《平面向量》單元教學(xué)設(shè)計(jì)

《平面向量》單元教學(xué)設(shè)計(jì)武都區(qū)兩水中學(xué)XXX向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。一、單元教學(xué)目標(biāo)本章主要包括平面向量的實(shí)際背景及基本概念、平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容。通過本章研究，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生：1．通過力和力的分析等實(shí)例，知道向量的實(shí)際背景，會(huì)運(yùn)用平面向量和向量相等的含義，會(huì)向量的幾何表示。2．通過實(shí)例，會(huì)算向量加、減法的運(yùn)算，并會(huì)求其幾何意義。3．通過實(shí)例，熟練運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算，并解釋其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義。4．能說出向量的線性運(yùn)算性子及其幾何意義。5．知道平面向量的基本定理及其意義。6．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。7．會(huì)用坐標(biāo)透露表現(xiàn)平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。8．解釋用坐標(biāo)透露表現(xiàn)的平面向量共線的條件。9．通過物理中“功”等實(shí)例，說明平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。10．體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。11．識(shí)記數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)舉行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。12．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。13．經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何題目、力學(xué)題目與其他一些實(shí)際題目的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何題目、物理題目等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際題目的能力。二、研究者特征分析向量是近代數(shù)學(xué)中重要的和基本的概念之一，它是溝通代數(shù)幾何與三角的一種工具。向量對(duì)學(xué)生來說是比較新的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)它的研究可以說是充滿了探求的欲望，應(yīng)當(dāng)說能夠使大部分學(xué)生在此章節(jié)的研究中體會(huì)到研究的成功樂趣。學(xué)生在研究本單元內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，具備了物理知識(shí).這都為研究向量準(zhǔn)備好各方面條件.三、單元教材分析本章共安排了5個(gè)小節(jié)及2個(gè)選學(xué)內(nèi)容，大約需要12個(gè)課時(shí)，具體分配如下2．1平面向量的實(shí)際背景及基本概念2課時(shí)2．2向量的線性運(yùn)算2課時(shí)12．3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2課時(shí)2．4平面向量的數(shù)量積2課時(shí)2．5平面向量應(yīng)用舉例2課時(shí)小結(jié)2課時(shí)本章常識(shí)結(jié)構(gòu)如下：1．第一節(jié)包括向量的物理背景與概念、向量的幾何透露表現(xiàn)、相等向量與共線向量。教科書首先從位移、力等物理量出發(fā)，抽象出既有大小、又有方向的量——向量，并說明向量與數(shù)量的區(qū)別。然后介紹了向量的幾何表示、有向線向量的長(zhǎng)度（模）、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等基本概念。2．第二節(jié)有向量加法運(yùn)算及其幾何意義、向量減法運(yùn)算及其幾何意義、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義等內(nèi)容。教科書先講了向量的加法、加法的幾何意義、加法運(yùn)算律；再用相反向量與向量的加法定義向量的減法，把向量的減法與加法同一起來，并給出向量減法的幾何意義；然后通過向量的加法引入了實(shí)數(shù)與向量的積的定義，給出了實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；最后介紹了兩個(gè)向量共線的條件和向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則。3．第三節(jié)包括平面向量基本定理、平面向量的正交分化及坐標(biāo)透露表現(xiàn)、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量共線的坐標(biāo)透露表現(xiàn)。2平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。教科書首先通過一個(gè)具體的例子給出平面向量基本定理，同時(shí)介紹了基底、夾角、兩個(gè)向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，給出了平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算和向量坐標(biāo)的概念，最后給出平面向量共線的坐標(biāo)表示。坐標(biāo)表示使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這為通過“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁。4．第四節(jié)包括平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)透露表現(xiàn)、模、夾角。教科書從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義，接著介紹了向量數(shù)量積的性子、運(yùn)算律及坐標(biāo)透露表現(xiàn)。向量數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)接洽了起來，這樣為解決有關(guān)的幾何題目提供了方便，出格能有效地解決線段的垂直題目。6．為了拓展學(xué)生的常識(shí)面，使學(xué)生相識(shí)向量及向量符號(hào)的由來，向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形形式的關(guān)系，本章安排了兩個(gè)“閱讀與思考”：向量幾向量符號(hào)的由來，向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）與圖形性子。四、講授中要注意的幾個(gè)題目1．突出向量的物理背景與幾何背景教科書出格注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。在引言中通過一樣平常生活中確定“位置”中的位移概念，說明研究向量常識(shí)的意義；在2.1節(jié)，通過物理學(xué)中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等作為實(shí)際背景素材，說明它們都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科書又利用有向線段給出了向量的幾何背景，并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學(xué)生熟悉到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)題目、物理題目和數(shù)學(xué)題目中的感化，使學(xué)生建立起理解和運(yùn)用向量概念的背景支持。教科書借助幾何直觀，并通過與數(shù)的運(yùn)算的類比引入向量運(yùn)算，以加強(qiáng)向量的幾何背景。2．強(qiáng)調(diào)向量作為解決現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)問題的工具作用。為了強(qiáng)調(diào)向量作為刻畫力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中常見現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具作用，本章特別注意聯(lián)系實(shí)際。特別是在概念引入中加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。另外，向量也是解決數(shù)學(xué)問題的好工具，例如，和（差）角的三角函數(shù)公式、線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進(jìn)行推導(dǎo)；向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，是一個(gè)很好的數(shù)形結(jié)合工具，教科書通過“平面幾何中的向量方法”進(jìn)行了介紹，并在第三章用向量方法來推導(dǎo)兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現(xiàn)向量作為基本的、重要的數(shù)學(xué)工具的地位。33．夸大向量法的基本思想，明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的中心腸位。向量具有明確的幾何背景，向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長(zhǎng)度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運(yùn)算得到解決。另外，向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形的性質(zhì)緊密相聯(lián)，向量的運(yùn)算（包括運(yùn)算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質(zhì)也可以用向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）來表示。這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)系后，可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平，向量運(yùn)算（運(yùn)算律）把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起。幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”。這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果。如果把解析幾何的方法簡(jiǎn)單地表述為[形到數(shù)]——[數(shù)的運(yùn)算]——[數(shù)到形]，則向量方法可簡(jiǎn)單地表述為[形到向量]——[向量的運(yùn)算]——[向量和數(shù)到形]。教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想，并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問題的“三步曲”。為了使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性，教科書注意引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題時(shí)及時(shí)進(jìn)行歸納，同時(shí)還明確使用了“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限；如果沒有運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語(yǔ)。4．通過與數(shù)及其運(yùn)算的類比，向量法與坐標(biāo)法的類比，建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，突出思想性。向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算既有區(qū)別又有聯(lián)系，在研究的思想方法上可以進(jìn)行類比。這種類比可以打開學(xué)生討論向量問題的思路，同時(shí)還能使向量的研究找到合適的思維固著點(diǎn)。為此，教科書在向量概念的引入，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算等內(nèi)容的展開上，都注意與數(shù)及其運(yùn)算（加、減、乘）進(jìn)行類比。5．引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量?jī)?nèi)容在向量概念的教學(xué)中，要利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過這些實(shí)例是學(xué)生了解向量的物理背景、幾何背景，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)向量作為描述現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型的作用。同時(shí)還要通過解決一些實(shí)際問題或幾何問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)用向量這一數(shù)學(xué)模型處理問題的基本方法。6．加強(qiáng)向量與相關(guān)常識(shí)的接洽性，使學(xué)生明確研究向量的基本思路向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算，而且正是因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮；作為幾何對(duì)象，向量可以刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面），利用向量的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，通過向量運(yùn)算還可以描述幾何元素之4間的關(guān)系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長(zhǎng)度可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問題。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注到向量的這些特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的聯(lián)系中研究本章知識(shí)。五