。

無量綱方程既適用于模型也適用于原型。第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月遷移慣性力粘性力重力物理法則分析法遷移慣性力壓差力不定常慣性力優(yōu)點：導出的相似準則數(shù)物理意義明確；

適用于未知物理方程的流動。缺點：當無法判定控制流動的物理定律時不能運用。

第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.5常用的相似準則數(shù)Re

數(shù)(雷諾數(shù))

低雷諾數(shù)粘性流動平板邊界層外流速度距前緣距離鈍體繞流

來流速度截面寬度圓管流動

平均流速管直徑

V

l區(qū)分粘性流動層流與湍流態(tài)邊界層外無粘流邊界層內(nèi)以為界區(qū)分層流與湍流態(tài)第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月Fr

數(shù)(弗魯?shù)聰?shù))

明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船長

V

l

Fr數(shù)是描述具有自由液面的液體流動時最重要的無量綱參數(shù)。如水面船舶的運動和明渠流中的水流。第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月Eu數(shù)(歐拉數(shù))

p可以是某一點的特征壓強，也可以是兩點的壓強差；V為特征速度，ρ為流體密度。在描述壓強差時，Eu數(shù)常稱為壓強系數(shù)當在液體流動中局部壓強低于當?shù)卣羝麎簭妏v時，Eu數(shù)又稱為空泡數(shù)或空蝕系數(shù)第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月4．Sr數(shù)（斯特哈爾數(shù)）

l為特征長度，V為特征速度，ω

為脈動圓頻率。

Wo數(shù)（沃默斯利數(shù)）v為流體的運動粘度系數(shù)，Wo數(shù)也稱為頻率參數(shù)表示不定常慣性力與粘性力之量級比,用于描述粘性流體脈動流特征。第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月5．Ma數(shù)（馬赫數(shù)）

Ma=V/c

V為特征速度，c為當?shù)芈曀佟?/p>

6．We

數(shù)（韋伯數(shù)）

σ為液體的表面張力系數(shù)。

We數(shù)表示慣性力與表面張力之量級比，研究氣液，液液及液固交界面上的表面張力作用。

第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7．Ne數(shù)（牛頓數(shù)）

F為外力，Ne

數(shù)表示外力與流體慣性力之量級比，用于描述運動物體在流體中產(chǎn)生的阻力、升力、力矩和（動力機械的）功率等等影響。分別稱為阻力系數(shù)升力系數(shù)

力矩系數(shù)

動力系數(shù)

（D

為動力機械旋轉(zhuǎn)部件的直徑，n

為轉(zhuǎn)速。）

第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是模型實驗？

7.6模型實驗與相似原理7.6.1模型實驗

模型實驗通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實際發(fā)生的物理現(xiàn)象的實驗。實際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實驗的側(cè)重點是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實驗和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實驗才是有價值的。2．為什么要進行模型實驗？?科學研究和生產(chǎn)設計需要做模型實驗；

?并不是所有的流動現(xiàn)象都需要做模型實驗。做理論分析或數(shù)值模擬的流動現(xiàn)象都不必模擬實驗。

?并不是所有的流動現(xiàn)象都能做模型實驗。只有對其流動現(xiàn)象有充分的認識，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實驗。第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.2相似原理原型現(xiàn)象的Π數(shù)方程：Π1=f(Π2,Π3,……Πn)模型現(xiàn)象的Π數(shù)方程：Π1m=f(Π2m,Π3m,……Πnm)

Π2m=Π2，Π3m=Π3，……，Πnm=Πn

相似條件：相似結(jié)果：

Π1=Π1m

由支配流動現(xiàn)象的主要物理法則導出的相似準則數(shù)，稱為主相似準則數(shù)，或簡稱為主Π數(shù)。相似理論和實踐經(jīng)驗表明：在幾何相似的條件下，保證模型和原型現(xiàn)象中的主Π數(shù)相等，就能保證模型和原型現(xiàn)象相似，并使除主Π數(shù)外的其他相關Π數(shù)也相等。第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.3關于相似原理的討論1．尼古拉茲圖與穆迪圖比較

第32頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

若要保證2個主Π數(shù)均相等，如為保證兩主Π數(shù)同時相等，應有

2．關于主Π數(shù)

由Fr數(shù)相等

由Re數(shù)相等設k=0.1，ν=0.1