基于偏微分方程的圖像處理方法研究

基于偏微分方程的圖像處理方法研究

1、圖像濾波方法在數(shù)字圖像的處理中，由于圖像方法、條件和外部干擾，圖像信號(hào)不可避免地會(huì)受到噪聲信號(hào)的污染。圖像中的邊緣、細(xì)節(jié)特征等重要信息常湮沒于噪聲信號(hào)中,給圖像的后繼處理如邊緣檢測(cè)、圖像分割、圖像匹配等帶來很大影響,所以有必要對(duì)圖像在預(yù)處理階段去噪。圖像處理的PDE方法是從大約20世紀(jì)90年代開始,并迅速發(fā)展起來的一個(gè)新興交叉的學(xué)科分支。近年來研究表明,偏微分方程(PDE)理論可以為圖像處理提供統(tǒng)一的理論框架。基于PDE的圖像濾波方法,在去噪的同時(shí)檢測(cè)圖像特征強(qiáng)弱及其方向,顯示出了優(yōu)于傳統(tǒng)濾波方法的性能。對(duì)于圖像特征比較強(qiáng)的區(qū)域平滑程度小,對(duì)于圖像特征弱的區(qū)域平滑程度大,并且平滑時(shí)盡可能沿著圖像特征的方向進(jìn)行。圖像處理的PDE方法不僅可以有效地去除噪聲,而且還可以很好地保持圖像的邊緣細(xì)節(jié)。COMSOLMultiphysics是一款大型的高級(jí)數(shù)值仿真軟件,廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)研究以及工程計(jì)算,通過有限元方法模擬在科研和工程中能用PDE描述的各種問題。COMSOLMultiphysics以高效的計(jì)算性能和杰出的多場(chǎng)直接耦合分析能力實(shí)現(xiàn)了任意多物理場(chǎng)的高度精確地?cái)?shù)值仿真,在全球領(lǐng)先的數(shù)值仿真領(lǐng)域里得到了廣泛的應(yīng)用。本文在COMSOLMultiphysics平臺(tái)下利用其中的PDE模塊對(duì)三種經(jīng)典的圖像處理的PDE模型進(jìn)行數(shù)值仿真,達(dá)到在去除圖像噪聲的同時(shí)保持圖像的邊緣細(xì)節(jié)的效果。2、異性擴(kuò)散模型基于PDE方法的圖像處理,最早開始于Gabor和Jain的研究,后來Koenderink與Witkin嚴(yán)格引入尺度空間的概念,他們的研究為PDE在圖像處理領(lǐng)域中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。隨后Perona和Malik等人對(duì)此進(jìn)行了深入的研究,提出了非線性擴(kuò)散模型,有效地去除了圖像的噪聲,同時(shí)使邊緣得到一定程度的保持。1992年,Alvarez-Lions-Morel根據(jù)圖像灰度等值線的曲率提出了各向異性擴(kuò)散模型。其中,Perona與Malik在各向異性擴(kuò)散方面的論文是圖像正則化領(lǐng)域最有影響的研究成果。他們建議用一種保持邊界的擴(kuò)散來替代基于熱傳導(dǎo)等式的各向同性擴(kuò)散的高速光滑濾波。在此基礎(chǔ)上Osher與Rudin等提出沖擊濾波器,Rudin提出的全變分下降法,Price等提出的反應(yīng)—擴(kuò)散式,都成為當(dāng)前PDE在圖像恢復(fù)領(lǐng)域成功應(yīng)用的典范與當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。3、非線性擴(kuò)散模型圖像處理中偏微分方程的一般形式為:其中,是一個(gè)平面有界開區(qū)間,是圖像的定義域;是Ω的邊界,n是邊界上的單位外法向量;u0(x)是初始圖像;F是依賴于的函數(shù),在濾波處理時(shí),要求F不僅能去除噪聲,而且還能保持圖像的邊緣細(xì)節(jié)。最早用于圖像處理的PDE是熱方程,實(shí)際上是一個(gè)各向同性擴(kuò)散方程。由于線性擴(kuò)散在去噪時(shí)存在模糊邊緣的缺點(diǎn),人們轉(zhuǎn)而去研究非線性擴(kuò)散。較早的非線性擴(kuò)散是Perona-Malik提出的如下模型(簡(jiǎn)稱P-M模型):其中,是依賴于圖像梯度模的擴(kuò)散函數(shù),當(dāng)時(shí),退化為熱方程。通過適當(dāng)定義擴(kuò)散函數(shù),P-M模型既可以去噪又能較好地保護(hù)邊緣。P-M模型用的大小來判斷某一局部區(qū)域是均勻區(qū)域還是邊緣。在均勻區(qū)域,對(duì)應(yīng)較小,為了去除噪聲,擴(kuò)散應(yīng)近似為熱方程,即各向同性擴(kuò)散;而在邊緣附近,對(duì)應(yīng)較大,磨光作用應(yīng)“停止”,以保護(hù)邊緣。這要求c(s)是單調(diào)減函數(shù)且整體變分(TV)圖像模型最初是為解決圖像去噪問題而引入的。整體變分去噪模型,利用了自然圖像內(nèi)在的正則性,易于從噪聲圖像的解中反映真實(shí)圖像的幾何正則性。TV圖像復(fù)原模型是由Rudin、OsherandFatemi提出的,并且現(xiàn)在成為圖像復(fù)原中最成功的方法。廣義的TV去噪模型為:上述泛函Jp(u)在有界變差函數(shù)空間BV(Ω)下最小,歐拉-拉格朗日方程為:4、圖像的pde模擬COMSOLMultiphysics作為一款基于全新有限元理論、直接針對(duì)偏微分方程為研究對(duì)象的大型數(shù)值仿真軟件,成功地實(shí)現(xiàn)了任意多物理場(chǎng)、直接、雙向、實(shí)時(shí)耦合。目前,COMSOLMultiphysics還沒有一個(gè)專門的圖像處理模塊。本文利用COMSOLMultiphysics中的PDE模塊,通過與Matlab的連接,實(shí)現(xiàn)了三種經(jīng)典的圖像處理的PDE模型。具體實(shí)現(xiàn)方法如下:(1)選擇COMSOLMultiphysics中的PDE模塊,COMSOLMultiphysics→PDE模式→PDE系數(shù)型。具體的模擬方程為:(2)將Matlab中的圖像數(shù)據(jù)以插值函數(shù)g的形式,導(dǎo)入到COMSOLMultiphysics中,如圖1所示,作為PDE的求解初始值。(3)設(shè)置方程的求解域?yàn)槌跏紙D像的大小,初始值為插值函數(shù),設(shè)定求解系數(shù)使其滿足圖像處理的PDE模型。其中線性擴(kuò)散模型的系數(shù)設(shè)置為:非線性擴(kuò)散P-M模型的系數(shù)設(shè)置為:圖像復(fù)原模型的系數(shù)設(shè)置為:(5)對(duì)求解域進(jìn)行網(wǎng)格劃分,通過控制求解器中的時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行求解,得到不同時(shí)刻的濾波圖像。5、圖像噪聲對(duì)比實(shí)驗(yàn)利用COMSOLMultiphysics軟件對(duì)三種經(jīng)典的圖像處理的PDE模型進(jìn)行數(shù)值仿真,實(shí)驗(yàn)過程中我們控制COMSOL求解器參數(shù)中的迭代時(shí)間,選擇不同時(shí)刻的濾波圖像,并對(duì)三種模型的去噪和保持邊緣的能力進(jìn)行了對(duì)比分析,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下:從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,圖像處理的PDE方法很好地去除了圖像中的噪聲,有效地降低了干涉圖中殘差點(diǎn)的數(shù)目,并且保持了較高的峰值信噪比。P-M模型和TV模型相比于線性擴(kuò)散在去除圖像噪聲的同時(shí),也使得圖像的邊緣細(xì)節(jié)得到了一定程度的保持。6、pde優(yōu)化模型本文對(duì)圖像處理的PDE方法進(jìn)行了詳細(xì)地分析,研究了基于PDE的圖像濾波的基本思想和理論