圖像的像值與溫度

圖像的像值與溫度

1圖像放大方法圖像幅度大、減少的處理技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中起著重要作用。例如，醫(yī)學(xué)、公共安全、航空工程等系統(tǒng)和一些數(shù)據(jù)處理軟件通常需要有效方法來改變現(xiàn)有圖像的大小，并確保改變后的圖像具有良好的視覺效果。圖像放大和擴(kuò)展通常取決于圖像的幾何操作方法。通?？梢苑譃閮蓚€(gè)階段：初始圖像轉(zhuǎn)換；然后重新設(shè)計(jì)圖像并進(jìn)行處理?，F(xiàn)有的圖像處理理論以及常用的圖像處理軟件普遍按以上步驟,采用插值方法對(duì)圖像進(jìn)行放大和縮小,如平移重復(fù)插值、雙線性插值和樣條插值等.平移重復(fù)插值方法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn),然而,當(dāng)圖像中包含像素之間灰度級(jí)有變化的細(xì)微結(jié)構(gòu)時(shí),該方法會(huì)在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡,導(dǎo)致圖像帶有鋸齒形的邊緣;雙線性插值具有平滑作用,可能會(huì)使圖像的細(xì)節(jié)產(chǎn)生退化,尤其是在進(jìn)行放大處理時(shí),會(huì)丟失重要的邊緣特征信息.高分辨率插值方法包括三次樣條、三次B樣條插值方法、NewtonThiele插值方法以及Bézier插值曲面插值方法等.這些插值方法有很多優(yōu)越性,用于圖像插值也取得了較好的效果.但這些方法都是用一些已知的較光滑的函數(shù)或較好的函數(shù)結(jié)構(gòu),根據(jù)一定的光滑性要求來逼近、刻畫源圖像.由于這種固定方式的局限性,勢(shì)必會(huì)在圖像放大倍數(shù)較高時(shí)形成斑點(diǎn)以及明暗區(qū)域偏移現(xiàn)象,而且放大倍數(shù)越大,這種現(xiàn)象越明顯.以三次樣條為例,對(duì)Lena圖像進(jìn)行雙三次樣條插值放大三倍,對(duì)圖中劃線部分的放大前、后(如圖1,2左圖所示)的灰度值對(duì)應(yīng)的曲線進(jìn)行比較(如圖1右圖所示),我們可以發(fā)現(xiàn)在橫坐標(biāo)305到325間,發(fā)生了亮度偏移現(xiàn)象;在340到380間(如圖2右圖所示),原圖像對(duì)應(yīng)的曲線變化較平坦,而放大后對(duì)應(yīng)的曲線則出現(xiàn)一些小的波動(dòng),這在放大后的圖像上的表現(xiàn)為圖像在對(duì)應(yīng)部分有斑點(diǎn)(如圖2左圖所示),也可以認(rèn)為是一種噪聲.為了克服這些不足之處,我們注意到近期較熱門的偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用研究,又考慮到偏微分方程鮮明的物理意義,提出一種全新的圖像放大方法——基于偏微分方程的圖像放大法.該方法主要是利用熱傳導(dǎo)原理,將圖像的灰度值視為平面物體的溫度;根據(jù)圖像放大的要求,將放大圖像的灰度值看作由一些固定點(diǎn)提供熱量的一個(gè)熱傳導(dǎo)過程;利用熱傳導(dǎo)過程的數(shù)學(xué)模型,計(jì)算出各點(diǎn)處的灰度值,從而實(shí)現(xiàn)圖像放大的目的.2圖像增益模型和模型2.1圖像的溫度分布t圖像數(shù)據(jù)是二維平面上的灰度值,可用二元函數(shù)v(i,j),(i=1,2,?,m0,j=1,2,?,n0)v(i,j),(i=1,2,?,m0,j=1,2,?,n0)表示,其中m0,n0分別為圖像的行數(shù)和列數(shù),v(i,j)值的大小受物體表面的材料、背景物體的物理性質(zhì)、光照強(qiáng)度和角度以及成像過程中的噪聲等影響,這種數(shù)據(jù)既不是純隨機(jī)性的,也不是完全結(jié)構(gòu)性的.空間連續(xù)性是空間屬性的最基本性質(zhì),空間中相近的樣本點(diǎn)具有某種相似性,而相距較遠(yuǎn)的樣本點(diǎn)往往取不相近的值.這些數(shù)據(jù)整體不是隨機(jī)的,而是高值傾向其他高值附近,低值傾向其他低值附近,且值的改變可以是漸變的,也可以是突變的,一般并不完全呈線性關(guān)系.注意到近期較熱門的偏微分方程在圖像處理中的一些重要應(yīng)用,以及一些偏微分方程的物理意義;我們可以將這種圖像數(shù)據(jù)v(x,y)看作是平面物體的溫度分布.當(dāng)圖像橫向放大k1倍,縱向放大k2倍時(shí),放大后的圖像數(shù)據(jù)同樣可以看作是橫向放大k1倍,縱向放大k2倍后平面物體的溫度分布,即u(x,y),(x=1,2,…,[k1(m0-1)+1];y=1,2,…,[k2(n0-1)]+1).根據(jù)圖像放大要求,放大后圖像在([k1(i-1)]+1,[k2(j-1)]+1)點(diǎn)上的像素值應(yīng)與原圖像的(i,j)點(diǎn)上的像素值保持一致,即u([k1(i-1)]+1,[k2(j-1)]+1)=v(i,j),(i=1,2,…,m0,j=1,2,…,n0);其他點(diǎn)上的灰度值(或物體的溫度值)可以利用這些點(diǎn)上的溫度條件,應(yīng)用物體的熱傳導(dǎo)過程來確定.取放大倍數(shù)k1,k2為自然數(shù),記放大后圖像所占有的平面區(qū)域?yàn)棣?{(x,y)|1＜x＜k1(m0-1)+1,1＜y＜k2(n0-1)+1},引入時(shí)間參數(shù)t,可設(shè)t時(shí)刻對(duì)應(yīng)于區(qū)域Ω中的點(diǎn)(x,y)處物體的溫度(像素值)為u(x,y,t);又設(shè)物體的比熱、密度以及Fourier熱傳導(dǎo)系數(shù)均為1,則對(duì)于這一無熱源的熱傳導(dǎo)過程,由平面物體熱傳導(dǎo)過程數(shù)學(xué)模型,其溫度u(x,y,t)滿足?u(x,y,t)?t=Δu(x,y,t),(x,y)∈Ω,t＞0(1)這里Δu(x,y,t)=?2u(x,y,t)?x2+?2u(x,y,t)?y2.根據(jù)實(shí)際需要,我們還可以認(rèn)為在物體的邊界上滿足絕熱條件?u(x,y,t)?n=0,(x,y)∈?Ω,t≥0(2)又記S={(x,y)|x=k1(i-1)+1,(i=1,2,?,m0),y=k2(j-1)+1,(j=1,2,?,n0)}.根據(jù)圖像放大要求,在S上,u(x,y,t)保持恒定溫度u(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1,t)=v(i,j),(i=1,2,?,m0,j=1,2,?,n0),t≥0(3)而在初始時(shí)刻,根據(jù)圖像放大實(shí)際需要,在S上u(x,y,0)滿足式(3),而S外的點(diǎn)溫度取0,即u(x,y,0)=0,(x,y)∈Ω\S(4)圖像在各像素點(diǎn)的灰度值可以看作是由式(1)～式(4)確定的各點(diǎn)溫度值.式(1)～(4)主要是利用了圖像放大的基本要求,即S上點(diǎn)的像素值(溫度)不變.根據(jù)熱傳導(dǎo)原理,S上點(diǎn)的確定溫度值為平面物體提供了熱量,引起以外點(diǎn)的溫度變化,經(jīng)一段時(shí)間的熱交換,S以外的點(diǎn)的像素值(溫度)接近鄰近的S中點(diǎn)上的像素值(溫度),從而實(shí)現(xiàn)圖像放大的目的.在這一過程中,S上的點(diǎn)的確定溫度值是放大圖像變化的動(dòng)力;因此在該模型的實(shí)現(xiàn)過程中,必須反復(fù)利用S上的點(diǎn)的確定溫度,進(jìn)行多次迭代才能達(dá)到預(yù)期目的.這樣,必然會(huì)增加計(jì)算工作量.為減少計(jì)算工作量,加快運(yùn)行速度,根據(jù)熱傳導(dǎo)原理,我們可以讓S上的點(diǎn)在起始一段時(shí)間0≤t≤t0內(nèi)多釋放出熱量.即在起始一段時(shí)間0≤t≤t0內(nèi),令S上的點(diǎn)有較高的溫度,到一定時(shí)刻t≥t0時(shí)恢復(fù)成原有的溫度值.這樣,式(3)修改為{u(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1,t)=k0v(i,j),0≤t≤t0,u(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1,t)=v(i,j),t0≤t,(5)其中i=1,2,…,m0,j=1,2,…,n0,k0≥1.于是得到新的圖像放大模型(1),(2),(5),(4).2.2像素點(diǎn)中tn點(diǎn)分布由偏微分方程知識(shí)可知,定解問題(1)(2)(5)(4)之解為存在、惟一,且當(dāng)t>0時(shí)具有較好的正則性.由于該熱傳導(dǎo)過程只需要很短時(shí)間即可達(dá)到較好的效果,而長(zhǎng)時(shí)間的熱傳導(dǎo)過程會(huì)造成熱量平衡,圖像反而顯得模糊,達(dá)不到好的效果.此外,由于該模型在很大程度上依賴于S上的點(diǎn)的溫度值,它不同于一般的拋物型偏微分方程求數(shù)值解,必須注意充分利用S上點(diǎn)的溫度值,進(jìn)行多次反復(fù)的迭代.因此,我們只應(yīng)用簡(jiǎn)單的顯式差分格式來進(jìn)行求解,這樣更有利于模型的實(shí)現(xiàn),做到既快又好.我們把u(xi,yj,tn)記作uni,j,表示放大后的圖像在tn時(shí)刻對(duì)應(yīng)于像素點(diǎn)(xi,yj)的灰度值,其中xi=ih,yj=jh,i=1,2,…,k1(m0-1)+1,j=1,2,…,k2(n0-1)+1,tn=(n-1)Δt,n=1,2,…,h為空間步長(zhǎng),通常取為1,而Δt為時(shí)間步長(zhǎng).關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)?u?t在(hi,hj,tn)點(diǎn)處的值可以用向前差分格式來近似ut≈un+1i,j-uni,jΔt(6)而擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分格式來近似{(uxx)ni,j≈uni+1,j-2uni,j+uni-1,jh2(uyy)ni,j≈uni,j+1-2uni,j+uni,j-1h2(7)由Neumann邊界條件(2)、初始條件(4)以及固定點(diǎn)上的灰度值條件(5),應(yīng)用式(6)(7)的差分格式,我們可以設(shè)計(jì)以下方法計(jì)算un+1i,j,n=0,1,…,N,i=1,2,…,k1(m0-1)+1,j=1,2,…,k2(n0-1)+1,u0x,y={0,當(dāng)(x,y)≠(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1),(i=1,2,?,m0,j=1,2,?,n0)時(shí)?max(1,4-15?Ν)v(i,j),當(dāng)(x,y)=(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1),(i=1,2,?,m0,j=1,2,?,n0)時(shí)?(8)其中N為迭代次數(shù),而式(5)中k0v(i,j)=max(1,4-3(n+5)N)v(i,j)表示開始時(shí)S上的點(diǎn)取v(i,j)的近4倍值,在最后5次迭代中取v(i,j)本身(本文取式(5)中k0的一般形式為k0=max(1,a+1-a(n+b)N),相當(dāng)于開始時(shí)k0接近a+1,最后b次迭代,k0取1).先由式(8),(10)計(jì)算出u1i,j,再反復(fù)應(yīng)用式(9),(10),即用式(9)調(diào)整unk1(i-1)+1,k2(j-1)+1,再由式(10)計(jì)算un+1i,j,n≥1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析我們?cè)贑PUPentiumⅣ2.0GHz的計(jì)算機(jī)上用Matlab6.5軟件實(shí)現(xiàn)了該算法,并驗(yàn)證了其可行性.在實(shí)驗(yàn)中,以一幅256×256bit的圖像Lena.bmp為例,圖3所示為L(zhǎng)ena原圖.為說明本文算法的效果,對(duì)圖3的部分(左上角頂點(diǎn)為(80,120),右下角頂點(diǎn)為(180,220))進(jìn)行放大.圖4所示為本文算法放大3倍的圖像(300×300),迭代14次,執(zhí)行時(shí)間為320ms,沒有明顯的斑點(diǎn)、亮暗區(qū)域偏移現(xiàn)象.圖5所示為圖3的同樣部分,用雙三次插值方法放大3倍的圖像(300×300),臉上明顯出現(xiàn)斑點(diǎn),眼珠內(nèi)的光環(huán)明顯偏亮,近眼珠邊的眼白有一圈偏白,執(zhí)行時(shí)間為200ms.圖6所示為本文算法放大4倍的圖像(400×400),迭代19次,執(zhí)行時(shí)間為800ms,也沒有明顯的斑點(diǎn)、亮暗區(qū)域偏移現(xiàn)象.圖7所示為圖3的同樣部分用雙三次插值算法放大4倍的圖像(400×400),臉上更明顯出現(xiàn)斑點(diǎn),眼珠內(nèi)的光環(huán)明顯偏亮,近眼珠邊的眼白有一圈偏白,執(zhí)行時(shí)間為320ms.圖8所示為本文算法放大5倍的圖像(500×500),迭代27次,執(zhí)行時(shí)間為1.7s,放大效果與3,4倍差不多.實(shí)驗(yàn)表明,用我們提出的偏微分方程進(jìn)行圖像放大,無論放大多少倍都不會(huì)出現(xiàn)斑點(diǎn)、亮暗區(qū)域偏移現(xiàn)象.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以看到,應(yīng)用偏微分方程也可以進(jìn)行圖像放大,并且也有較好的效果,在圖像灰度值變化不大的區(qū)域其效果更好,放大后的圖像不會(huì)出現(xiàn)明顯的斑點(diǎn)以及亮暗區(qū)域偏移現(xiàn)象.眾所周知,用偏微分方程處理圖像是一種比較精細(xì)的圖