第三章 力矩和平面力偶系

第三章力矩和平面力偶系第1頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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§3.1力矩及其計算一、力矩

設(shè)剛體在圖面內(nèi)受力F作用（圖3-1）。在同圖面內(nèi)取一點0，點0稱為矩心，矩心到力作用線的距離稱為力臂，用h表示，則力F在圖示平面內(nèi)對矩心O的矩（簡稱力矩）的定義如下：力矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于力的大小與力臂的乘積，其正負號按：力使物體逆時針轉(zhuǎn)動時為正；反之為負。

力對點O之矩為：Mo(F)=±Fh

圖3-1OFhA第2頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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1）力的大小為零時，力矩為零；2）力的作用線通過矩心時，力臂為零，故力矩為零；3）取不同矩心時，力臂和轉(zhuǎn)動方向都可能改變，故同一力對不同的矩心的力矩一般并不相等。力矩概念是從實踐中總結(jié)出來的，它表示力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的效果。如圖3-2所示。力矩的單位：牛頓.米（N.m)圖3-1圖3-2AOFh第3頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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二、合力矩定理：設(shè)剛體受到某一平面力系的作用。此力系由力Fl、FZ、…、Fn組成，其合力為R。在平面內(nèi)任選一點O作為矩心，合力R與各分力Fi(i=1、2、…、n）的力矩均可按式（3-1)計算。由于合力與整個力系等效，故合力對點O的矩，的等于各分力對點O之矩的代數(shù)和。

即作用于同一點的兩個力的合力對一點（或軸）之矩等于這兩個分力對同一點（或軸）之矩的矢量和（或代數(shù)和）MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑

MO(Fi)第4頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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三、力矩的計算力矩可用式（3-1）計算。若力臂h不易求出，也可用式（3-2）即合力矩定理計算。例3-1圖3-3a所示的圓柱齒輪，受到法向力Fn的作用。設(shè)Fn=700N，壓力角a=20°，齒輪的節(jié)圓半徑r‘=80mm，試計算力Fn對軸O的矩。

解：此力矩可用兩種方法計算：(1）根據(jù)力矩的定義求解由圖a可見，力臂h=r′cosa，故由式（3-1）可得MO(Fn)=Fnh=Fnr′cosa=700x0.08×cos20°=52.62N·m因力Fn使齒輪逆時針轉(zhuǎn)動，故力矩MO(Fn）為正值。圖3-3第5頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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解：此力矩可用兩種方法計算：(2）用合力矩定理求解由圖a可見，力臂h=r′cosa，故由式（3-1）可得MO(Fn)=Fnh=Fnr′cosa=700x0.08×cos20°=52.62N·m因力Fn使齒輪逆時針轉(zhuǎn)動，故力矩MO(F′n）為正值。先將Fn分解為圓周力Ft和徑向力Fr，由圖b可見Ft=FncosaFr=Fnsina由式（3-2）可得Mo(Fn)=Mo(Ft)+Mo(Fr)=Fncosa·r′十0=700×cos20°0×0.08=52.62N·m第6頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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圖3-4例3-2圖3-4所示為一液壓驅(qū)動的起重臂。已知尺寸a、b、。和角度a，試求油缸液壓推力F對軸O和鉸B的矩。

解:取坐標系xOy.(1）求力F對O點的矩。將力F沿坐標軸分解，由圖可得F=Fsina,Fy=Fcosa第7頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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由式（3-2）可得Mo(F)=MO(Fx)+MO(Fy)=Fxb+Fya=F(bsina+acosa)(2）求力F對點B的矩。同理可得（注意分力Fx通過B點）MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=0+(-Fyc）=-Fccosa第8頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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§3.2力偶及其性質(zhì)①兩個同向平行力的合力

大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用點：C處 確定C點，由合力距定理一、力偶力偶：兩力大小相等，作用線不重合的反向平行力叫力偶。性質(zhì)1：力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個基本力學(xué)量。ABQCBR×=×\第9頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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圖3-5圖3-6圖3-7圖3-5這樣的兩個反向的平行力并不滿足二力平衡條件，故在力偶的作用下，剛體不能保持平衡（雖然此二力的矢量和為零）。力偶不能簡化為合力，即不能與一力等效。力偶只能改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。如圖3-6、圖3-7、圖3-8和鑰匙開門等.

因力偶不能簡化為一力，故力偶也不能被一力所平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個基本要素。第10頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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二、力偶矩由上節(jié)已知，力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的效果用力矩來度量。同理，力偶使物體轉(zhuǎn)動的作用效果，可由組成力偶的兩力對某一點的矩的代數(shù)和來度量。設(shè)剛體上作用有力偶（F,F‘)，如圖3-9所示。在圖面內(nèi)任取一點O為矩心，由圖可見MO(F)=F(d+x)MO(F‘)＝-F′x式中d為力偶臂。因F二F‘，可得MO(F‘)＝-F,x=一Fx圖3-9ABOFF′xd圖3-9圖3-8第11頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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故力偶（F,F‘）對矩心O的矩為Mo(F)+Mo(F'）=F(d+x）一Fx=Fd上式右邊為正值，說明兩力矩的代數(shù)和使剛體逆時針轉(zhuǎn)動，與該力偶驅(qū)使剛體轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)向一致。上式說明：力偶對其作用面內(nèi)任意一點的矩為一恒定代數(shù)量，該量稱為力偶矩，它表示力偶對物體轉(zhuǎn)動的作用效果。由上述可知:力偶矩是代數(shù)量，其絕對值等于力偶中的一力的大小與力偶臂的乘積，其正負號確定如下：力偶使物體逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。力偶對其作用平面內(nèi)任意一點的矩恒等于力偶矩。用M表示力偶矩，可得M=士Fd(3-3)力偶矩的單位與力矩的單位相同。第12頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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三、力偶的性質(zhì)作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個力偶，只要兩者的力偶矩相等則兩力偶等效。即只有M1=M2，兩力偶等效。(a)(b)圖3-10第13頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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三、力偶的性質(zhì)作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個力偶，只要兩者的力偶矩相等則兩力偶等效。即只有M1=M2，兩力偶等效。由上述力偶等效的條件可以看出：(1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它對剛體的作用。因為這種轉(zhuǎn)移不改變其力偶矩；(2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用。

例如圖3-11所示的方向盤，司機對它所施加的力偶由（F,F'）變?yōu)椋?F,2F'）時，只要將力偶臂同時減半，使方向盤轉(zhuǎn)動的效果就不會變化。若將（F,F'）改為（F1,F1′）并保持Fl=F，作用效果也不變。第14頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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圖3-11圖3-12由此可見，力偶中力的三要素和力偶臂長度都不是力偶的特征量，決定平面內(nèi)力偶對剛體作用效果的唯一特征量是力偶矩M。作用在剛體上的力偶，可按圖3-12中的任一種方法來表示。第15頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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§3.3平面力偶系的合成與平衡作用在剛體上同一平面內(nèi)的幾個力偶稱為平面力偶系?？梢宰C明，平面力偶系能與一個力偶等效，這個力偶稱為該平面力偶系的合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。用M表示合力偶矩，用Ml、MZ、…、Mn表示力偶系中的各力偶矩，則有M＝∑M(3一4)由上述結(jié)果可知，平面力偶系平衡的必要和充分的條件是各力偶矩的代數(shù)和為零，即∑Mi=0(3一5)用式（3-5）可以解決平面力偶系的平衡問題，其解題步驟與§2一4中所述步驟類似。第16頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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例3-3用端面銑刀加工連桿的端面，如圖3-3所示。連桿在圖面內(nèi)受到矩為M1=l00N·m的切削力偶的作用。連桿大頭的孔套在固定心軸O上，小頭靠在固定擋銷A上以防止連桿在圖面內(nèi)轉(zhuǎn)動。若不加夾緊并忽略摩擦，且已知l=200mm。試求心軸與擋銷所受的橫向力。圖3一13第17頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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解:以連桿為研究對象。它在圖面內(nèi)受給定的切削力偶矩M1作用。擋銷為光滑面，其約束力為NA；心軸可視為固定支座。由于力偶只能被力偶所平衡，故心軸的約束力NO必與NA構(gòu)成一力偶，從而可知No的方向向下，且No=NA。連桿的受力圖如圖所示。連桿在圖面內(nèi)受平面力偶系作用。由式（3-5）可得

∑M＝O，一MI+NAl=0N0=NA=M/l=100/0.2=500N由力的作用和反作用定律，可知心軸與擋銷均受到50ON的橫向力，其指向分別與圖中No和NA相反。這些力將使心軸和擋銷發(fā)生變形甚至損壞，故加工時連桿必須夾緊。NANO第18頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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習題3-1如圖所示，構(gòu)件上作用有力F。設(shè)F、l和θθ均已知。試求：(1）若θ1已知，求F對點O的矩；(2)多大時此力矩最大，最大值等于多少？(3)θ1多大時，此力矩為零？

題3一1圖第19頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

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