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第五章 頻域分析法5.1
頻率特性一、控制系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出系統(tǒng)r(t)c(t)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅與輸入振幅之比,稱為幅頻特性。Ar穩(wěn)態(tài)輸出的相位與輸入相位之差
,稱為相頻特性。M
Ac一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，假設(shè)有一正弦信號(hào)輸入cc(t
)
A
sin(
t
)r(t
)
Ar
sin
t其穩(wěn)態(tài)輸出可寫(xiě)為Ac-穩(wěn)態(tài)輸出的振幅
-穩(wěn)態(tài)輸出的相位線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)作用下，輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，稱為系統(tǒng)的頻率特性(即為幅相頻率特性，簡(jiǎn)稱幅相特性)。則
j
j
e
j
j
M
e
j
故幅頻特性M
j
相頻特性
j
不難證明，頻率特性與傳遞函數(shù)之間有著確切的簡(jiǎn)單關(guān)系：
(j
)=
(s)
s=j
幾點(diǎn)說(shuō)明：①頻率特性不只是對(duì)系統(tǒng)而言，其概念對(duì)控制元件、部件、控制裝置均適用。②頻率特性只適用于線性定常系統(tǒng)，否則不能用拉氏變換求解，也不存在這種穩(wěn)態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系。③推導(dǎo)頻率特性時(shí)，是在假定線性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下導(dǎo)出的。但從理論上推導(dǎo)動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)它的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來(lái)的，而且其規(guī)律性并不僅賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性?；卮丝梢詳U(kuò)展頻率特性的概念。④由頻率特性的表達(dá)式可知其包含了系統(tǒng)或元部件的全部結(jié)構(gòu)和參數(shù)。故盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而動(dòng)態(tài)過(guò)程的規(guī)律性必將寓于其中。所以頻率法就是運(yùn)用穩(wěn)態(tài)的頻率特性間接研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從而避免了直接求解高階微分方程的困難。頻率特性和傳遞函數(shù)、微分方程的置換關(guān)系圖動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型二、求取頻率特性的數(shù)學(xué)方法RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為1G(s)
Uc
(s)
Ts
1Ur
(s)T
RC頻率特性1e
jarc
tan
Ts
j
G(
j
)
G(s)
1Tj
1(T
)2
1幅頻特性1M
(
)
G(
j
)
(T
)2
1相頻特性
(
)
G(
j
)
arctan
T幅頻特性和相頻特性1
01/2T1/T2/T3/T4/T5/T
/
(
T
)2
100.890.7070.450.320.240.200-
arctan
T0-26.6
-45
-63.5
-71.5
-76
-78.7
-90
幅頻和相頻特性曲線/s-1/s-1三、頻率特性圖示法1.直角坐標(biāo)圖幅頻特性：縱坐標(biāo)為M，線性分度；橫坐標(biāo)為
，線性分度。相頻特性：縱坐標(biāo)為
，線性分度；橫坐標(biāo)為
，線性分度。?/s-1/s-12.極坐標(biāo)圖頻率特性G(
j
)
G(
j
)
G(
j
)
M
(
)
(
)幅相特性：以頻率
作為參變量，將幅頻與相頻特性同時(shí)表示在復(fù)平面上。當(dāng)頻率
從零到無(wú)窮變化時(shí)，矢量G(j
)的端點(diǎn)在復(fù)平面上描繪出一條曲線，即為幅相特性曲線，又稱奈奎斯特曲線。Oj1慣性環(huán)節(jié)的幅相特性曲線
0
M(
)1
0
(
)0
-90
3.對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖—伯德圖(H.W.Bode)對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖，包括對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻兩條曲線。對(duì)數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)表示頻率
，并按對(duì)數(shù)分度，但標(biāo)出的是實(shí)際的值。對(duì)數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，線性均勻分度，單位是分貝，記作dB。對(duì)數(shù)幅頻特性定義為L(zhǎng)(
)
20
lg
M
(
)對(duì)數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，線性均勻分度，單位是度或弧度。
12345678910lg
00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性曲線/s-15.2
典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)(放大環(huán)節(jié))傳遞函數(shù)：頻率特性:G(s)=KG(j
)=K=Kej0幅頻特性：
M
(
)
G
(
j
)
K相頻特性：
(
)
G(
j
)
0
對(duì)數(shù)幅頻特性：L(
)
20
lg
M
(
)
20
lg
K幅相曲線幅頻、相頻曲線/s-1對(duì)數(shù)頻率特性曲線(
)(
)/s-1/s-1二、積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)
121
1j
j
s頻率特性：G(j
)
e
幅頻特性：
M
(
)
G(
j
)
1相頻特性：
(
)
G(j
)
900對(duì)數(shù)幅頻特性：
L(
)
20
lg
M
(
)
20
lg
1
20
lg
幅相曲線幅頻、相頻曲線對(duì)數(shù)頻率特性曲線(
)(
)/s-1/s-1三、微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)
sj
2頻率特性：G(j
)
j
e幅頻特性：
M
(
)
G(
j
)
相頻特性：
(
)
G(j
)
900對(duì)數(shù)幅頻特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
對(duì)數(shù)相頻特性：
900幅相曲線對(duì)數(shù)頻率特性曲線幅頻、相頻曲線/s-1(
)(
)/s-1/s-1四、慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：1G(s)
Ts
11e
jarc
tan
T頻率特性：G(j
)
1Tj
1幅頻特性：(T
)2
11M
(
)
G(
j
)
(T
)2
1相頻特性：
(
)
G(j
)
arctan
T幅相曲線幅頻、相頻曲線1對(duì)數(shù)幅頻特性：L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
20
lg
1
20
lg
T
2
T
2
T
2
1
1
20
lg
1對(duì)數(shù)相頻特性：
G(
j
)
arctan
T漸近對(duì)數(shù)幅頻特性：當(dāng)
1
時(shí)，
T
1，略去
(
T
)2
則得TL(
)
20
lg
T
2
1
20
lg
1
0，則L(
)=0。T擴(kuò)展為只要
1當(dāng)
1
時(shí)，
T
1，(
T
)2
1
，略去1，得TL(
)
20
lg
T
2
1
20
lg
T
2
20
lg
T地代替之。T擴(kuò)展為只要
1，就以L(
)
20
lg
T
近似對(duì)數(shù)頻率特性曲線T特征點(diǎn)：
1
,
L(
)
3
dB,
(
)
45
/s-1(
)(
)/s-1/s-1五、一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)
s
1頻率特性：G
j
j
1對(duì)數(shù)幅頻特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
2
1幅頻特性：
M
(
)
G(
j
)
(
)2
1相頻特性：
(
)
G(
j
)
arctan
對(duì)數(shù)頻率特性曲線(
)(
)/s-1/s-1幅相曲線
特征點(diǎn)：
1
,
L(
)
3
dB,
(
)
45
六、振蕩環(huán)節(jié)2nn2n1s2
n傳遞函數(shù)：G(s)
2
s
2
2
s
1
s
n
nn112
2
頻率特性：G(
j
)
2
j
2
j
1
j
1
n
n
1幅頻特性：M
(
)
G(j
)
2
2
2
1
2
n
n
對(duì)數(shù)幅頻特性：
2
2
L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
1
2
2
n
n
相頻特性：2
n
(
)
G(
j
)
arctan2
1-
n
幅頻、相頻曲線峰值對(duì)應(yīng)的頻率為諧振頻率，其值由dM
(
)
0解出d
m
n
1
2
2諧振峰值m1M
2
1
2幅相曲線根據(jù)幅頻特性和相頻特性公式計(jì)算出頻率特性j1O漸近對(duì)數(shù)幅頻特性：當(dāng)
n時(shí)，即
/
n
1時(shí)，則略去
/
n，近似取L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
1
0
dB在低頻段的漸近特性是一條與橫軸相重合的直線。n時(shí)，即
/n
>>1時(shí)，則略去1和當(dāng)
>>
近似取2
n2
L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
40
lg
n
n
這是一條在
n
處過(guò)橫軸且斜率為-40dB/十倍頻程的直線。
為轉(zhuǎn)折頻率
n
2
2
0
20
lg
2
20
lg
1
2
2
n
n
n沒(méi)有考慮阻尼比
的影響。在轉(zhuǎn)折頻率處漸近特性與精確特性線誤差為(
)/s-1對(duì)于不同的阻尼比
，振蕩環(huán)節(jié)的精確對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性：(
)七、二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)
2
s2
2
s
1頻率特性：G(j
)
2
j
2
2
j
1對(duì)數(shù)幅頻特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
1
2
2
2
2
2對(duì)數(shù)相頻特性：2
2
arctan
2
1
幅相曲線:
0時(shí)，M
(
)
1,
(
)
00
;
時(shí)，M
(
)=
,
(
)=1800對(duì)數(shù)頻率特性曲線這里n
1(
)(
)/s-1/s-1八、一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：1G(s)
Ts
1頻率特性：G(
j
)
1j
T
11
T
2對(duì)數(shù)幅頻特性：L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
1對(duì)數(shù)相頻特性：
G(
j
)
arctan
T
1
幅相特性:
0時(shí)，M
(
)
1,
(
)
1800
;
1
時(shí)，M
(
)
2
,
(
)
1350
;T
2
時(shí)，M
(
)=0,
(
)
900對(duì)數(shù)頻率特性曲線(
)(
)/s-1/s-1九、延遲環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式：c(t
)
r(t
)G(s)
e
sG(
j
)
e
j
M
(
)
G
j
1傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：
G
j
對(duì)數(shù)幅頻特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
1
0
dB幅相特性曲線伯德圖對(duì)數(shù)頻率特性曲線(
)(
)/s-1/s-15.3
控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線分為：開(kāi)環(huán)幅相特性曲線和開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。一、開(kāi)環(huán)幅相特性曲線的繪制設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)G(s)
G1
(s)
G2
(s)
G3
(s)其開(kāi)環(huán)頻率特性G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)312123123123G(
j
)
eG
(
j
)
G
(
j
)
G
(
j
)
ej
G
(
j
)j
G
(
j
)j
G
(
j
)j
G
(
j
)j[
G
(
j
)
G
(
j
)
G
(
j
)]
G
(
j
)
e
G
(
j
)
e
G
(
j
)
e
所以，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅頻和相頻分別為M
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
M1
(
)
M2
(
)
M3
(
)
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)1.開(kāi)環(huán)幅相特性曲線的繪制例某0型單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)，試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線。K傳遞函數(shù)為G(s)
(T1
s
1)(T2
s
1)當(dāng)
=0
時(shí)當(dāng)
=
時(shí)G(j0)=K
0
G(j
)=0
-180
解：G(j
)
K(
j
T1
1)(
j
T2
1)0型系統(tǒng)幅相特性曲線開(kāi)環(huán)幅相曲線例某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳，試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線。K遞函數(shù)為G(s)
s(T1
s
1)(T2
s
1)當(dāng)
=0
時(shí)當(dāng)
=
時(shí)G(j0)=
-90
G(j
)=0
-270
解：G(j
)
Kj
(
j
T1
1)(
j
T2
1)各型系統(tǒng)幅相特性曲線的概略圖開(kāi)環(huán)幅相特性曲線例某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳，試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線。遞函數(shù)為G(s)
K
(
1
s
1)(T1
s
1)(T2
s
1)(T3
s
1)解：G(j
)
K
(
j
1
1)(
j
T1
1)(
j
T2
1)(
j
T3
1)當(dāng)
=0
時(shí)當(dāng)
=
時(shí)G(j0)=
K
0
G(j
)=0
(90
-270
)=0
-180
取T1、T2大于
1，
1>T3時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線2.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相特性的特點(diǎn)①當(dāng)頻率
=0時(shí)，其開(kāi)環(huán)幅相特性完全取決于比例環(huán)節(jié)K和積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)
。②0型系統(tǒng)起點(diǎn)為正實(shí)軸上一點(diǎn),I型及I型以上系統(tǒng)起點(diǎn)幅值為無(wú)窮大,相角為-
·90
。③當(dāng)頻率
=
時(shí)，若n>m(即傳遞函數(shù)中分母階次大于分子階次)，各型系統(tǒng)幅相曲線的幅值等于0，相角為-(n-m)·90
。④G(j
)曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，其交點(diǎn)坐標(biāo)可由下列方法確定。G(
j
)
G(
j
)
e
j
G
(
j
)
u(
)
j
(
)令
G(j
)=-
。解出與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的頻率
x的值。再將
x代入|G(j
)|中，求得與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的模值。令
(
)=0解出
x
，再將
x代入u(
x)中，求得與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。二、開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅頻和相頻M
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
M1
(
)
M2
(
)
M3
(
)
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性:開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻L(
)
20
lg
M
(
)
20
lg
M1
(
)
20
lg
M2
(
)
20
lg
M3
(
)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻之和；系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻之和。解決這方面的問(wèn)題要求掌握：正問(wèn)題能熟練的繪制系統(tǒng)的伯德圖。即已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，在半對(duì)數(shù)坐
標(biāo)紙上繪制出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。反問(wèn)題會(huì)求傳遞函數(shù)。即已知對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(或?qū)嶒?yàn)曲線)，能反求其傳遞函數(shù)。解決正問(wèn)題的方法與繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的步驟： 將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫(xiě)成尾1標(biāo)準(zhǔn)形式，確定出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，按由小到大依次標(biāo)注在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)的橫軸上。在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)上確定
=1(1/s)且縱坐標(biāo)等于20lgK
dB的點(diǎn)A。過(guò)A點(diǎn)做一直線，使其斜率等于-20
dB/dec。當(dāng)
=0,
=1,
=2時(shí)，斜率分別是(0，-20，-40)
dB
/dec。4.沿頻率增大的方向每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率就改變一次斜率，其規(guī)律是遇到慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，則斜率變化量為-20dB/dec；遇到一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率變化量為+20dB/dec；遇到振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率變化量為-40dB/dec等等。漸近線最后一段(高頻段)的斜率為-20(n-m)dB/dec；其中n、m分別為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母、分子的階次。5.如果需要，可按照各典型環(huán)節(jié)的誤差曲線對(duì)相應(yīng)段的漸近線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。繪制對(duì)數(shù)相頻特性的步驟：在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上分別繪制出各環(huán)節(jié)的相頻特性曲線。將各環(huán)節(jié)的相頻特性曲線沿縱坐標(biāo)方向相加，從而得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線
(
)。當(dāng)
0
時(shí)，
(
)
-
·90
。當(dāng)
時(shí)，
(
)
-(n-m)·90
。例已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)如圖所示，試做出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)伯德圖。解：作L(
):40 40
/
4
10
K(1)
G
s
s(s
4)s(Ts
1)s
1
s
1
s
1
s
1
4
4
因此，開(kāi)環(huán)增益K=10轉(zhuǎn)折頻率1T
1
4
(1
/
s)20
lg
K
20
dB
/s-1L(
)/dB11002040-20-400
0.1-20
dB/dec4
10AB-40
dB/dec作對(duì)數(shù)相頻曲線：因?yàn)樵撓到y(tǒng)是由放大、積分、慣性環(huán)節(jié)組成的，則
1
(
)
2
(
)
3
(
)
0
(
90
)
(
arctan
T
)因此，只要從-90°起作一慣性環(huán)節(jié)的相頻，即可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。對(duì)數(shù)相頻特性曲線(
)/s-1例已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G
s
200
s
1
s
s
0.2
s2
4s
100
試作系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻L和相頻
。解：作L(
):(1)G
s
200
s
1
0.2
100s
5s
1
0.01s2
0.04s
1
200K
10
20
lg
K
20
dB0.2
100
1
0.2,
2
1,
3
n
10,
0.22
20
lg
1
8
dB
/s-1L(
)/dB101002040-20-400A-20
dB/dec0.1
0.2B-40
dB/decC-20
dB/decD-60
dB/dec
1
2
1
31s①
G
(s)=
10215s+1②
G
(s)=③
G3
(s)
s
1410.01s2
0.04s
1④
G
(s)
作
(
):由系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性疊加而得到系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線，即
1
2
3
4
5
0.1
1
10
100lg
(
)
系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)/s-1系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸(0dB線)交點(diǎn)的頻率稱為穿越頻率或截止頻率
c。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線與線交點(diǎn)的頻率稱為相頻截止頻率
g。兩個(gè)概念：三、最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)傳遞函數(shù)中沒(méi)有右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的系統(tǒng)，
稱為最小相位系統(tǒng)；傳遞函數(shù)中有右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的系統(tǒng)，則稱為非最小相位系統(tǒng)。例已知某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖所示，試確定其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。解：根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，可以寫(xiě)出開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)形式
2K
(
s
1
)G(s)
s
(
s
1
)
1根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性的坐標(biāo)特點(diǎn)有，。
K
2
c
1
1c
2K
可以確定開(kāi)環(huán)增益K
根據(jù)相頻特性的變化趨勢(shì)(-270
-90
)，可以判定該系統(tǒng)為非最小相角系統(tǒng)。G(s)中一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)至少有一個(gè)是“非最小相位”的。通過(guò)分析相位的變化趨勢(shì)，只有當(dāng)慣性環(huán)節(jié)極點(diǎn)在右半s平面，一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)零點(diǎn)在左半s平面時(shí)，相位才符合從-270
到-90
的變化規(guī)律。因此可以確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
c
2
(
s
1
2
1
1
)G(s)
s
(
s
1
)5.4
穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度奈氏判據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)頻率穩(wěn)定判據(jù)有以下特點(diǎn)：1.應(yīng)用開(kāi)環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。開(kāi)環(huán)頻率特性曲線可以按上面5.2、5.3節(jié)介紹的方法繪制，也可以全部（或部分）用實(shí)驗(yàn)方法繪制。當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函式表達(dá)式不知道時(shí)，就無(wú)法用勞思判據(jù)判斷穩(wěn)定性，這時(shí)，應(yīng)用頻率穩(wěn)定判據(jù)就很方便。2.便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對(duì)穩(wěn)定性的影響。3.可以用來(lái)分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、奈氏(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)
1.輻角原理映射s平面
SF平面
F輻角原理：若
s包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)s順時(shí)針沿
s取值時(shí)，
F繞F平面的原點(diǎn)的逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)N為N=P
-Z2．奈氏穩(wěn)定判據(jù)(1)
取F(s)：R(s)G(s)H(s)C(s)-G(s)
(s)
1
G(s)H
(s)F
(s)
1
G(s)H
(s)假設(shè)N1
(s)
N2
(s)G(s)
M1
(s)H
(s)
M2
(s)N1
(s)N2
(s)G(s)H
(s)
M1
(s)M2
(s)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)
(s)
1
G(s)H
(s)M1
(s)N2
(s)N1
(s)N2
(s)
M1
(s)M2
(s)F
(s)
1
G(s)H
(s)
N1
(s)N2
(s)
M1
(s)M2
(s)N1
(s)N2
(s)輔助函數(shù)F(s)的零點(diǎn)：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)
F(s)的極點(diǎn)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)輔助函數(shù)F(s)與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)只相差常數(shù)1。2.
選擇
s：
s包圍了F(s)在s右半平面的所有零極點(diǎn)。根據(jù)輻角原理:N
P
ZZ
P
N(3)
F(s)平面變換到G(s)H(s)平面：OjF(s)平面O-1j
G(s)H(s)平面G(s)H(s)=F(s)-1
F繞F平面的原點(diǎn)N圈等價(jià)于繞G(s)H(s)平面的(-1，j0)點(diǎn)N圈。結(jié)論：若
s包圍了F(s)的P個(gè)極點(diǎn)，即有P個(gè)開(kāi)環(huán)
極點(diǎn)在右半s平面，
F繞G(s)H(s)平面的(-1，j0)點(diǎn)N圈，則系統(tǒng)有Z=P-N個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在
右半s平面。(4)G(s)H(s)平面變換到G(j
)H(j
)平面：因?yàn)橄到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性一般可以由實(shí)驗(yàn)得到，所以，直接在G(j
)H(j
)平面上分析系統(tǒng)穩(wěn)定性更加簡(jiǎn)單?？疾?/p>
s在G(s)H(s)平面上的映射：①s平面上的虛軸(s=j
)映射到G(s)H(s)平面上就是G(j
)H(j
)—開(kāi)環(huán)頻率特性；②
s的無(wú)窮大半圓部分在G(s)H(s)平面上的映射為G(s)H(s)平面上的原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)，而這一點(diǎn)與頻率特性G(j
)H(j
)在
的映射重合。因此，
s在G(s)H(s)平面上的映射就是G(j
)H(j
)。奈氏穩(wěn)定判據(jù)：設(shè)系統(tǒng)有P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在右半s平面，當(dāng)
從-
到+
變化時(shí)，若奈氏曲線繞G(j
)H(j
)平面(-1,j0)點(diǎn)N圈(參考方向?yàn)槟鏁r(shí)針)，則系統(tǒng)有Z=P-N個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在右半s平面。當(dāng)Z=0時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針繞G(j
)H(j
)平面(-1,j0)點(diǎn)P圈，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)奈時(shí)曲線穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。二、奈氏穩(wěn)定判據(jù)的實(shí)際方法當(dāng)
從-
0和從0
+
時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩條
G(j
)H(j
)曲線相對(duì)于實(shí)軸是互為鏡像的,所以實(shí)際上只要繪制系統(tǒng)
從0到
時(shí)的開(kāi)環(huán)幅相曲線，這時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)圈數(shù)N(逆時(shí)針?lè)较騈為正，順時(shí)針?lè)较騈為負(fù))和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)P的關(guān)系為N
P
Z2①閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：Z=0，則有N
P2②閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則正實(shí)部根的個(gè)數(shù)為Z
P
2N如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)，且假定積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)為
，則繪制開(kāi)環(huán)幅相曲線后，應(yīng)從與頻率
=0+對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開(kāi)始，逆時(shí)針?lè)较蜓a(bǔ)畫(huà)
/4個(gè)半徑為無(wú)窮大的圓。例一單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為KG(s)
s2
Ts
1
試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：畫(huà)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線幅相曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，即N=-1。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)右半平面極點(diǎn)數(shù)為0，即P=0。
Z=P-2N=2(
)(
)三、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)穿越:負(fù)穿越半次負(fù)穿越正穿越半次正穿越(
)(
)
/s-1對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：一個(gè)反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)為Z，可以根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面極點(diǎn)數(shù)P和開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線對(duì)-180°線的正負(fù)穿越之差N=N+-N-決定Z=P-2NZ=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例
系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為200
s
1
G
s
s
s
0.2
s2
4s
100
試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性(利用對(duì)數(shù)判據(jù))。解：(1)首先判定開(kāi)環(huán)本身的P值：由G(s)看出開(kāi)環(huán)P=0。(2)
繪制出G(s)所對(duì)應(yīng)的L(
)和
(
):從圖中看出N=0，則
Z=P-2N=0所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(
)(
)/s-1/s-1四、控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度G
s
Ks
1
s
1
2
s
1
K1
K2
K31．相位裕量
:定義為180°+開(kāi)環(huán)幅相曲線幅值為1時(shí)的相角。c
180
180
G
j
H
j
c
c相位裕度的物理含義：如果系統(tǒng)對(duì)頻率信號(hào)
c相位再滯后
值，系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。
值越大，其系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高，工程上一般要求
40
(40
~60
)。2．幅值裕量h：開(kāi)環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的模值|G(j
g)H(j
g)|的倒數(shù)。1G
j
g
H
j
g
h
幅值裕量h的物理含義：如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)增大到原來(lái)的h倍，則閉環(huán)系統(tǒng)就進(jìn)入臨界穩(wěn)定狀態(tài)。(dB)幅值裕量h常用分貝值來(lái)表示：Lh
0
20
lg
G
j
g
H
j
g
20
lg
G
j
g
H
j
g
Lh值越大，其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，一般要求Lh
6
dB(6~10
dB)。由伯德圖求
,Lh:--(
)(
)/s-1/s-1例設(shè)某最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。寫(xiě)出該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)；判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，并說(shuō)明理由。/s-1解
(1)求G(s)表達(dá)式112 40
30
20,lg
10
1lg
lg
0.1因20lgK＝30
dB，求得K=31．62；在
=0.1處，斜率變化為20，對(duì)應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)(10s+1)。在
=
1處，斜率變化為-20，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)為因L(
1)＝4
dB，L(0.1)＝30
dB，而1s
1
1求得110lg
10
0.316在
=
2處、斜率變化為-20、對(duì)應(yīng)1
2
s
1s
3
1同理，在
3和
4處，分別對(duì)應(yīng)于1
1s
4
1和由于L(100)＝0，L(
4)＝5，所以100
2 5
0
60,lg
4
1lg
4
lg
100求得
4=82.54同理，可以求得
3=34.81，
2=3.48于是，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
sss10 10
s
1
0.1
G(s)
10s
1
1
1
1
3.48
34.81
82.54
(2)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性82.54
arctg
100
arctg
100因截止頻率
c＝100，系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，故相角裕度
180
G(
j
)
180
arctg
100
arctg100 10
arctg
1000.1
3.4834.81
29.15
0
故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.5
閉環(huán)頻率特性一、尼柯?tīng)査箞D(Nichols)對(duì)于單位反饋控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)
(s)
1
G(s)則頻率特性
(
j
)
G(
j
)
1
G(
j
)G(
j
)
G(
j
)
e
j
G
(
j
)
A(
)e
j
(
)
j
j
e
j
(
j
)
M
(
)e
j
(
)M(
)為閉環(huán)幅頻
(
)為閉環(huán)相頻M
(
)e
j
A
e
j
1
A
e
j
上式經(jīng)過(guò)變換可得到如下關(guān)系式20
lg
A(
)
20
lg
sin[
(
)
(
)]sin
(
)和M
2cos
(
)
cos2
(
)
M
2
120
lg
A(
)
20
lg
1令
(
)為常數(shù)，就能得到以
(
)為參變量
的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性間的關(guān)系曲線。令M(
)為常數(shù)，就能得到以M(
)為參變量的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性間的關(guān)系曲線。由這兩個(gè)公式可做出尼柯?tīng)査箞D:如果A(
)>>1時(shí)，則有M
(
)e
j
1A
e
j
1
A
e
j
這意味著，當(dāng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻20lgA(
)>30
dB時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性為：20lgM(
)=0
dB
和
(
)=0°如果A(
)<<1時(shí)，則有M
(
)e
j
A
e
j
A
e
j
1
A
e
j
這說(shuō)明，當(dāng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻20lgA(
)<-25dB時(shí)，閉環(huán)幅頻和相頻特性可近似用開(kāi)環(huán)幅頻和相頻代替。所以，一般查圖的取值范圍為-25
dB<20lgA(
)<30
dB例
單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1G
s
s
s
1
0.5s
1
試應(yīng)用尼柯?tīng)査箞D，畫(huà)出閉環(huán)幅頻特性曲線。解：首先做出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)伯德圖根據(jù)伯德圖查出不同對(duì)應(yīng)的20lgA(
)
和
(
)值。在尼柯?tīng)査箞D中，查出對(duì)應(yīng)的20lgM(
)和
(
)值，從而做出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圖。系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圖/s-1二、非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性尼柯?tīng)査箞D是根據(jù)單位反饋系統(tǒng)做出來(lái)的。對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換后，仍可應(yīng)用各種圖線求閉環(huán)頻率特性曲線。三、閉環(huán)頻域性能指標(biāo)閉環(huán)頻率特性曲線的幾個(gè)特征值：峰值Mr,頻帶
b,相頻帶
p和零頻幅比M(0)。1．峰值Mr是指幅頻特性M(
)的最大值。
M
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