感悟數(shù)形結(jié)合

感悟“數(shù)形結(jié)合”——“ ”“”的飛躍數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學數(shù)學中的數(shù)和形關(guān)系非常密切。在小學數(shù)學教學中運用數(shù)形結(jié)合符合兒童的認知規(guī)律我深深地體會在數(shù)學教學中滲透“數(shù)形結(jié)合”的 將帶給學生無窮的力量。“數(shù)形結(jié)合”就是使抽象思維和形象思維相互作用實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化將抽象的數(shù)學關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來研究數(shù)學問題。數(shù)形結(jié)合的 具有雙向性借助“形”的生動和直觀性認識“數(shù)唧以“形”為手段“數(shù)”為目的或借助于“數(shù)”精確和規(guī)范地闡明“形”的屬性。此時“數(shù)”是手段在新課程理念下。教學中我注重“數(shù)形結(jié)合” 的滲透使學生的能力得了很大的提升也改變著我的教育教學觀一、以“形”為起點——充分利用教材使學生感受“數(shù)形結(jié)合”“形”具有形象直觀的優(yōu)勢但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢只有以簡潔的數(shù)學描述、形式化的數(shù)學模型表達“形”的特性才能更好地體現(xiàn)數(shù)學抽象化與形式化的魅力。以“形”為起點充分利用教材使學生感受“數(shù)形結(jié)合”在北師大版第九冊教材《點陣中的規(guī)律》教學時我不斷地問自己“利用點陣來研究數(shù)的規(guī)律”其更為深入的價值在哪在深入分析研究教材的基礎上我認為本節(jié)課的教學旨在讓學生體會我們借助點陣可以研究數(shù)的規(guī)律而這些規(guī)律如果僅僅研究數(shù)將是很困難的以“形”為起點使學生探究出更多的“數(shù)”的規(guī)律教學設計時我充分讓學生利用自己手中的點陣圖認真觀察提出活動要求1獨立思考不同角度觀察正方形點陣。你發(fā)現(xiàn)點陣中有哪些不同的排列規(guī)律并在圖中表示出來2組內(nèi)交流。說一說你發(fā)現(xiàn)的排列規(guī)律試著用算式表示出來。學生在圖形的幫助下了解圖形中點的個數(shù)1491625伊。7所。7這些有規(guī)律的數(shù)是完全平方數(shù)進而利用圖形動手畫一畫可以發(fā)現(xiàn)更重要的規(guī)律1■一角向外擴展來看114139t3516135725135791l每一個正方形數(shù)都可以寫成幾個連續(xù)奇數(shù)的和奇數(shù)的個數(shù)與點陣中的行數(shù)和列數(shù)相同。進而學生們發(fā)現(xiàn)了重要的奇數(shù)列前n項和公式13579所鑰@^2n—1-F2斜著看11412191232116123432125123454321每一個正方形數(shù)都可以寫成1開始連續(xù)加點陣中的行數(shù)再遞減加1的連加算式進而學生們發(fā)現(xiàn)了求和的重要公式1234^6^7^6^7n-Inn一1^6^7^6^74321n2看似一節(jié)看圖找規(guī)律的數(shù)學課正是因為有了圖形激發(fā)了學生學習的欲望鍛煉了學生的思維在短短的一節(jié)課中學生們總結(jié)出了一條又一條的重要公式以“形”為起點學生們嘗了“數(shù)形結(jié)合”帶給他們的快樂。二、以“形”助“數(shù)’在直觀中理解數(shù)學概念、構(gòu)建數(shù)學模型借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化給學生以直觀感讓學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)親歷將實際問題抽象成數(shù)學模型為理解數(shù)學概念奠定基礎。教師通過以“形助“數(shù)”突出圖的形象思維促進學生形象思維與抽象思維的有機結(jié)合化繁為簡化難為易讓學生用多種感覺器官充分感知在形成表象的基礎上進行想象、聯(lián)想達最終理解數(shù)學概念解決數(shù)學問題形成數(shù)學 的目的。案例1在學習了分數(shù)的意義和基本性質(zhì)后我設計了如下的活動。利用方格紙中學中的坐標系幫助學生再次認識“方格紙”中的分數(shù)。小數(shù)數(shù)學教學中只有了學習折線統(tǒng)計圖時才出現(xiàn)了坐標系的影子。但方格紙卻是學生數(shù)學課上常用的學具把方格紙上畫出相互垂直的兩條數(shù)軸這就是數(shù)學家笛卡兒發(fā)明的平面直角坐標系了。由于分數(shù)是由分子、分母這兩個位置上的自然數(shù)構(gòu)成的所以可以用平面上的點表示它。把分數(shù)如圖4所示用橫軸點表示分母縱軸上的點表示分2/3可以用過橫軸上“3點的縱線與過縱軸“2”這一點線的交點A來表示可以用的B點來表示。5/7、4/9、7/10該樣表示呢學生很快就把分數(shù)表示在圖中。這樣表示分數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)什么呢如果將0點也稱坐示原點與這些點分別連接起來再用一把直尺放在橫軸上按逆時針方向?qū)⒅背呃@原點0慢慢旋轉(zhuǎn)掃 的第一個分數(shù)是1/6第二個是4/9然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。我們發(fā)現(xiàn)通過很麻煩的通分可以比較這六個分數(shù)的大小現(xiàn)在我們用直尺逆時針掃過分數(shù)的順序也是比較分數(shù)大小的又一個新分數(shù)小大排列為1/6lt4/9lt2/3lt7/10lt5/7lt3/4。只把分數(shù)畫在方格紙上找在方格紙中的位置就可以比較分數(shù)的大小了。利用這種辦法學生把2/3、4/6、619g畫在方格紙上學生會發(fā)現(xiàn)這些、分數(shù)恰好位于同一條直線上分數(shù)的基本性質(zhì)也就被“畫”在了方格紙上。將某一個具體的平面圖形平均分、涂陰影來表示分數(shù)。是分數(shù)的意義角度而這里實際上是將直線與分數(shù)建立了聯(lián)系也就是用直線斜率表示分數(shù)。學生這個角度去認識分數(shù)不僅能初步感受分數(shù)的大小是由分子、分母兩個數(shù)共同決定的而且可以對坐標系有一個初步的了解對以后的數(shù)學學習是非常有益的。學生在我精心設計的課堂上再次體會了數(shù)與形的完美結(jié)合學生把分數(shù)畫方格紙坐標系的時候我想他們對分數(shù)的理解又有了獨特的想法。案例2前不久我聽了一節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的評優(yōu)課。這位老師是把枯燥的計算教學課與圖一“點子圖”聯(lián)系在一起數(shù)與形的有機結(jié)合發(fā)散了學生的思維。例題是同學們站隊用“點”來表示隊列中的學生14x12或12x14得多少7下面是學生利用手中的點子圖想出解決這道計算題的策略圖5。這個案例教學伊始教師直接創(chuàng)設點子圖的數(shù)學活動通過這些活動激活學生的形象思維透過數(shù)學潛在的“形”與“數(shù)”的關(guān)系把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來使抽象思維和形象思維相結(jié)合。為研究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”借助直觀來理解算理。進而為培養(yǎng)學生的抽象能力打下良好的基礎有效地實現(xiàn)原有知識與新知識之間的鏈接誘發(fā)學生探索與學習的欲望激活學生的思維這說明以“形”助“數(shù)”能把許多抽象概念和性質(zhì)、運算化為直觀形象。將這些較難的數(shù)學問題借助圖形可幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型找解題的捷徑。三、感悟“三、感悟“數(shù)形結(jié)合”是一朝一夕能夠達學實踐我深刻地感受一種數(shù)學 的滲透決不是一朝一夕能夠達的只有在點滴的教學中滲透“數(shù)形結(jié)合”使學生逐步學會看數(shù)想形、看形想數(shù)才能使學生的思維得飛躍。運用數(shù)形結(jié)合 有時能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀成為解決問題的有效之一在分析問題的過程中注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察根據(jù)問題的具體情形把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題使復雜問題簡單化抽象問題具體化化難為易。http://一在學習完分數(shù)加減法后我設計一道題“一杯牛奶小明第一次喝了半杯第二次又喝了剩下的一半就這樣每次都喝了上一次剩下的一半問小明喝了五次后一共喝了這杯牛奶的幾分之幾”。學生一般把五次所喝的牛奶加起來列式后通分求得五次共喝一杯牛奶的幾分之幾。但這并不是最好的解題策略這時有學生敢于創(chuàng)新提出畫一個正方形如圖6并假設這個正方形的面積為單位1。學生圖中直觀地得出第一次開始每喝一次都減少一半所剩的數(shù)量依次為最后計算結(jié)果為。在這里根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系充分利用數(shù)形結(jié)合的 使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙、和諧地結(jié)合在一起學生正是在這樣的學習過程中體會“數(shù)形結(jié)合”的達了一次“”“ ”的飛躍二數(shù)軸上找倒數(shù)深化對“倒數(shù)”的認識乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)——倒數(shù)的概念對于學生來說并不難理解教材的編排上看“倒數(shù)的認識”是為后面學習分數(shù)除法而專門設置的學生對這個概念的理解僅僅停留在對語義理解的層面上形象的解釋為分子分母互問顛倒的兩個數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的概念除了為后面學習分數(shù)除法做準備外恰當?shù)睦谩皵?shù)形結(jié)合”的 使分數(shù)與數(shù)軸上的點之間有機的聯(lián)系起來使學生的思維得飛躍。在《倒數(shù)》一課中我設計了這樣幾個練習使學生感悟“數(shù)形結(jié)合” 。通過找倒數(shù)并標在數(shù)軸上這一活動由于已經(jīng)看了真分數(shù)與假分數(shù)分別在1的左右兩邊。學生很快得出了“真分數(shù)的倒數(shù)都大于1假分數(shù)不等于1的倒數(shù)小于1”的結(jié)論有些學生還發(fā)現(xiàn)了“分數(shù)越大倒數(shù)越小的規(guī)律分數(shù)大于0”。由于數(shù)軸實現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)姻將數(shù)與直線上的點建立了對應關(guān)系揭示了數(shù)與形的內(nèi)在的聯(lián)系數(shù)軸使抽象的數(shù)有“形”可依。在小學數(shù)學教學中我們巧用這種帶有箭頭和刻度的射線其實就是數(shù)軸的正半軸可以幫助學生感知數(shù)的大小與位置的關(guān)系“高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具?！薄皵?shù)形結(jié)合”作為數(shù)學.之一它也是數(shù)學學科的“一般原理”在數(shù)學學習中是至關(guān)重要的對于學生“不管他們將來事什么工作唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維 、研究 卻隨時隨地發(fā)生作用使他們受益終生”在小學數(shù)學教學中學生懂得“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學 后對于小學數(shù)學知識的理解性記憶是非常有益的四、數(shù)與形巧聯(lián)系一一小學生能夠理解的幾個中學數(shù)學公式小學課外數(shù)學的教學中尤其是巧算的教學中經(jīng)常會用平方差、完全平方公式由于沒有學過初中的代數(shù)式的相關(guān)知識這些公式的掌握學生只能單純靠記憶。其實如果巧用圖形將這些公式與圖形結(jié)合起來與平面圖形的面積計算聯(lián)系起來這些對于小學生來說十分深奧的公式也是完全可以理解的一平方差公式學生在學習過用字母表示數(shù)、用含有字母的算式表示長正方形面積的計算公式之后學生再看a2很容易想它表示邊長為a的正方形的面積而aba-b應該是長ah寬a-h的長方形的面積有這些做基礎學生理解起平方差公式應該并不困難。我們把a、b分別想成是一大一小兩個正方形的邊長那么az、bz應該分別是這兩個正方形的面積az_bz就應該是大正方形與小正方形的面積的差也就是上圖中的涂色部分我們把灰色部分進行割補之后會發(fā)現(xiàn)灰色部分成為一個長方形而這個長方形的長是ab寬是ab面積自然就是abfa-b1。面積在數(shù)學學習中是一個比較特殊的概念一方面它是描述平面圖形大小的一個數(shù)量另一方面在計算面積時又會用代數(shù)的計算 在小學階段主要是乘法它可以將幾何與代數(shù)建立起聯(lián)系就像解析幾何一樣真可謂是小學數(shù)學學習中的一個多面手巧用面積的概念還可以幫助我們理解下面的完全平方公式二完全平方公式理解完全平方公式與平方差公式類似我們把ab看成是一個大正方形的邊長那么這個正方形的面積abz是由四部分組成的如圖8兩個正方形邊長分別是ab兩個全等的長方形。長a、寬b所以大正方形的面積是a22abb2學生借助這些圖形結(jié)合學過的面積公式及字母表示數(shù)的知識很容易就能