第七節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程

第七節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

1、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標準形式第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)特征方程有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解為:得齊次方程的通解為特征根為第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)特征方程有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)特征方程有一對共軛復根特征根為這時原方程有兩個復數(shù)解:可得得齊次方程的通解為第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:(1)寫出相應(yīng)的特征方程:(2)求出特征根:(3)根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解特征方程為解得故所求通解為例2第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解特征方程為解得故所求通解為例3第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

求解初值問題解特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解特征方程為解得故所求通解為例1第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

解特征方程：特征根:原方程通解:第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月思考與練習求方程的通解.答案:通解為通解為通解為第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標準形式由線性微分方程的結(jié)構(gòu)知:非齊次線性微分方程的通解=對應(yīng)齊次線性微分方程的通解+非齊次線性微分方程的一個特解第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)f(x)常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1、f(x)=Pm(x)e

x型設(shè)方程特解為其中Q(x)為待定多項式,代入原方程,得

第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月從而得到特解形式為(2)若是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為即即第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月綜上可得：(Page291)可設(shè)特解形式為不是特征方程的根是特征方程的單根是特征方程的二重根注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解故對應(yīng)齊次方程通解為特征方程為其特征根為代入原方程,得

原方程通解為例1對應(yīng)齊次方程為第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解故對應(yīng)齊次方程通解為特征方程為其特征根為代入原方程,得

原方程通解為例2對應(yīng)齊次方程為第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解特征方程為特征根為故對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程為代入原方程,得

原方程通解為第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月由解得所以原方程滿足初始條件的特解為第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2、f(x)=e

x[Pl(x)cos

x+Pn(x)sin

x]型利用歐拉公式求如下兩方程的特解：第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Page293注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月的通解.解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的根,可設(shè)非齊次方程特解為例1第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解對應(yīng)齊次方程為例2特征方程為對應(yīng)齊次方程通解為特征根為第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月提示對應(yīng)齊次方程通解為所求非齊次方程特解為原方程通解為例3第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例4解對應(yīng)齊次方程的特征方程為特征根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月故原方程的通解為第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例5第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3、小結(jié)二階常系數(shù)非齊次微分方程特解形式：(待定系數(shù)法)第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月練習寫出下列二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:解第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二階常系數(shù)線性微分方程應(yīng)用舉例第37頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1、建立微分方程的基本條件1)要熟悉能用導數(shù)表示的各種常見變化率.第38頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2)要熟悉與問題有關(guān)的各種定律、原理.第39頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2、建立微分方程及求解的注意點如果問題要求“運動規(guī)律”、“變化規(guī)律”等，則需要用微分方程來解決問題.這