有理數的乘方及混合運算（教案）

有理數的乘方及混合運算從前，有個“聰明的乞丐”他要到了一塊面包。他想，天天要飯?zhí)量?，如果我第一天吃這塊面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，照這樣下去，我就永遠不用那么辛苦去要飯啦，哈哈哈……請想想看，如果把整塊面包看成整體“1”，那第三天將吃到面包的，那第五天呢？2.拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復多次，就能把這根很粗的面條，拉成許多很細的面條。請想想看，捏合次后，可以拉出8根面條；捏合次后，就可以拉出32根面條。知識名稱 ：有理數的乘方及混合運算【知識梳理1】1.乘方的概念：一般地，n個相同的因數a相乘，即：，記作，讀作a的n次方。求n個相同因數的積的運算，叫做乘方。2.乘方的結果叫做冪（power）；在中，a叫做底數（basenumber），n叫做指數（exponent）。3、乘方運算的方法：把乘方的結果即冪的大小計算出來。如：，。4、0的任何正整數次冪都是0。5、非零實數的零次方為1，即=1（a≠0）。【例題精講】例1對于與－，下列說法正確的是（）A．它們的意義相同B．它們的結果相等C．它們的意義不同，結果相等D．它們的意義不同，結果不【答案】D【本題主要是考察有理數的乘方的意義，注意明確乘方底數的不同】例2.(1)；(2)；(3)。解：(1)原式=(－2)(－2)(－2)=－8，(2)原式=(－2)(－2)(－2)(－2)=16，(3)原式=(－2)(－2)(－2)(－2)(－2)=－32。例3計算：分析：在有關乘方的計算中，最易出現錯誤的是“符號問題”，解決問題的關鍵是準確理解冪的概念，頭腦時刻保持清醒，不要隨意的增減和變換符號，更不要“跳步”，嚴格按照運算法則進行。解：例4．計算:(1)；(2)－72；(3)；(4).【答案】(1)(－7)2=(－7)×(－7)=49；(2)－72=－7×7=－49；(3)(－)4=(－)×(－)×(－)×(－)=；(4)－(－5)3=－(－5)×(－5)×(－5)=－(－125)=125.【本題主要考察有理數的乘方，要注意計算式先確定結果的符號，在確定結果的數字】【鞏固練習】1、(―2)6讀作什么?其中底數是什么?指數是什么?(―2)6是正數還是負數?-2的六次方，底數是-2，指數是6，(―2)6是正數。；；；。3、計算：1米長的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第8次后剩下的小棒有多長？【答案】（）8×1=（米）【有理數的乘方的規(guī)律探究題，要能夠將實際問題轉化為數學問題】【知識梳理2】加減乘除及乘方的運算順序：先算括號里面的，再算括號外面的；先算乘方，后算乘除，再算加減。（1）（－36）×［+（）］；解：原式=（－36）×［+（）］=（－36）×（）+（－36）×（）+（－36）×（）=8+15+6=29.（2）（－2）×（）×（）×.解：原式=（－2）×（）×（）×=－（2×××）=－5.計算：(－6)×［+(－)］解：原式例3：算：（1）－()2×(－42)÷(－)2；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25.【答案】（1）－()2×(－42)÷(－)2=64；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25=2.【本題主要考察有理數的混合運算，要注意運算法則】【鞏固練習】(1)－7÷3－14÷3；(2)(－5－2)÷3.【解答】(1)－7÷3－14÷3=－7×－14×=(－7－14)×=－21×=－7；(2)(－5－2)÷3=(－5－2)×=－×－×=－－=－.計算：（1）（－）÷；（2）（－3.5）÷×（）【答案】（1）（）÷=（）×=（2）（－3.5）÷×（）=××(）=（）=3.【知識梳理3】科學記數法概念：把一個數寫做的形式，其中，n是整數，這種記數法叫做科學記數法?！纠}精講】今年我市參加中考的人數大約有41300人，將41300用科學記數法表示為（）（★★）(2分鐘)A．413×102B．41.3×103C．4.13×104D．0.413×103考點：科學記數法—表示較大的數．分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．解：解：41300=4.13×104，故選：C．點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．例2.0.0036×108整數部分有_____位,-87.971整數部分有_____位,光的速度是300000000米/秒是________位整數.（★★★）（2分鐘）解：6,2,9科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【鞏固練習】1.太陽的半徑約為696000千米,用科學記數法表示為_____千米.解：6.96×1052.世界工程量最大的水利工程━━三峽工程,今年6月二期工程完工,開始蓄水,其混凝土澆筑量為5481700立方米,創(chuàng)造了混凝土澆筑的世界紀錄,請用科學記數法表示5481700立方米=________立方米.解：5.4817×10633、人類的遺傳基因就是DNA,人類的DNA是很長的鍵,最短的22號染色體也長達30000000個核苷酸,30000000用科學記數法表示是()（★★★）（1分鐘）A.3×108B.3×107C.3×106D.0.3×103解：B4、2017年我市深入實施環(huán)境污染整治，某經濟開發(fā)區(qū)域經的40家化工企業(yè)中已關停、整改32家，每年排放的污水減少了167000噸。將167000用科學計數法表示為（）A、167×103B、16.7×104C、1.67×105D、0.167×106【答案】C【本題考察科學記數法，注意科學計數法的一般形式為，其中的數】一、填空題1、0×÷=_________.2、2009×=________.3、(－1)×(+1)×(－1)÷(－1)×(－1)÷(－1)=__________.4、2010÷(1－)××=__________.5、(－2)×(－2)×(－2)×(－2)÷(－4)=________.6、×27＋27×＋=__________.答案：1、0;2、2008;3、－1;4.1;5、4;6、13;二、選擇題1、下列各組數中，結果一定相等的為（）A．與B.與C.與D.與【答案】C【本題考查了有理數的乘方，難點在于區(qū)分有括號與沒有括號的區(qū)別，例如：-a2與（-a）2，是易錯題】 2．a為有理數，下列說法正確的是（）A．為正數B.+的值不小于C.為負數D.為正數【答案】D【本題考查了平方的非負性，注意零的存在】在一列數：，，，，…中，第n個數（n為正整數）是.【答案】【本題考查了規(guī)律型：數字的變化類：通過從一些特殊的數字變化中發(fā)現不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況】二、計算（1）（2）（-11）×+（+5）×+（-137）÷5+（+113）÷5解：（1）原式＝＝＝－110.（2）（-11）×+（+5）×+（-137）÷5+（+113）÷5=（-11）×+（+5）×+（-137）×+（+113）×=×[（-11）+（+5）+（-137）+（+113）]=×[-6+（-24）]=×（-30）=-6．下列各數哪些是用科學記數法表示的.(1)63000=63×103;(2)753000=7.53×103;(3)1300000000=1.3×109(4)25746300=257463×102;(5)696000=6.96×105解：(1)、(2)、(4)不是,(3)、(5)是【課堂鞏固】一、填空題1、幾個不等于0的有理數相乘，它們的積的符號如何確定_______.2、四個各不相等的整數，它們的積abcd=25，那么a+b+c+d=_____________.3、相反數是它本身的數是___________，倒數是它本身的數是_____________.4、若a,b互為倒數，則ab的相反數是______________.5、12×(－2)÷(－5)=_______.6、用“＜”或“＞”或“=”填空:(1)(－)÷(－)÷(－)0；(2)(－)÷÷(－)___________0；(3)0÷(－5)÷(－7)___________0.二、選擇題1、已知ab<|ab|,則有（）A.ab<0 B.a<b<0C.a>0,b<0 D.a<0<b2、下面結論正確的個數有()①若一個負數比它的倒數大,這個負數的范圍在－1與0之間②若兩數和為正,這兩數商為負,則這兩個數異號,且負數的絕對值較?、?除以任何數都得0④任何整數都大于它的倒數3、兩個數的商為正數，那么這兩個數的（）4、若m＜0，則等于（）5、下列各對數中,互為倒數的是（）A.－和3B.－1和1C.0和0D.－1和－三、計算題18、(1)×(－)×(－)(2)(－)×(－)×0×(3)×(－1.2)×(－);(4)(－)×(－)×(－)19、(1)(－5)÷(－15)÷(－3)；(2)－1+5÷(－)×(－6)；(3)(－)×(+)÷×(－)=.四、解答題1、求下列各數的倒數并用“<”把它們連接起來.：－,2,|－3|,0.5,－1.6.2、已知│3-y│+│x+y│=0，求的值3、某班舉行知識競賽，評分標準是：答對1道題加10分，答錯1道題扣10分，每個隊的基本分為100分，有一個代表隊答對了12道題，答錯了5道題，請問這個隊最后得多少分？4、求除以8和9都是余1的所有三位數的和.5、我們在計算時經常碰到一題多解的情況，如計算（－）÷（－+－）解法一：原式=(－)÷(－)=－×3=－.解法二：原式的倒數為（－+－）÷（－）=（－+－）×（－30）=×（－30）－×（－30）+×（－30）+×30=－20+3－5+12=－10.所以原式=－.閱讀上述材料，并選擇合適的方法計算：計算：【參考答案】一、填空題1、.當負數個數為偶數時，積為正數，當負數個數為奇數時，積為負數2、03、01和－14、－1;5、4.8;6、＜＞=二、選擇題1、A2、D3、C4、C5、B三、計算題、(1)原式=［－(×)］×(－)=(－)×(－)=+(×)=(2)原式=0(3)原式=+(×1.2×)=(4)原式=－(××)=－、(1)(－5)÷(－15)÷(－3)=－；(2)－1+5÷(－)×(－6)=179；(3)(－)×(+)÷×(－)=.20、四、解答題1、－的倒數為－.∵2=,∴2的倒數為.∵|－3|=3=,∴|－3|的倒數為.∵0.5=,∴0.5的倒數為2.∵－1.6=－1=－,∴－1.6的倒數為－.∴－<－<<<2.2、解：│3-y│+│x+y│=0，且│3-y│≥，│x+y│≥0，所以3-y=0，x+y=0，所以y=3，x=-3，所以=0．3、【解析】答對12道題得120分，答錯了５道題得－50分，每個隊的基本分為１００分，這個隊最后得100+12×10+5×（－10）=170（分）.【答案】100+12×10+5×（