地理信息系統(tǒng)的數(shù)學模型

第八章地理信息系統(tǒng)的數(shù)學模型利用計算機解決地理信息系統(tǒng)中的各種實際問題時，最重要的工作是建立地理系統(tǒng)的數(shù)學模型，并使建立的模型能較好地模擬實際事物的屬性和規(guī)律。正如一張地形圖上，如果漏繪了一些道路，或者標錯了某些山頂?shù)母叱?，將會給部隊指揮和行軍作戰(zhàn)造成嚴重后果，說明這張地形圖（也可稱為符號模型）錯誤地描述了實際事物。對于數(shù)學模型來說，除了具有物理模擬的特征外，還需要具有數(shù)學方法的抽象模擬，利用數(shù)學符號、數(shù)學式子、程序等刻畫實際事物的客觀本質屬性及其內在聯(lián)系規(guī)律。本章首先介紹建立數(shù)學模型的一般過程，然后介紹常見的數(shù)理統(tǒng)計模型、回歸分析模型和線性規(guī)劃模型?！?.1建立數(shù)學模型的一般過程面對著復雜的現(xiàn)實世界，各種事物都處在不斷的變化之中，要用數(shù)學方法去描述和模擬某些發(fā)展中的現(xiàn)象，不可能采用統(tǒng)一的模式來論述建模問題。但是，可以把建模過程大致劃分下列幾個步驟：一、了解建模對象的實際背景，在此基礎上提出建模目標在調查研究過程中，盡可能掌握與建模有關的數(shù)據(jù)和資料。應當訪問建模對象所在領域的專家，認真總結他們在科學研究中的思路和方法以及解決問題的推理判斷過程。這些專家的邏輯思維經(jīng)驗是十分可貴的第一手建模材料，甚至有些經(jīng)驗已經(jīng)構成了物理模擬的框架，這些都是建立數(shù)學模型的基礎。二、分解模擬對象抓住主要問題分解模擬對象，提出可能性較大的幾種假設，盡可能使問題簡化，減少考慮的因素。這一過程就是數(shù)學抽象和思維的過程。建模者應當具備這種抽象、假設能力同時需要與該領域的專家共同討論，使假設的現(xiàn)實性增加，避免一些不必要的建模工作的重復過程。三、數(shù)據(jù)處理通過實地調查或測量，采集必要的數(shù)據(jù)，輸入計算機，建立數(shù)據(jù)庫。四、圖形顯示，曲線擬合利用某些繪圖軟件或采用統(tǒng)計回歸分析的方法，調用已知數(shù)據(jù)，作出曲線圖，用已知曲線擬合實際曲線。五、模型建立簡化實際問題，提出恰當?shù)募僭O，并利用適當?shù)臄?shù)學工具，刻劃變量之間的關系，建立相應的數(shù)學模型，并求得相應的解。六、模型的驗證將模型運算結果與實際情況相比較，也就是進行誤差分析，確定模型的可信程度。如果計算結果與事實不相符合，說明在建模的過程中，可能忽略了某些重要的因素，缺乏關鍵的數(shù)據(jù)。這時，必須加強對實際問題的調研，重新開始建模過程。七、預測和決策一個成功的地理信息系統(tǒng)的數(shù)學模型，不僅能解釋系統(tǒng)的已知現(xiàn)象，而且還可以預測系統(tǒng)的某些未知現(xiàn)象，把已知數(shù)據(jù)代入模型內，預測系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，并為系統(tǒng)的合理利用與開發(fā)，提供最優(yōu)決策?！?.2數(shù)理統(tǒng)計分析模型數(shù)理統(tǒng)計分析主要用于數(shù)據(jù)分類和綜合評價，數(shù)據(jù)的分類和評價的問題通常涉及大量的相互關聯(lián)的地理因素。主成分分析方法可以從統(tǒng)計意義上將各影響要素的信息壓縮到若干合成因子上，從而使模型大大地簡化。因子權重的確定是建立評價模型的重要步驟，權重正確與否極大地影響評價模型的正確性，而通常的因子權重的確定依賴較多的主觀判斷層次分析法是綜合眾人意見，科學地確定各影響因子權重的簡單而有效的數(shù)學手段。隸屬度反映因子內各類別對評價目標的不同影響，依據(jù)不同因子內的變化情況確定，常采用分段線性函數(shù)或其它高次函數(shù)形式計算。常用的分類和綜合的方法包括聚類分析和判別分析兩大類。聚類分析可根據(jù)地理實體之間影響要素的相似程度，采用某種與權重和隸屬度有關的距離指標，將評價區(qū)域劃分若干類別；判別分析類似于遙感圖像處理的分類方法，即根據(jù)各要素的權重和隸屬度，采用一定的評價標準將各地理實體判歸最可能的評價等級或以某個數(shù)據(jù)值所示的等級序列上。分類定級是評價的最后一步，將模糊聚類的結果根據(jù)實際情況進行合并，并確定合并后每一類的評價等級，對于模糊判別分析的結果序列采用等間距或不等間距的標準劃分為最后的評價等級。下面簡要介紹分類評價中常用的幾種數(shù)學方法。一、主成分分析在地理問題中，指標越多，問題分析就越復雜，但實際的指標并不一定都是獨立無關的，恰恰相反，許多指標之間存在著相當好的相關性。因此，力求用較少的指標來進行分析研究，并要求指標同樣能反映原有較多指標的信息。找出較少指標就是要找出少數(shù)幾個獨立無關的變量，這種方法稱之為主成分分析。設有n個樣本，p個變量。將原始數(shù)據(jù)轉換成一組新的特征值一一主成分，主成分是原變量的線性組合且具有正交特征。即將x,x,?,x綜合成m(mVp)個指標z,z,?,TOC\o"1-5"\h\z12p12z。即mz=l*x+l*x+…+l*x1111221ppz=l*x+l*x+…+l*x(8—2—1)2112222ppz=l*x+l*x+…+l*xmm11m22mpp這樣決定的綜合指標z,z,?,z分別稱做原指標的第一，第二，…，第m主成分。12m其中z在總方差中占的比例最大，其余主成分z,z,?,z的方差依次遞減。在實際工作123m中常挑選前幾個方差比例最大的主成分,這樣既減少了指標的數(shù)目,又抓住了主要矛盾,簡化了指標之間的關系。從幾何上看，找主成分的問題，就是找p維空間中橢球體的主軸問題，從數(shù)學上容易得到它們是x,x,…，x的相關矩陣中m個較大特征值所對應的特征向量，通?？捎醚趴?2p比法(Jacobi)計算特征值和特征向量。顯然,主成分分析這一數(shù)據(jù)分析技術是把數(shù)據(jù)減少到易于管理的程度,也是將復雜數(shù)據(jù)變成簡單類別,便于存儲和管理的有力工具。地理研究的GIS用戶常使用上述技術，因而應把這些變換函數(shù)作為GIS的組成部分。二、層次分析法過去研究自然或社會現(xiàn)象主要有機理分析和統(tǒng)計分析兩種方法。前者用經(jīng)典的數(shù)學工具分析現(xiàn)象的因果關系,后者以隨機數(shù)學為工具,通過大量的觀測數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年來發(fā)展起來的第三種方法稱系統(tǒng)分析。層次分析(AHP)法就是系統(tǒng)分析的數(shù)學工具之一，它把人的思維過程層次化、數(shù)量化,并用數(shù)學方法為分析、決策預報或控制提供定量的數(shù)據(jù)。事實上這是一種定性和定量分析相結合的方法。在模型涉及大量相互關聯(lián)、相互制約的復雜因素的情況下,各因素對問題的分析有著不同的重要性,決定它們對目標重要性的序列，對建立模型十分重要。AHP方法把相互關聯(lián)的要素按隸屬關系分為若干層次，請有經(jīng)驗的專家對各層次各因素的相對重要性綜合定量指標,利用數(shù)學方法綜合專家意見給出各層次各要素的相互重要性權值，作為綜合分析的基礎。例如要比較n個因素y=|y,y,…,y丨對目標z的影響，確定它們在z中的比重，每次取兩個因素y和y,用a表12nijij示y與y對z的影響之比，全部比較結果可用矩陣A=(a)表示，A叫做成對比矩陣，它ijijnXn應滿足：a>0,a=1/a(i,j=1,2,…，n)(8-2-2)ijjiij使上式成立的矩陣稱互反陣，不難看出必有a=1。ij在旅游問題中，假設某人考慮五個因素：費用y、景色y、居住條件y、飲食條件y、1234旅途條件y。用成對比較法得到正互反陣是：5「y1「y1y2y112y21/21A=y31/71/4y41/51/3y5<1/51/3在(8-2-3)式中a12=2表示y1與景色y2y3y4y5[755433(8-2-3)41/21/3211311/選擇旅游點(目示z)的重要性之比為2:1,九=7表示費用yi與居住條件『3之比為4：1。如果A不是一致陣(即AyA23不等于Ai3)，需求正互反陣最大特征值對應的特征問題，作為權向量。三、系統(tǒng)聚類分析雖然數(shù)據(jù)整理能將大量而復雜的多變量數(shù)據(jù)適當壓縮，但人們希望進一步減少數(shù)據(jù)的復雜程度，即將數(shù)據(jù)定義成一組多變量類別。主成分分析僅僅是數(shù)據(jù)沿著一條新軸的旋轉和投影，得到新值，既大大壓縮了原始數(shù)據(jù)也可以作為新變量使用。主成分分析后的主分量不是按地理空間制圖，而是按主成分軸定義的空間制圖。當數(shù)據(jù)在主成分空間的兩坐標軸上的分布具有相似性時，這種散射圖(常把主成分空間繪制的圖稱散射圖)能夠顯示出明顯的類別特性即聚類特性。如果這些聚類能歸納為分類系統(tǒng)中的某一類的話，就有可能進一步減少數(shù)據(jù)的復雜性。另外，這些聚類完全由原始數(shù)據(jù)的分析推演而得，因而能代表“天然”類別，比外生分類(按所研究數(shù)組的門檻確定其區(qū)間，而不是由數(shù)組本身派生出來的區(qū)間)和層次分類等人為強加的類別更加真實。60年代末到70年代初人們把大量精力集中于發(fā)展和應用數(shù)學分類法，且將這類方法應用于自然資源、土壤剖面、氣候分類、環(huán)境生態(tài)等數(shù)據(jù)，形成“數(shù)學分類學”學科。目前聚類分析已成為標準的分類技術，在許多大型計算機中都存儲了這種分析程序，從GIS數(shù)據(jù)庫中將點數(shù)據(jù)傳送到聚類分析程序也不困難。聚類分析的主要依據(jù)是把相似的樣本歸為一類，而把差異大的樣本區(qū)別開來。在由m個變量組成的m維的空間中，可以用多種方法定義樣本之間的相似性和差異性統(tǒng)計量。它是一種定量方法，從數(shù)學分析的角度，給出一個更準確、細致的分類。用xk表示第i個樣本第k個指標的數(shù)據(jù)，xk表示第j個樣本第k個指標數(shù)據(jù)。D表示ikjkij第i個樣本和第j個樣本之間的距離，根據(jù)不同的需要，距離可以定義為許多類型，最常見、最直觀的距離是歐氏(Euclid)距離，其定義如下：mdj={[(x-x)2]/m}i/2(8-244)ijikjkk=1依次求出任何兩個點的距離系數(shù)d(i,j=l,2,…,n)以后，即可形成一個距離矩陣:(8-255)ij(8-255)dd-d11121ndd?dD=21222ndddn1n2nn

它反映了地理單元的差異情況在此基礎上就可以根據(jù)最短距離法或最大距離法或中位線法等進行逐步歸類，最后形成一張聚類分析譜系圖，如圖8-2-1。除上述的歐氏距離外，定義相似程度的還有絕對值距離、切比雪夫距離、馬氏距離、蘭氏距離、相似系數(shù)和定性指標的距離等。d1.東北區(qū)2.內蒙古及長城沿線區(qū)3.黃淮海區(qū)d1.東北區(qū)2.內蒙古及長城沿線區(qū)3.黃淮海區(qū)4.黃土高原區(qū)5.長江中下游區(qū)6.西南區(qū)7.華南區(qū)8.甘新區(qū)9.青藏區(qū)圖8-2-1九大農(nóng)業(yè)區(qū)聚類譜系圖判別分析的特點是根據(jù)已掌握的、歷史上每個類別的若干樣本的數(shù)據(jù)信息，總結出客觀事物分類的規(guī)律性，建立判別公式和判別準則，就能判別該樣本所屬的類別。例如，在評價產(chǎn)品的市場競爭力時，可根據(jù)商品的多項指標(諸如其內在質量、外型美觀以及包裝價格等)判別消費者對商品喜歡或不喜歡。判別分析依其判別類型的多少與方法的不同，可分為兩總體判別、多總體判別和逐步判別等。判別分析要求根據(jù)已知的特征值進行線性組合，構成一個線性判別函數(shù)y,即y=C*X+C*XHFC*X=￡C*X((72-6)1122mmkkk=1式中，ck(k=1,2,…,m)為判別函數(shù)，它可反映各要素或特征值作用方向、分辨能力和貢獻率k的大小。只要確定了ck，判別函數(shù)y也就確定了。xk為已知各要素(變量)的特征值。為了使kkI=[y(A)-j(B)]2[yi(I=[y(A)-j(B)]2[yi(A)-y(A)]2+iE[y.(B)-$(B)]2ii=1i=1判別函數(shù)求出以后，還需要計算出判別臨界值，然后進行歸類。不難看出，經(jīng)過二級判別所作的分類是符合區(qū)內差異小而區(qū)際差異大的劃區(qū)分類原則的。8.3回歸分析模型回歸分析是研究因變量y和自變量x之間存在某種相關關系的方法，其中要求自變量x是可以控制或可以精確觀察的變量，因此當x取每一個確定值后，y就有一定的概率分布。iiii=1ii=1若y的數(shù)學期望存在，則其值是x的函數(shù)。即y=p(x),這個p(x)稱為y對x的回歸函數(shù)，或稱y關于x的回歸?；貧w函數(shù)可以是一元函數(shù)，也可以是多元函數(shù)，可以是線性的，也可以是非線性的。下面我們主要介紹一元線性回歸和多元線性回歸模型。一、一元線性回歸橫型假設自變量為x,因變量為y,估計y與x之間存在線性關系，則有y=B0+B］X(8-3-1)其中B0,B1是待定的未知常數(shù)，稱為回歸系數(shù)。式(8-3-1)稱為一元線性回歸模型。設(x,y)i=1,2,?,n是一組觀測數(shù)據(jù)，考慮到實際觀測中，由于隨機因素的干擾，因變量ii的取值不僅與自變量的取值有關，而且與誤差有關，我們利用這組數(shù)據(jù)，建立如下方程組yi=p0+BIxi+eii=1,2,…,n(8-3-2)e表示觀測過程中隨機因素'對y的影響誤差，假設e是獨立同分布的不可觀測的隨機iii變量，e?N(0,O2)。y是可觀測的(即能給出樣本值的)獨立的隨機變量，y?N(B+px,iii01iO2)。x可以是一般變量，也可以是隨機變量。i(8-3-2)式中的回歸系數(shù)B0與B］，隨機誤差ei通過以下方法估計其值。將B0與B』勺估計值代入(8-3-1)式用來確定°x與y之間的對應關系，利用e的估計值可以評價模型的有1效性。__通常是采用最小二乘法估計B0與B］。其原理是選取B0，B］的估計量亍。與F1，使誤差e的平方和達到最小。令°°°iRSS(卩0,片)二工(yi-P0一幾x.)201i01ii=1RSS(B0，B丿是殘差的平方和。利用拉格朗日乘子法，易從上式中求出：P0=y-卩］XP1=(X'X)-1X'Y(8-31⑻這里x=(x,x,?,x)',y=(y,y,…，y)'12n12nx=十工x,y=+工yn.n.__i=1i=1把(8-3-3)式解得的B0,P］代入(8-3-2)式，則有y=B0+P1x(8-3-4)稱為n個觀測點上的回歸預報值。然而，變量x,y之間是否存在線性關系?假若y不依賴于x,即當x變化時，y總是一確定的值，那么y與x之間也就不存在線性關系。因此，需要進行假設檢驗。現(xiàn)采用平方和分解方法，實行假設檢驗。令TSS=H(y-y)2表示觀測值與它們的平均數(shù)的離差的平方和，可稱為總平方和。iESS二工(y-y)2表示估計的y值與其平均數(shù)的離差平方和，稱為回歸平方和。i=1RSS=H(y-y)2,稱為殘差平方和。iii=1它們之間存在如下的數(shù)量關系：TSS=ESS+RSS(8-3-5)這個等式說明，y的觀測值的總平方和可分解為兩部分：一部分可歸于回歸方程存在的原因，另一部分則是隨機因素所致。這樣，就可以如下定義系數(shù)：r2=-ES&心二蜩)TSS顯然0Wr2Vl,通常把r稱為相關系數(shù)?？谠浇咏诹悖瑇,y之間線性相關的程度越小;反之，r2越接近于1,x,y之間線性相關程度越密切。故只有當r2大到一定程度時，相關性才是顯著的。相關性顯著的指標采用F統(tǒng)計量來衡量。設：fTSS:總平方和的自由度；f=總觀測數(shù)-l=n-lTSSfESS:回歸平方和的自由度；ESSf=回歸系數(shù)的個數(shù)-1,對于一元線性回歸模型：ESSf=1ESSfRSS:殘差平方和的自由度；RSSf=總觀測數(shù)-回歸系數(shù)的個數(shù)=n-2RSS平方和除以相應的自由度，稱為均方?？梢宰C明：殘差平方和的均方是誤差方差"的一個無偏估計。令:ESS/fF=ESS-RSS/fRSS(7-W)上式中fESS=1，fRSS=n_2,代入上式，有：百(1)ESSF=(n—1)-2RSS在給定分子和分母的自由度，以及顯著水平a，可以從F分布的統(tǒng)計表中查出F值，記住F，將式(8-3-7)所得的F值與F相比較，當F>F時，則認為對于給出的a水平，相aaa關性是顯著的；反之，若FVF，則認為相關性是不顯著的，y與x之間用線性描述。a二、多元線性回歸模型設自變量x,x,?,x與因變量y有關，這時需采用多元線性回歸模型。TOC\o"1-5"\h\z12my=B+Bx+Bx+?+Bx(7(8153-8)01122mm假設y,x,x,?,x(i=1,2,?,n)是n次觀測數(shù)據(jù)，它們之間有如下關系：ii1i2imy=B+Bx+Bx+?+Bx+u(i=1,2,?,n)(8-3-9)i01i12i2mimi式中：Bo—截距；BrB2，…，B—偏回歸系數(shù)；u—隨機干擾項；1i—第i個觀測值；n—總體容量。(8-3-70)(8-3-70)y-1x…-x1111m八y1x…?xy=2X=212m_y_1x…?xnn1nm「卩11u=u1_p_umm貝有y=X0+u參數(shù)估計：a=(XTX)-iXTY方差分析：總平方和TSS二工(y-$)2i殘差平方和RSS丄(y-y)2ii=1回歸平方和ESS=TSS-RSS復相關系數(shù)：r=^~ess7tss=j匚RSSTTSS回歸標準差：s=tRSS/n-m-1總體F值檢驗：假設H在P=0,P=0,…,P=0時012mESS/mF=一RSS/(n-m-1)當F值大于臨界值時，拒絕H。，即認為線性回歸方程顯著。TOC\o"1-5"\h\z回歸系數(shù)t檢驗：對于i=0,l,…,m。H在B=0,B=0,…，B=0時012m■d?RSS/(n-m-1)"ii其中d=(XtX)-i,t大于臨界值時，拒絕H，即認為B是相關顯著的。iii0iDW檢驗：u=y-y,殘差序列u,u,,uxtttt-1t-n-1DW=工(u-u)2/RSSii-1設臨界值上、下限為d,d,則uldVDWV4-d無自相關uudVDWVd和4-dVDWV4-d不能確定luulDWVd]正自相關DW>4-d]負自相關當殘差序列自相關性較弱時,DW=2。三、計算實例表8-3-1年份財政支出基建貸款增撥流動資金文、衛(wèi)、科事業(yè)費用其它費用1955269.388.554.9919.3265.001960654.1354.567.4750.4658.001965466.3158.527.5545.5986.761970649.4298.431.2343.65145.261975820.9327.041.8481.29142.4619801212.7419.436.71156.26193.8419851153.3309.223.63196.96176.35在這些數(shù)據(jù)基礎上計算出回歸方程。y=-3.1006+1.0254x+1.0254x+3.1101x+1.2689x1234y：財政支出擬合值；x1：基建貸款；x2:增撥流動資金；x3:文、衛(wèi)、科事業(yè)費。X:其它費用。4復相關系數(shù)r=0.9989回歸標準差s=15.6855F值檢驗=3112.011DW值檢驗DW=1.43065t檢驗值t=0.3479,t=20.6079,t=5.1533,t=29.1832,t=10.765612345從回歸結果看,這個模型的擬合情況是較好的。8.4線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃的一般數(shù)學模型如下:目標函數(shù):((8-481)Z=丈ckTmax（或((8-481)ijj=1限制條件:遲aX<遲aX<（或=,>）1jj1j遲aX<（或=,>）2jj2jb1b2（7-4-2）（7-403）迓aX<(或=,>)b(7二24)mjjmmj式中：c(j=l,2,…,k)代表價格系數(shù)、費用系數(shù)或利潤系數(shù)；ja(i=l,2,…,m;j=l,2,…,k)代表已知常數(shù)，或叫做資源消耗系數(shù)；ijb(i=l,2,…,m)代表資源數(shù)量；iX(j=l,2,…,k)代表所求的未知數(shù)。j下面將利用線性規(guī)劃模型，以山東省禹城旱澇堿綜合治理實驗區(qū)為例論證該區(qū)農(nóng)作物結構遠景的最優(yōu)方案。目標是使糧食、棉花、油料和麻類四種作物(占該區(qū)總耕地的絕大部分)的產(chǎn)值達到最大。設糧、棉、油、麻四種作物的面積占耕地總面積(或這幾種作物的面積占總耕地面積之和)的比例分別為x、x、x、x。預測這四種作物的畝產(chǎn)分別達到4001234公斤、50公斤、100公斤、200公斤，每公斤的價格分別為0.2572元、2.956元、0.9478元、2.077元。于是便可寫出一個求畝產(chǎn)值達到最大的目標函數(shù)：Z=0.2572X400x+2.956X50x+0.9478X100x+2.077X200x—max1234為了達到這個目標，必須充分利用當?shù)刈匀?、?jīng)濟優(yōu)勢，有效利用土地和水、肥、勞力等資源，并按一定數(shù)量指標建立一系列關系式。設耕地面積等于1，則四種作物占用耕地的約束可寫成：x+x+x+xW11234經(jīng)過估算，該區(qū)糧、棉、油、麻四種作物每畝耗水量分別為190方、140方、117方、100方。每畝平均耗水量不超過170方，于是便有：190x+140x+117x+100xW1701234按估測，以上四種作物每畝平均化肥施用量分別為50公斤、80公斤、64公斤、26.5公斤，每畝平均不超過55公斤。則施肥水平限制可寫成：50x+80x+64x+26.5xW551234經(jīng)過估算，以上四種作物每畝平均用工分別為35個、50個、30個、28個。平均不超過37個，則勞動力限制可寫成：35x+50x+30x+28xW371234根據(jù)國家需要，糧食耕地占總耕地的比重不能小于0.65，由于市場和銷路的限制，麻類種植占耕地比重不能大于0.08。于是就有：x三0.651xW0.084歸納以上分析的全部情況，便獲得了一個完整的農(nóng)作物結構線性規(guī)劃模型：目標函數(shù)：Z=102.9x+148.8x+94.8x+415.4x—max1234TOC\o"1-5"\h\z約束條件：190x+140x+117x+100x<170(1)123450x+80x+64x+26.5x<55(2)123435x+50x+30x+28x<37(3)1234x+x+x+x<1.0(4)1234X］三0.65(5)x<0.08(6)4其中x,x,x,x三01234求目標函數(shù)Z和變量x,x,x和x的最優(yōu)解。1234為解決這一問題，利用了線性規(guī)劃單純型法求解程序，通過計算機運算從而求出最優(yōu)解。其結果見表8-4-1o表8-4-1變量與目標函數(shù)最優(yōu)解x糧食耕地占四種作物耕地之和的比重10.6515x棉花占四種作物耕地之和的比重20.1951x油料占四種作物耕地之和的比重30.0801合計1.0000Z目標函數(shù)值（元）1360660為了檢驗各約束條件在實現(xiàn)最優(yōu)解中的作用，還進行了靈敏度分析。靈敏度是指目標函數(shù)的最優(yōu)解，對于約束條件的單位變化（這里是按約束值增加1%時計算的）反應的靈敏性度量。若第一個約束條件值為b,若b有一個變化量為4b而引起目標函數(shù)Z的最優(yōu)值變iii化為AZ,則靈敏度入=△Z/Ab。表8-4-2給出靈敏度分析結果。ii表8-4-2靈敏度數(shù)值備注入10.0000說明第一個約束條件水源的微小變化對目標函數(shù)不起約束作用，入20.150