新高一數(shù)學(xué)銜接課-區(qū)間上的二次函數(shù)及二次方程根的分布

第八講定區(qū)間上的二次函數(shù)及二次方程根的分布知識要點(diǎn)1、區(qū)間的概念：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b，規(guī)定：（1）滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a,b].（2）滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的全體叫做開區(qū)間，表示為（a,b）.（3）滿足不等式a<x<b或a<x<b的實(shí)數(shù)x的全體叫做半開半閉區(qū)間，表示為[a,b）和（a,b].我們還可以把滿足x>a，x>a，x<b，x<b的實(shí)數(shù)x的全體分別表示為[a,+8），（a,+8），（-8,b]，（一8,b）.2、函數(shù)在它的自變量的取值范圍內(nèi)所取得的最大或最小值稱為函數(shù)的最值。有的函數(shù)不一定有最值，如y=x+1；有的函數(shù)只有最大值或最小值，如y=ax2+bx+c，若a>0，則當(dāng)x=-b時(shí)，y有最小值4aC-b2，而無最大值；2a 4a若a<0，則當(dāng)x=-2時(shí)y有最大值色￡_，而無最小值.2a 4a3、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，主要是通過畫圖，看這兩個(gè)要素：①二次函數(shù)的開口方向；②閉區(qū)間上圖象上的點(diǎn)離對稱軸的遠(yuǎn)近.核心是考慮單調(diào)性。例如二次函數(shù)y=f（x）=ax2+bx+c（a豐0）在xe[a,P]上的最值，當(dāng)a>0時(shí)，有如圖的三種情況：從上述a>0的三種情況可得結(jié)論:(1)若—befa,田，則當(dāng)x=-b時(shí)，y=f(-b)=當(dāng)士，函數(shù)的最大值2a 2a min 2a 4a為f(a)與f(P)中較大的一個(gè).(2)若-b序[a,P],則最大值為f(a)與f(P)中較大的一個(gè)，另一個(gè)即為最小值.2a當(dāng)a<0時(shí)可作同樣處理.例1：已知f(x)=x2-x+2，當(dāng)x在以下區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，求f(x)的最大值和最小值.(1)xe[-1,0]； (2)xe[0,1]； (3)xe[1,2].例2：求y=弋x2-x-6的最值.例3：已知0<x<1，求y=x、1-x2的最值.例4：求y=x+%E的最小值.例5:已知y=x2,求P=x2+(y-a)2的最小值.例6：如圖，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形45。的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，且上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫出梯形周長y和腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求周長y的最值.例7：設(shè)a,B是方程4x2一4mx+m+2=0的兩根，當(dāng)m為何值時(shí),a2+P2有最小值？并求此最小值.例8:已知函數(shù)f(x)=4x2—4ax+a2—2a+2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求a的值.閉區(qū)間上的二次函數(shù)練習(xí)：1、已知f(x)=x2—4x+5，當(dāng)x在以下區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，求f(x)的最大值和最小值.(1)xg[—1,1]；(2)xg[—1,3]；(3)xg[3,4].2、求函數(shù)f(x=-2x2-8x+3,%e[-2,3]的最值.3、求y=。一x2+6x-5的最值.4、當(dāng)x>0時(shí)，求y=x2+2ax的最小值.5、已知y=x2-4x+a-3b,xe[0,5]的最小值為-1，最大值為4a，求a,b的值.6、如圖，在邊長為6的正AABC內(nèi)，AAPQ的邊PQ在BC邊上滑動(dòng)，且PQ=2,求NAPQ三邊的平方和的最大值和最小值.7、若0<x<1，求y=京-x的最大值和最小值.8、8、求函數(shù)y=——8——的最大值.9、設(shè)x，y是關(guān)于m的方程m2—2am+a+6=0的兩個(gè)實(shí)根，求(x—1)2+(y—1)2的最小值.10、若函數(shù)y=x2+ax-1在［-1,1］上的最大值為14，求a的值.二次方程根的分布知識要點(diǎn)：1、對于實(shí)系數(shù)方程方程ax2+bx+c=0(aw0)：b2—4ac>0(1)兩根都是正數(shù)=[c>0ab八Ja<0b2—4ac>0(2)兩根都是負(fù)數(shù)o]c>0ab八J/°(3)兩根一正一負(fù)oc<0.a2、設(shè)x1，x2是二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個(gè)實(shí)根，利用二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象位置可討論根的性質(zhì)，列表如下：方VTi方VTi<1>07【典型例題】例1:方程%2—4%+k=0和方程2%2-3%+k=0有一個(gè)根相同，求此根及k的值.例2:已知方程4%2+2(m-1)%+(2m+3)=0(meR)有兩個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍.例3:已知方程%2-(m+1)%+4=0的兩根都落在［0,3］內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例4:若方程%2+2%-11-k(%-3)=0的兩根都大于2，求k的取值范圍.例5:求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0：(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2小；(2)有兩個(gè)實(shí)根a，B，且滿足0<a<1<P<4；(3)至少有一個(gè)正根.二次方程根的分布練習(xí)：1、函數(shù)y=(x2-2x-3)(x2-2x+3)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 個(gè).2、試確定m的值，使方程4x2+(m-2)x+m-5=0的根均為負(fù)數(shù).3、已知方程(m+1)x2+m(m2-5m+6)x+(m-2)=0的兩根互為相反數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.4、設(shè)方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的兩個(gè)實(shí)根異號，且負(fù)根的絕對值較大，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.5、求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有兩個(gè)實(shí)根,且都比1大.6、已知二次方程mx2+(3m-2)x+2m-2=0有一個(gè)大于-2的負(fù)根，有一個(gè)小于3的正根，求實(shí)數(shù)m