相交線三線八角

相交線、三線八角知識回顧一、 什么是相交線？如果直線a與直線b只有一個公共點，則稱直線a與直線b相交，0為交點，其中一條是另一條的相交線?相交線的性質：兩直線相交只有一個交點.二、 什么是對頂角？一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角三、 什么是鄰補角？兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做互為鄰補角1?相交線如圖所示，直線a與直線b只有一個公共點，稱直線a與直線b相交，0為交點，其中一條是另一條的相交線.相交線的性質：兩直線相交只有一個交點.2?鄰補角如圖中，1和3,1和4,2和3,2和4互為鄰補角互為鄰補角的兩個角一定互補，但兩個角互補不一定是互為鄰補角。3?對頂角?我們也可以說，兩(1?我們也可以說，兩條直線相交成四個角，其中有公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角 ?如圖中，1和2，3和4是對頂角?(2)對頂角的性質：對頂角相等。4?垂線的概念及性質：(1)垂線的概念：垂直是相交的一種特殊情況，兩條直線互相垂直，其中一條叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足?如圖所示，可以記作“ABCD于0”(2)垂線的性質：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短5?同位角、內錯角、同旁內角的概念：同位角：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角 (兩個角分別在兩條直線的相同一側，并且在第三條直線的同旁)叫做同位角如圖所示，/1與/5,/2與/6,/3與/7,/4與/8都是同位角?內錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且位置交錯， (即分別在第三條直線的兩旁)，這樣的一對角叫做內錯角，如圖中，/3與/5,/4與/6都是內錯角同旁內角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間， 并且在第三條直線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角，如圖中,/3與/6,/4與/5都是同旁內角57、8看圖識角:(1)'F”型中的同位角?如圖.呂DN(2)Z”字型中的內錯角，如圖ABN(1)'F”型中的同位角?如圖.呂DN(2)Z”字型中的內錯角，如圖ABN'T字型中的同旁內角如圖.DNCDNC同步練習匚板塊一相交線【例1】判斷正誤：⑴三條直線兩兩相交有三個交點⑵兩條直線相交不可能有兩個交點.()⑶在同一平面內的三條直線的交點個數(shù)可能為0,1,2,3.個交點.(個交點.(⑷同一平面內的n條直線兩兩相交，其中無三線共點，則可得⑸同一平面內的n條直線經(jīng)過同一點可得2nn1個角（平角除外）.（經(jīng)過兩點有且只有【解析】⑴.因為兩兩相交”包含三條直線交于一點的情況.經(jīng)過兩點有且只有（2）1假設兩條直線有兩個交點，這說明經(jīng)過兩點的直線有兩條，這與一條直線〃相矛盾，所以兩條直線相交只能有一個交點，不可能有兩個.⑶V?因為如下圖三直線的位置關系如下：（4）V⑸V（甲）（丙）【答案】（I）；（2）它⑶V⑷V⑸V【例2】平面內兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最少為幾個？最多為幾個?【解析】很容易得到最少的交點個數(shù)是i個；對于最多的情況，不妨從簡單情況入手，畫圖探索規(guī)律,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，平面內n兩相交的6條直線最多有15個交點從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，平面內n兩相交的6條直線最多有15個交點.10個交點個交點，那么平面內兩2【答案】最少有1個，最多有15個交點板塊二對頂角和鄰補角【例3】下列四個命題：如果兩個角是對頂角，則這兩個角相等.如果兩個角相等，則這兩個角是對頂角.如果兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.如果兩個角不相等，則這兩個角不是對頂角.其中正確的命題有（ ）C.3個【答案】B【例4】下列說法中正確的有（ ）一個角的鄰補角只有一個；一個角的補角必大于這個角；若兩角互補，則這兩個角一定是一個銳角、一個鈍角；互余的兩個角一定都是銳角。A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解析】B；一個角有兩個鄰補角，所以①是錯的；一個角的補角可能大于、小于或是等于這個角，所以②是錯的；兩個直角互補，所以③是錯的；④是正確的【答案】B【例5】如圖所示，直線AB,【例5】如圖所示，直線AB,CD相交于點o,若1270，貝〃BOD【解析】T1 2180, 1 270255,BOD1 125答案：125,55【答案】125,55【例6】下列圖中A.1對2是對頂角的有（【解析】對頂角的識別：①有公共頂點；②兩邊均互為反向延長線.鄰補角的識別：①有公共頂點；②有一公共邊；③另一邊互為反向延長線【答案】B

【解析】C?對頂角的識別：①有公共頂點；②兩邊均互為反向延長線.鄰補角的識別：①有公共頂點；②有一公共邊；③另一邊互為反向延長線【答案】C【例8】三條直線兩兩相交于同一點時，對頂角有m對，交于不同三點時，對頂角有n對，則m與n的關系()A?mnB.m>n C.mxn D.mn10【解析】三條直線兩兩相交于同一點時，對頂角有 6對，交于不同三點時，對頂角有 6對，所以mn【答案】D【例9】如圖所示，兩條直線相交，有 對對頂角，三條直線相交于同一點，有 對頂角；四條直線相交于同一點，有 對對頂角，…，n條直線相交于同一點有 對對頂角.【解析】兩，六，十二，n(n1)掌握探索方法，在探索過程中適時進行類比、歸納、概括.這是一道探索規(guī)律題，要注意觀察尋找變化的特征.TOC\o"1-5"\h\z直線L、12相交，有兩對對頂角；直線13分別與L、12又各組成兩對對頂角，所以I.、12、13相i2 3 i2 i2 3交于同一點，有2226對對頂角；直線14分別與I.、12、13各組成兩對對頂角，所以I.、4 .23 i12、J、14相交于同一點有2 2223i2對對頂角…；I.、12、13、…、I相交于同一點，2 4 .2 3 n【答案】兩，六，十二，n(n1)【例10】如圖所示，直線a、bc兩兩相交，123, 265,求4的度數(shù)【解析】 123, 265?-【解析】 123, 265?--1【答案】32.5265?13—652 32-54 332.5【例11】已知：如圖，直線AB、CD交于點0,且AODBOC120°求AOC的度數(shù)?AC—ODB圖1【解由對頂角相等可知，AOD BOC，又AODBOC120,故AOD60【答案】AOC120從而由AOC、 AOD互為鄰補角可知， AOC120【例12】如圖，【例12】如圖，AB、CD、EF交于點o,AOE25°DOF45。求AOD的對頂角和鄰補角的度數(shù).【解析】由對頂角相等可知， COE DOF的度數(shù).【解析】由對頂角相等可知， COE DOF45,故AOC由AOC、AOD互為鄰補角可知， AOD18070110OFzBCAOECOE 圖2COE25 4570.由對頂角相等可知， AOD的對頂角BOC110答案】AOD的對頂角為110AOD的對頂角70板塊三垂直和垂線段【例13】下列說法中正確的是（ ）點到直線的距離是點到直線所作的垂線；兩個角相等，這兩個角是對頂角；兩個對頂角互補，則構成這兩個角的兩條直線互相垂直連接直線外一點到直線上所有點的線段中垂線段最短A?①② B?②③ C?③④ D?②④【答案】C【例14】如圖，已知ACB90°.CDAB，垂足為D，則點A到直線CB的距離為線段 的長;線段DB的長為點 到直線的距離.D圖1【解析】AC,B,CD初學的同學做此題很容易做錯， 有一種線段太多不易判斷的感覺， 實際上在看圖時，只要把一相關的線暫時隱藏，問題就可以解決?例如：觀察點 A到直線CB的距離時，眼中只有點A與CB，然后自己畫出其垂線段，再看所畫線段與誰重合.【答案】AC,B,CD【例15】如圖，A點處是一座小屋，BC是一條公路，一人在。處，①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么?【解析】①走線段0A,因為兩點之間線段最短；②如圖，過點0作ODBC,垂足為D，走線段0D,因為垂線段最短【答案】如圖度數(shù).DOF65°,求BOE和AOC的【解析】 BOD90°65°度數(shù).DOF65°,求BOE和AOC的【解析】 BOD90°65°25°（垂直定義）?AOCBOD25°（對頂角相等）????OECD,???BOE90°25°65°（垂直定義）.本題綜合運用了兩角互余、對頂角相等等性質?由已知條件和觀察圖形，可知 BOD與DOF互余，BOE與BOD互余，BOD和AOC的對頂角，利用這些關系可解此題.【答案】AOC25°BOE65°板塊四三線八角【例17】如圖，填空:①1與2是兩條直線與 被第三條直線 所截構成的 角.圖1②1與3是兩條直線與被第三條直線所截構成的角.③2與4是兩條直線與被第三條直線所截構成的角④3與4是兩條直線與被第三條直線所截構成的角⑤5與6是兩條直線與被第三條直線所截構成的角【答案】①1與2是兩條直線12與丨被第三條直線h所截構成的同位角.②1與3是兩條直線11與13被第三條直線12所截構成的同位角.③2與4是兩條直線12與13被第三條直線11所截構成的內錯角.④3與4是兩條直線1與3被第三條直線11 1312所截構成的內錯角.【解析】讓學生講出來即可⑤5與6是兩條直線h與12被第三條直線13所截構成的同旁內角【例18】下列圖中/1和/2是同位角的是（ ）A.（l）、⑵、⑶A.（l）、⑵、⑶B.⑵、⑶、⑷D.（l）、⑵、⑸C.D.（l）、⑵、⑸【解析】D判斷什么是同位角，圖（1）、（2）、（5）中的/1和/2是同位角【答案】D【例19】如圖，判斷下列各對角的位置關系：（1）/1與/4;⑵/2與/6;⑶/5與/&⑷/4與BCD；（5）/3與/5.【答案】/1與/4是同位角，/2與/6是內錯角，/5與/8是對頂角，/4與/BCD是同旁內角，/3與/5是內錯角.【例20】找出圖中所有的同位角、內錯角和同旁內角，并指出它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的.AC D圖12與4是直線E【例22】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，川」一內錯角？哪此是同旁內角?AC D圖12與4是直線E【例22】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，川」一內錯角？哪此是同旁內角?圖2【答案】圖中,2與3是直線AB、CD2「皿EFm【例 如下圖，圖中與/1勺個數(shù)是（23】B.；C.4D.5【答案】1與5是直線AD、BC被直線AB所截形成的同位角；2與4是直線AD、BC被直線AC所截形成的內錯角；3與5是直線AC、BC被直線AB所截形成的同旁內角;3與4是直線AB、BC被直線AC所截形成的同旁內角;【例21】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，哪些是同位角，內錯角？哪些是同旁內角？【答1與3是直線BE、CD被直線AC所截形成的同位角;案】【答案】【例下圖有24】對內錯角.NN【解析】24?做此類型題：第一、要找三種關系角（同位角、內錯角、同旁內角）關鍵在于尋找線段；第二、不同的線段找出來的三種關系角是不會重復；第三、在線段很多的時候，要找出相同特點的線段的條數(shù)m,只需算出一條線段的關系角的對數(shù) n，故該特點的線段的關系角為mn.在本題中，線段DE、DF、EF，每條線段都有2對內錯角；線段AD、BE、CF，每條線段都只有2對內錯角；線段AB、AC、BC,每條線段都只有1對內錯角；線段AF、BD、CE,每條線段都有3對內錯角；故總的內錯角為： 2323133324.【答案】24【例25】若平面上有4條直線兩兩相交且無三線共點，則共有同旁內角 對?【解析】每條直線都與另3條直線相交，有3個交點，每兩個交點決定一條線段，共有 3條線段，而每條線段兩側各有一對同旁內角，共有3412條線段，總共有24對同旁內角?【答案】24■課后練習【習題1】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，哪些是同位角，內錯角？哪些是同旁內角？MN【答案】圖中，1與3是直線EG、FH被直線MN所截形成的同位角【習題2】如圖，找出圖中用數(shù)字標出的角中的同位角、內錯角和同旁內角.【答案】同位角有：3【答案】同位角有：3與7、4與6、2與8;內錯角有：1與4、3與5、2與6、4與8;同旁內角有：2與4、2與5、4與5、3與6?【習題3】用數(shù)字標出圖中與1是同位角的所有角.【解

析】1的兩條邊所在的直線 a，b,若把a看成是第三條直線，則有:【解

析】1)是a截直線b及卜得1的同位角為a截直線b及12,得1的同位角為a截直線b及13,得1的同位角為若把b看成第三條直線，則有4)得1的同位角為b截直線4)得1的同位角為5；5)的同位角為b截直線a及12,得16；6)截直線a及13得1的同位角為?3 7【答案】1的同位角有【習題4】如圖，某自來水廠計劃把河流AB中的水引到蓄水池使C中，問從河岸AB的何處開渠，才能所開的渠道最短？畫圖表示，并說明設計的理由。A

A【解析】答案如圖。點C與直線AB上各點的所有線段中，垂線段最短【答案】如圖CC【習題5】n條直線最多可將平面分成幾部分？【解析】仍可以從簡單情況入手，畫圖探索規(guī)律， （圖可用上圖）:1條直線最多可將平