基于偏微分方程的圖像處理技術

基于偏微分方程的圖像處理技術

1維生物圖像的研究與可視化在過去的十多年里，許多三維成像技術在生物和醫(yī)學領域得到了迅速發(fā)展和應用。這些三維成像技術主要包括CT,核磁共振(MRI),超聲(Ultrasound),PET,SPECT,fMRI,電子顯微成像(Electronicmicroscopy),光學顯微成像(Lightmicroscopy)等。三維成像技術的主要特點是提供了一種無損傷、非侵入的手段,使得我們在不解剖人體、生物體的情況下就可以獲取被掃描體的內部的真實的三維結構或三維功能信息分布。已有的三維成像技術可以分為三類:1結構成像(Morphologyimaging)技術:包括CT、核磁共振、超聲等臨床常用的成像技術。在醫(yī)學臨床應用中,該類成像技術主要用于采集人體內部需要診斷的器官的真實的三維解剖結構信息。例如,利用CT技術能很好地獲取人體的三維骨骼的結構信息。2功能成像(functionalimaging)技術:包括PET,SPECT,fMRI等成像技術。在醫(yī)學臨床應用中,主要用于獲取人體內部真實的功能代謝、細胞代謝等三維功能信息的分布。例如,PET圖像能顯示腦功能和葡萄糖代謝,能早期診斷腦血流圖和腦細胞代謝的異常,能早期診斷功能代謝異常等。3顯微成像技術:包括電子顯微及光顯微成像技術?？捎糜讷@取微小物體(如單個細胞)的三維結構信息?；谶@些新的三維成像技術,在生物醫(yī)學領域,逐漸出現幾個極其重要的研究方向:如用于臨床的計算機輔助診斷、計算機輔助手術與計算機輔助放療技術,對人腦的功能、結構進行研究的人腦工程,進行人體形態(tài)結構數字化研究的可視人體工程,工業(yè)中設備的無創(chuàng)傷三維CT成像檢查技術,神經元細胞結構功能的定量分析等。在圖1,我們給出從利用三維成像技術獲取生物醫(yī)學圖像到其應用在這些不同領域的簡單流程圖。從該流程圖中可以看到,三維生物醫(yī)學圖像的分析與可視化是將三維成像技術應用到諸多領域的一個關鍵環(huán)節(jié)。由于三維生物醫(yī)學圖像分析的極端重要性,目前其作為一個非?；钴S的研究領域吸引了眾多的研究者。國際上許多著名大學都開展了該領域的研究。此外,國際上許多大公司,如GE,西門子,飛利浦等也投入大量的人力、物力致力于該領域應用軟件的研發(fā)。熟知,二維圖像的分析技術經過數十年的發(fā)展,已經有許多成熟的處理算法。然而“三維圖像分析這一新研究領域還處在其發(fā)展的初期,在該領域活躍的研究僅僅是從近幾年才開始”。因此,該領域的各個研究方向都需要進一步深入的工作。通常,三維圖像由一系列依順序掃描的二維斷層圖像組成。例如,圖2顯示了利用光學顯微成像技術掃描得到的單個神經元細胞的三維斷層掃描圖像。在實際分析中,三維圖像可以看作個三維函數在三維規(guī)則網格(見圖3)的頂點進行離散采樣的結果。三維生物醫(yī)學圖像分析的研究內容包括三維圖像的預處理(圖像的平滑、去噪,圖像的恢復,特征增強等)、圖像中目標的邊界曲面的檢測與抽取、圖像的分割、圖像的配準、圖像的可視化等。其主要目的是研究三維圖像中感興趣特征的增強、抽取、顯示、定量描述等。圖4顯示的結果是從不同的三維生物醫(yī)學圖像中重構得到的目標的三維結構。其中,單個神經元細胞是從圖2顯示的神經元細胞的三維斷層掃描圖像中重構得到。三維圖像處理與二維圖像處理存在一定的不同。二維圖像處理中研究的二維圖像是三維物體的二維投影結果。人們試圖從這些二維投影圖像中恢復三維結構。由于在投影過程中某些信息已經丟失,恢復三維結構是非常復雜的問題,而且結果通常不唯一。與此不同,三維圖像可以看作為三維物體的離散采樣數據,其內部直接包含了真實的三維結構。人們試圖從這些離散采樣數據中分離、重構原來的三維結構。此外,三維圖像處理可以看作一個交叉學科,該領域的研究通常要涉及到計算機視覺、計算機圖形學、科學可視化、圖像處理與分析、生物醫(yī)學成像、數學等多個領域的知識。在實際應用中,不同的三維成像技術生成的生物醫(yī)學圖像的特點各不相同,而且各自針對不同的結構或者功能信息進行成像。例如,CT圖像分辨率高(512*512),顯示骨骼效果很好,但不同的軟組織不容易分辨清楚;MRI圖像的分辨率一般為256*256,但可以將不同的軟組織較好的區(qū)分開來;超聲成像設備簡單、成本低、易攜帶而且對人體無損害,但生成的圖像的分辨率低,不同組織之間不容易分辨,而且圖像比較模糊;PET及SPECT可以記錄人體功能代謝、細胞代謝等信息的三維分布狀況,但功能成像技術所生成圖像的分辨率一般都比較偏低。Figure3:圖5顯示了不同的三維成像技術所生成的三維圖像的一些斷層圖像?？梢钥吹饺S成像技術生成的圖像有著各不相同的灰度分布特征及復雜性。因此,一般地,不存在可以有效應用于任何三維生物醫(yī)學圖像的一般性的算法。不同成像技術所生成的三維生物醫(yī)學圖像需要不同的處理方法。此外,受成像技術、成像模式的限制及噪聲的影響,三維生物醫(yī)學圖像的處理是非常復雜的問題。許多傳統(tǒng)的圖像處理技術不能很好的處理這些復雜的生物醫(yī)學圖像。自從基于偏微分方程的圖像處理技術提出后,該類技術很快被一些研究者用于處理復雜的生物醫(yī)學圖像。人們注意到該類新的技術一定程度上比較好的克服了經典圖像處理技術中的困難,在處理復雜的生物醫(yī)學圖像時獲得很大的成功。因此,基于偏微分方程的圖像處理技術受到許多研究者的重視并被廣泛的應用于生物醫(yī)學圖像處理。在下面第二節(jié),我們將介紹生物醫(yī)學圖像處理中常用的幾類基于偏微分方程的圖像處理方法。2圖像分割處理簡略地,圖像處理的一般框架見圖6。這里,圖像的預處理包括圖像的平滑去噪、圖像的恢復、圖像中特征的增強等。由于諸多原因,生物醫(yī)學圖像中常常包含許多噪聲。這些噪聲的存在可能影響對圖像中所包含特征的檢測、分割與分析。因此,如何在不影響圖像中主要特征的條件下除去圖像中的噪聲是一個重要的問題。盡管經典圖像處理技術中存在不同的圖像平滑技術,但是大多難以在平滑圖像的同時很好地保持圖像中的邊緣。圖像的分割主要是將圖像中感興趣的目標分離出來或者將圖像分為不相重疊的關于某些特征具有一致性的若干個連通區(qū)域。在生物醫(yī)學圖像中,不同的區(qū)域對應于不同的器官結構或者人們感興趣的組織。圖像分割是圖像分析及其應用中最關鍵的一步。它是圖像中特征的建模、表示、定量測量、可視化不可缺少的一個環(huán)節(jié),也是計算機輔助的診斷、手術、放療等應用的基礎。然而,圖像分割也是三維圖像分析中最困難的問題。許多研究者認為不存在適用于眾多圖像的通用的分割算法。另外,由于生物醫(yī)學圖像的復雜性,發(fā)展完全自動的生物醫(yī)學圖像的分割方法也被認為是非常困難的問題。已有的圖像分割方法主要分為:基于閾值(Threshold)的分割算法、基于區(qū)域的分割算法、基于邊緣的分割算法三大類?；趨^(qū)域的分割算法根據不同區(qū)域內灰度分布的特點不同進行圖像分割;基于邊緣的分割算法根據區(qū)域的邊界處存在較大的灰度變化這一特點進行圖像分割;基于閾值的分割算法根據采樣點灰度值的大小進行圖像分割。在二維圖像處理中,邊緣檢測一直是許多研究者探討的問題,存在大量的相關的研究文獻。但是這些本質上基于圖像的梯度或者Laplacian函數設計的邊緣檢測子都存在一個無法克服的困難:抽取的邊緣常常不能封閉以及對噪聲敏感。基于偏微分方程的圖像處理技術是不同于經典圖像處理方法的一類新的方法。一方面,它一定程度上比較好的克服經典圖像處理技術中的上述這些困難。另一方面,它提供了一類新的描述圖像處理技術的數學工具。因此基于偏微分方程的圖像處理技術吸引了眾多研究者的注意。要利用基于偏微分方程的圖像處理技術處理圖像,首先要將一個圖像處理操作建模為不同的偏微分方程、變分方程或者優(yōu)化問題。其次,通過對偏微分方程進行數值求解得到結果。目前,比較常見的、被廣泛應用的幾類基于偏微分方程的圖像處理方法包括:(1)用于圖像平滑的各向異性的非線性擴散方法(Anisotropicnonlineardiffusion)(2)用于圖像恢復的變分方法(3)用于從圖像中抽取封閉的邊界曲線或曲面的形變曲面算法,包括主動輪廓線算法(Activecontour或者Snake)及水平集方法(Levelsetmethod)。(4)用于對圖像中不同區(qū)域進行分割的變分方法方法(1)與(2)是圖像的預處理方法,方法(3)與(4)是圖像的分割方法。下面,對這幾類方法進行分別的介紹。我們側重介紹它們的數學模型及圖像處理效果。為了描述的便利,有時我們討論二維圖像,有時直接討論三維圖像。2.1非線性擴散濾波子的設計在經典的圖像處理算法中,圖像平滑技術有一個嚴重的缺陷,即在對圖像進行平滑去噪的同時往往也會將圖像中的邊緣(圖像中的主要特征)進行一定程度的平滑。結果,平滑后的圖像難以很好的保持邊緣?；谄⒎址匠痰母飨虍愋缘姆蔷€性擴散技術一定程度上克服了這一困難。這是一類自適應的平滑技術,根據圖像的內容的不同而采取不同的平滑方式。直觀的講,該技術可以將平滑的強度在邊緣位置減弱,在非邊緣區(qū)域增強;同時,在平行于邊緣的方向進行平滑而在垂直于邊緣的方向不進行平滑。從而在平滑噪聲的同時比較好的保持圖像中的結構或者邊緣?；谄⒎址匠痰母飨虍愋缘姆蔷€性擴散技術可以看作是對物質擴散過程的一種模仿。圖像的平滑被假定類似于化學物質的擴散過程。時間作為一個新的參量被引入圖像,圖像的灰度(化學物質)將隨著時間的變化而變化(擴散)。在某一個時間點,變化后的圖像(擴散的結果)就是我們試圖得到的平滑后的圖像。因此,可以根據擴散的物理規(guī)律描述圖像的平滑過程。設f(x,y)表示一個二維圖像,u(t,x,y)表示圖像隨著時間t>0變化的狀態(tài),u(0,x,y)=f(x,y)。則圖像隨著時間變化的狀態(tài)或者圖像的平滑過程被如下的擴散方程描述:這里▽u=(ux,uy)T,div=ax+by以及D是一個2×2正定矩陣。根據上述擴散方程,粗略地說,在每一個時間點,圖像的平滑是由當時圖像的二階導數決定。矩陣D是擴散張量。它的2個特征向量刻畫擴散方程的擴散方向,特征值決定沿這些方向進行擴散的強度。通過設計不同的D,可以得到具有不同特性的擴散濾波子。具體分析如下:(1)設D是一個常矩陣。它不隨著圖像位置而變化,而且其兩個特征值相等。則可以得到各向同性的線性擴散濾波子。這類濾波子可以消除噪聲及圖像中的細節(jié)。但是,該類濾波子有缺陷。因為它對圖像中的噪聲和重要的特征進行同樣的平滑,在去噪的同時也平滑邊緣。(2)設矩陣D的兩個特征值相等,但其特征值的大小隨圖像位置的變化而變化。因為圖像中的邊緣具有大的梯度,為了減少對邊緣的平滑強度,設矩陣的特征值隨著所在位置的圖像梯度的增加而減小。這樣,可以得到各向同性的非線性擴散濾波子。該類濾波子一定程度上可以識別邊界位置,在去噪的同時,在邊界位置處減少平滑強度。(3)矩陣D的兩個特征值與兩個特征向量采用如下方式設計:(i)兩個特征向量分別平行及垂直于邊緣;(ii)當梯度大時,選取特征值使得垂直于邊緣方向的平滑減到很小,同時主要沿平行于邊緣方向平滑。這樣得到各向異性的非線性擴散濾波子。這類濾波子在去噪的同時,很大程度上可以保持邊緣。此外,因為隨著時間的不同,圖像的灰度發(fā)生變化。因此,各向異性的非線性擴散濾波子事實上根據上次圖像平滑的結果也進行自適應的變化。這反映各向異性的非線性擴散濾波子存在對上次平滑結果的反饋,而且這種反饋可以用于指導新的平滑過程。因此,這類濾波子具有經典模版濾波算法沒有的優(yōu)勢。關于非線性擴散濾波子更詳細的討論及更多的應用可以從文獻[12,13,14,15,16,17]中找到。為了直觀地比較各向同性與各向異性濾波子的圖像平滑效果的不同,在圖7我們給出對比的實驗結果。顯然,各向同性濾波子的圖像平滑效果更加模糊,亦即邊緣保持比較差。2.2lagrange方程的恢復問題的轉化受噪聲以及離散采樣或者成像技術的限制,圖像的真實灰度存在一定的改變。有時,人們試圖從采集的圖像恢復原來真實的圖像。通常人們并不清楚真實的圖像是什么。所以對圖像進行恢復操作時,通常做如下兩個假定:(1)整體上,恢復后的新的圖像和處理前的圖像改變不大。(2)恢復后的圖像是分片光滑的。設f(x,y)與g(x,y)分別表示恢復前與恢復后的圖像?；谏鲜鰞蓚€假定,圖像的恢復問題轉化為如下的優(yōu)化問題:這里Ω表示函數空間,t表示歸一化參量,▽g(x,y)表示g(x,y)的梯度函數,ψ(t)是的t增函數。(g(x,y)-f(x,y))2促使恢復后的圖像和原圖像改變不大,ψ(‖▽g(x,y)‖2)促使恢復后的圖像比較光滑。根據變分計算,上述優(yōu)化問題的極小值滿足如下的Euler-Lagrange方程:如果近似地將等式的左邊看作gt的近似,則圖像恢復問題與上面討論的各向異性擴散問題相類似。通過合適地設計函數ψ(t),比如讓ψ(‖Vg(x,y)‖2)隨著圖像梯度的增加而減小,則進行圖像恢復時,我們也可以使得區(qū)域內的噪聲得到平滑,但同時邊界得到保持。關于圖像恢復的更詳細的介紹,參見文獻及其后的文獻。2.3基于偏微分方程的變形曲面技術在經典的基于梯度或零交叉邊緣算子的圖像邊緣檢測技術中,對噪聲的敏感以及許多時候難以抽取得到封閉的邊緣是該類技術的主要缺陷。此外,該類技術獨立地在圖像的不同的局部區(qū)域分別判定邊緣點,很難有效利用到邊緣的全局的信息以及包含待分割目標的知識。利用基于偏微分方程的形變曲面技術,如主動輪廓線算法、水平集方法,可以比較好的克服經典邊緣檢測算法中邊緣不封閉、噪聲敏感等缺點。該類算法具有如下的優(yōu)點:(1)可以從一些質量很不好的生物醫(yī)學圖像(如超聲圖像)中抽取光滑、封閉的邊界。(2)對局部小噪聲不太敏感。(3)克服了由于圖像質量不好或者噪聲導致的邊緣斷裂現象。(4)可以進行交互分割。通過交互設置初值,選擇感興趣的目標進行分割。因此,主動輪廓線算法被一些研究者稱為近20年中圖像分割算法的一個重大進展。同時,水平集方法正受到圖像處理研究者的極大重視。下面分別做簡單的介紹。2.3.1輪廓線求解算法直觀地,Snake型算法可以近似地用氣球的膨脹過程進行形象的類比。假定氣球內部有促使氣球向外膨脹的壓力,而在邊界位置有阻止氣球膨脹的反向壓力。首先將氣球置于真實邊界位置的內部。然后氣球在其內部壓力作用下向外膨脹。當氣球接近真實邊界位置時,由于遇到反向的壓力,其將逐漸停止膨脹,最后在真實邊界節(jié)置處于平衡狀態(tài)。因此,通過計算處于平衡狀態(tài)的氣球的位置,就得到真實邊界的位置。令v(s)=(x(s),y(s))表示二維圖像中的一條封閉的曲線(氣球)。我們的目的是賦予該曲線以演化的能量。當將其置于真實邊界的內部(外部)時,在能量的作用下,該封閉的曲線將向外(內)膨脹(收縮)。最終封閉的曲線在能量極小處達到平衡。這時,處在平衡態(tài)的封閉曲線就是真實邊界的一個近似。這里,問題的關鍵是如何設計促使封閉的曲線v(s)=(x(s),y(s))合適地演化的能量函數。概括地,能量函數可以粗略地表示為:E(v)=Eint(v)+Eext(v)。這里Eint(v)與Eext(v)分別表示促使封閉的曲線向外、向內兩個相反的方向進行運動的能量。我們的目的是通過極小化該能量函數計算封閉輪廓線的新位置。封閉曲線隨著時間變化,岡此可以表示為二參量函數v(s,t)=(x(s,t),y(s,t)),t表示時間參量。Eint表示內部的形變能量,亦即表示曲線自身的彎曲力和延伸力等內力所確定的內部能量。具體地,它刻畫了具有彈性的、易彎曲的輪廓線的形變。其中,w1(s)控制輪廓線的張力,w2(s)控制輪廓線的剛性。Eext(v)和圖像特性相聯系。傳統(tǒng)上,Eext(v)=(v(s)ds。這里,p(x,y)表示定義在圖像中的一個標量勢函數。為了從圖像中抽取邊界曲線,p(x,y)的局部極小要設計的與圖像的真實邊界線相一致。例如,通過令p(x,y)=-c.‖▽f(x,y)‖,演化的輪廓線將被吸引到圖像f(x,y)的邊界的位置。c是一個參量,控制勢函數的強度。根據變分計算,極小化能量函數E(v)的輪廓線v(s)滿足如下的Euler-Lagrange方程:當輪廓線到達平衡態(tài)時,該偏微分方程表示內力和外力的平衡。方程中,前兩項分別表示伸展與彎曲的力,第三項為與圖像相關的外部的力。該方程需要數值求解。關于主動輪廓線方法的詳細討論、改進以及應用,見文獻[22,23,24,25,26,28,29,30]。圖8顯示利用主動輪廓線方法抽取圖像中的邊界曲線時,在不同的時間步,封閉曲線的演化的結果。主動輪廓線算法的最主要優(yōu)點是無論圖像的質量如何,總可以抽取得到光滑、封閉的邊界。但是,該類算法也存在一定的限制。該類算法難以處理輪廓線拓撲的變化。因此無法正確處理分岔,多目標邊界的提取等問題。此外,該類算法對初始值(初始輪廓線位置)比較敏感,收斂易陷入局部極值,常常無法收斂到輪廓的深度凹陷部分。在實際使用中,合適參量的選擇也是一個對最終結果有很大影響的因素。盡管人們對基本的snake模型進行了各種各樣的改進,但都是在某一方面作出一些改進,仍未從根本上解決snake模型存在的困難。主動輪廓線算法的不具備自動拓撲變換能力的這一缺陷在水平集方法中有一定程度的改進。2.3.2維圖像中輪廓線的演化過程在Snake類算法中,我們的目的是通過施加合適的力,促使輪廓線本身不斷的變化,最終達到一個平衡位置。因此,在Snake類算法中,實現輪廓線的自動拓撲變換比較復雜、困難。水平集方法是一種不同的計算和分析二維或三維空間中界面運動的方法。其基本思想是將表示界面的閉合曲線或曲面隱含地表達為高一維的函數(稱為水平集函數)的零水平集。通過設計一定的規(guī)則,讓水平集函數不斷演化,從而帶動隱含的界面(輪廓線)也進行相應的變化。最終的界面(輪廓線)從變化后的水平集函數中計算。在水平集方法中,我們并不試圖直接改變輪廓線。我們通過讓水平集函數變化來隱含地實現輪廓線的改變。因此,在水平集方法中,界面的拓撲變化可以得到比較自然的處理。我們考慮二維圖像。令φ(x,y,t)表示隨著時間而變化的水平集函數,其相應的零水平集表示為l(t)={(x,y):φ(x,y,t)=0}。則明表示不同時刻得到的目標的真實輪廓線的近似。φ(x,y,t)可以看作三維空間的一個曲面。水平集函數φ(x,y,t)的發(fā)展方程一般表示如下:這里,▽φ(x,y,t)表示水平集函數的梯度,F(·)為曲面φ(x,y,t)的法線方向上的速度函數,用于控制曲面的運動。水平集函數的發(fā)展取決于速度函數F(·)。要很好的抽取邊界輪廓線,設計合適的函數F(·)是關鍵。一般,F(·)包括與圖像本身有關的各種項(如圖像的梯度信息)、與曲線的幾何形狀有關的項(如曲線的曲率)以及其他約束條件。F(·)的設計應保證演化的水平集函數的水平集(曲線)逐漸靠近真實的邊界位置。關于水平集方法的更多的介紹見文獻[31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]。特別,綜述性文獻關于水平集方法有詳細、全面的介紹。這些文獻的參考文獻中羅列了近幾年來發(fā)表的和水平集方法相關的幾乎所有的主要文獻。相對于Snake算法,水平集算法在處理圖像時的主要改進可能是:對于輪廓線的拓撲改變可以自然的進行處理以及對初值的敏感性有所降低。圖9中,我們利用水平集方法抽取仿真圖像中的多個目標的輪廓線。水平集函數中的輪廓線的演化過程以及輪廓線的拓撲變化過程可以非常直觀的看到。在圖10中,顯示的是利用水平集方法抽取MRI醫(yī)學圖像中大腦的復雜邊界線時,水平集函數中的輪廓線的演化過程。這里,需要指出的是,盡管主動輪廓線算法及水平集方法可以生成封閉的輪廓線。但是,當真實的邊界的梯度很小或者有缺口時,演化的輪廓線存在從邊界的梯度很小或者有缺口處滲出的問題。與之向對,演化的輪廓線常常無法收斂到邊界的深度凹陷部分。此外,實際應用中,合參量的選擇也非常重要,其常對最終結果有比較大的影響。2.4圖像分割的解析對圖像進行區(qū)域分割的目的是,將圖像分為若干個互不連通的區(qū)域,使得每個區(qū)域的圖像灰度(或者其他屬性)基本上是一致的,但區(qū)域間圖像的灰度(或者其他屬性)是不一致的。設Ω∈R2是一個有界開集,GΩ為Ω中由若干光滑的曲線構成的閉集,Ωj,j=1,2,...N表示Ω/C中的所有況個連通分支。則。令|C|表示C中所有曲線的長度,f(x,y):Ω→R+為有界的函數。如果讓Ω表示圖像的采樣空間或者定義域,f(x,y)表示圖像函數,Ωj,j=1,2…N表示圖像中的不同的區(qū)域,C表示圖像中不同區(qū)域之間的分界線,Mumford和Shah將圖像分割問題用數學語言描述如下:“對于給定的圖像f(x,y),尋找f(x,y)的一個優(yōu)化的分片光滑逼近函數g(x,y)以及區(qū)域Ω的分解:Ωj,j=1,2,…N,使得g(x,y)在每個Ωj中光滑但是在Ωj的邊界處不連續(xù)或者梯度很大?！睘榱私鉀Q該問題,Mumford和Shah提出如下的極小化問題:這里,u,v是兩個用于加權能量函數中不同項的參量。最小化解{g,C}中,g(x,y)是f(x,y)的優(yōu)化的分片光滑逼近函數,C是f(x,y)中圖像的邊界線的逼近曲線。g(x,y)只在每個連通分支Ωj內光滑。上述極小化問題被許多研究者稱為Mumford和Shah泛函。關于該泛函的詳細討論、其在圖像分割中的應用及其數值計算可以參考文獻,。2.5閾值提取及分類處理許多已有分割算法,可以用一個變分問題描述。這里介紹如何將圖像處理中的自適應閾值(Threshold)選取方法建模為一個變分問題。基于閾值的分割算法是最簡單的圖像分割算法之一,被許多研究者討論。閾值算法假定圖像內所包含的每個目標都具有相對一致的灰度分布。同時,不同目標的灰度分布區(qū)間差別較大。這時,我們可以選取M個合適的全局閾值0<T1<…<TM,使得灰度范圍分布在區(qū)間[Tk-1,Tk]中的體素屬于第k個目標。通常,基于閾值的分割算法主要適用于圖像中包含少數幾個目標的圖像。對內容復雜的圖像,基于閾值的分割算法往往難以很好的處理。此外,在許多時候,一些目標及(或)其背景的灰度分布并不均勻。這時無法選擇一個全局的閾值將該目標分離開來。在這種情況下,需要采用自適應閾值算法,亦即讓不同的點(x,y,z)對應不同的閾值g(x,y,z)。g(x,y,z)被稱為閾值函數,其隨著圖像的區(qū)域不同而自適應變化。對于給定的三維圖像f(x,y,z),閾值函數g(x,y,z)滿足條件:(i)g(x,y,z)≥(x,y,z),如果x,y,z屬于背景(ii)g(x,y,z)<f(x,y,z)如果(x,y,z)屬于目標如果構造的自適應閾值函數g(x,y,z)是合適的,目標的邊界正好是曲面S=f(x,y,z)-g(x,y,z)=0。因此,理論上,邊界曲面S上的點的梯度值的積分應該最大。換言之,合適的自適應閾值函數g(x,y,z)應該是滿足如下優(yōu)化條件的函數:這里Ω表示函數空間。因為存在無窮多函數滿足上述優(yōu)化問題,所以我們可以采用計算機視覺中常用的處理這類病態(tài)問題的手法,通過為目標函數增加罰項(penaltyterm)使得上述問題被規(guī)則化為如下的優(yōu)化問題:通過增加上述罰項,我們計算的是一個比較光滑的自適應閾值函數。上述規(guī)則化后的優(yōu)化問題可以轉換為一個泊松方程進行數值計算?？疾靾D2中單個神經元細胞的三維斷層掃描圖像。神經元細胞的各部分(細胞核、樹突、軸突)具有不同的灰度,而且背景的灰度分布也不均勻。這時選擇任何全局閾值低都無法正確的分割出整個神經元細胞。圖11的(2)-(4)中給出當選擇從大到小的三個閾值時,得到的結果。圖11的(1)給出應用自適應閾值算法的結果。3ula和偏微分方程在圖像研究中的應用下面介紹一下基于偏微分方程的圖像處理技術的發(fā)展歷史。該領域的研究主要從上個世紀90年左右開始。在1983和1984年,Witkin和Koenderink首先引入圖像的多尺度(Scale-space)表示。這里,多尺度圖像表示是利用高斯慮波進行平滑得到。其效果等價于各向同性的擴散結果,因此和經典的熱擴散方程相聯系。他們的開拓性的工作是后來的許多基于偏微分方程的圖像處理技術的基礎。在1987年,Kass,Witkin和Terzopoulos提出了著名的主動輪廓線算法(Activecontour)。由于該算法可以用于從二維圖像中抽取封閉的邊緣曲線,很好的克服了經典的邊緣檢測算法中抽取的邊緣曲線不封閉的重要缺陷,因此該算法被一些研究者稱為最近二十多年圖像分割算法的一個重大的進展。在1989年,Mumford和Shah提出了基于變分原理的圖像分割的一般性數學模型,發(fā)展了具有一般性的圖像分割框架。其結果統(tǒng)一了許多圖像分割算法。在1990年,Perona和Malik提出了可以保持邊緣的方向性擴散——各向異性擴散。該類技術被Gerig等1992年介紹進入醫(yī)學成像領域處理醫(yī)學圖像。在1990年,Osher和Rudin明確提出偏微分方程應用于圖像處理的重要性及需要。特別,在UCLA的數學系,以Osher為首的一個圖像研究小組,基于偏微分方程,在圖像處理的諸多問題中做了許多深入而且廣泛的研究。大多數相關的研究結果可以在他們的研究小組的主頁找到。在1988年,Osher和Sethian提出著名的水平集(level-set)算法.該算法現在被廣泛地應用于圖像處理與圖像的分割?；谒郊膱D像分割方法的研究目前是非常活躍的研究課題[31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]?？傊?從上世紀90年代之后,在基于偏微分方程的圖像處理技術領域,研究變的非常活躍。一方面,該領域本身的研究吸引了眾多的研究者。另一方面,該領域提出的許多重要的圖像處理算法被廣泛應用于生物醫(yī)學圖像處理、一般的圖像處理、計算機視覺等應用領域,并得到這些領域的研究者的認同。我們注意到,近幾年,生物醫(yī)學圖像分析領域中著名的國際會議MICCAI(MedicalImageComputingandComputer-assistedIntervention)及IPMI(InformationProcessinginMedicalImaging)都將形變曲面技術(DeformableSurfaceTechniques)作為一個重要的問題討論。在2001年和2003年,伴隨著計算機視覺領域著名的國際會議CVPR、ICCV的召開,IEEE連續(xù)兩次舉行了主題為“Geometric,Variationala.ndLevelSetMethodsinComputerVision”專題研討會。此外,在IEEETransonMedicalImaging,MedicalImageAnalysis,IEEETransonPAMI,IEEETransonImageProcessing,InternationalJournalofComputerVision,JournalofMathematicalImagingandVision等圖像處理領域的國際著名期刊,近幾年也發(fā)表了大量的相關研究結果。圖像處理領域的重要國際期刊及重要國際會議發(fā)表大量的相關的文獻這一事實從另一個側面反映了基于偏微分方程的圖像處理技術的活躍及重要性。在最近幾年,幾個著名的圖像處理國際雜志分別出版了一期與基于偏微分方程的圖像處理技術相關的專輯,討論偏微分方程技術在圖像處理及分析中的應用。包括:(1)V.Caselles.J.M.Morel,G.Sapiro,A.Tannenbaum(Eds),SpecialIssueOnPartialDifferentialEquationsAndGeometry-drivenDiffusionInImageProcessingAndAnalysis,IEEETransactionsonImageProcessing,1998年,7卷,3期,(2)N.Paragios(Eds),InternationalJournalofComputerVision,2002年,50卷,3期,SpecialIssueonVariationalandLevelSetMethodsinComputerVision.(.3)O.Fa.ugeras,P.PeronaandG.Sa.piro(Eds),JournalofVisualCommunicationandImageRepresentation,2002年,13卷,SpecialIssueonPartialDifferentialEquationsinImageProcessing,ComputerVision,andComputerGraphics(4)L.D.Cohen(Eds),JournalofMathematicalImagingandVision,2004,20卷,1/2期,SpecialissueonMathematicsandImageAnalysis.此外,伴隨著基于偏微分方程的圖像處理技術的快速發(fā)展,多部反映相關的前沿的研究結果的專著已經出版,主要包括:(1)B.terHaarRomeny,Ed.,GeometryDrivenDiffusioninComputerVision,Boston,MA:Kluwer,1994(2)Jean-MichelMorel,SergioSolimini,Variationalmethodsinimagesegmentation,(Progressinnonlineardifferentialequationsandtheirapplications;Vol.14),1995(3)J.Weickert,Anisotropicdiffusioninimageprocessing,ECMISeries,Teubner,Stuttgart,1998(4)J.A.Sethian,Levelsetmethodsandfastmarchingmethods:evolvinginterfacesincomputationalgeometry,fluidmechanics,computervision,andmaterialsscience,Ca