第三章 典型機(jī)械系統(tǒng)的建模

第三章典型機(jī)械系統(tǒng)的建模第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模一、空間任意力系的平衡方程由理論力學(xué)可知，空間任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力在三坐標(biāo)軸中每一軸上的投影和分別等于零，又這些力對于這些軸的力矩的代數(shù)和也分別等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月二、牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式牛頓第二定律告訴我們，物體受外力作用時，所獲得的加速度大小與合力大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.1

測量轉(zhuǎn)動慣量實(shí)驗(yàn)裝置

如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量為m

,由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為h，繩索相距為2a。重心位于通過連接繩索兩點(diǎn)的中點(diǎn)的垂線上，假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度，然后釋放。求擺動周期T，物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量J。假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度時，夾角和夾角間存在下列關(guān)系因此注意，每根繩索的受力F的垂直分量等于mg/2。F的水平分量為mg

/2。兩根繩索的F的水平分量產(chǎn)生扭矩mga使物體轉(zhuǎn)動。因此，擺動的運(yùn)動方程為：第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月或?qū)懗捎纱饲蟮脭[動周期為得到轉(zhuǎn)動慣量J第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.2單擺系統(tǒng)下圖所示的單擺系統(tǒng)為輸入力矩、為輸出擺角、m為小球質(zhì)量、L為擺長。根據(jù)力系平衡建立系統(tǒng)方程：這是一個非線性方程，根據(jù)Taylor級數(shù)展開得：當(dāng)很小時，高階小數(shù)可以忽略，則：非線性系統(tǒng)方程可簡化成線性系統(tǒng)方程第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.3

設(shè)一個彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)安裝在一個不計(jì)質(zhì)量的小車上，如下圖所示。推導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。假設(shè)t<0時小車靜止不動，并且安裝在小車上的系統(tǒng)也處于靜止?fàn)顟B(tài)。在這個系統(tǒng)中，u(t)是小車的位移，并且是系統(tǒng)的輸入量。不計(jì)小車的質(zhì)量，得到第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.4

有一質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖所示，運(yùn)用力學(xué)方法建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)圖力分解圖根據(jù)力平衡原理，建立系統(tǒng)方程第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5

機(jī)械式加速度計(jì)下圖給出機(jī)械式加速度計(jì)測量懸浮試驗(yàn)橇加速度的示意圖。試驗(yàn)橇采取磁懸浮方式以較小的高度e懸浮于導(dǎo)軌上方。由于質(zhì)量M相對于及速度計(jì)箱體的位移y與箱體的（即試驗(yàn)橇的）加速度成正比，因而加速度計(jì)能測得試驗(yàn)橇的加速度。我們的目的是設(shè)計(jì)一個具有合理動態(tài)響應(yīng)的加速度計(jì)，它能在可以接受的時間內(nèi)測得所需要的特征量：

y(t)=qa(t)(q為常數(shù))第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月分析質(zhì)量M的受力情況，我們有：或或第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.6

到立擺系統(tǒng)左下圖為人手保持倒擺平衡的問題，相應(yīng)的平衡條件為。右下圖表示的是小車上的倒擺控制問題。小車必須處于運(yùn)動狀態(tài)才能保持質(zhì)量m始終處于小車上方。系統(tǒng)狀態(tài)變量應(yīng)當(dāng)與旋轉(zhuǎn)角以及小車的位移有關(guān)。人手到立擺的平衡小車和倒擺第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)M>>

m

,旋轉(zhuǎn)角θ足夠小，于是可以對運(yùn)動方程做線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：其中，u(

t

)等于施加在小車上的外力，l是質(zhì)量到鉸接點(diǎn)的距離。鉸接點(diǎn)處的轉(zhuǎn)矩之和為：選定兩個2階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：將a、b兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：(a)(b)(c)(d)第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月為得到1階微分方程組，解出式（d）中的,代入式（c），并注意到M>>m，則有：(e)再解出式（c）中的，并代入式（d），可得：于是，4個1階微分方程為：第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程一、功、能、功率如果力被認(rèn)為是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量就是做功的能力。功的概念沒有考慮時間的因素，就要引入功率的概念。

功機(jī)械系統(tǒng)中的功等于力與力作用的距離的乘積（或力矩與角位移的乘積），力與距離要在同一方向上度量。設(shè)力F作用于a至b連接路徑中運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)m上，那么F所作的功可一般描述為

能量一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機(jī)械系統(tǒng)中能有勢能和動能兩種形式。

功率是做功的速率，即：dW表示在dt時間間隔內(nèi)所作的功。第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月二、能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程的根本就是能量守恒定律。如果系統(tǒng)沒有能量輸入和輸出，我們從系統(tǒng)總能量保持相等這一事實(shí)出發(fā)來推導(dǎo)運(yùn)動方程。

例3.7如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，它可以繞其轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設(shè)圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導(dǎo)出系統(tǒng)運(yùn)動方程。圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為系統(tǒng)總能量為第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮到圓柱體做無滑動的滾動，因此，。并且注意到轉(zhuǎn)動慣量J等于，我們得到考慮到能量守恒定律，總能量為常數(shù)，即總能量導(dǎo)數(shù)為零，得到注意到，并不總為0，因此必須恒等于0，即如果將以上方程轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)動運(yùn)動，只要把代入得到第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）將

作為n個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的運(yùn)動由n個微分方程表示，其中廣義坐標(biāo)是因變量，時間為自變量。令

作為系統(tǒng)在任意瞬時的勢能；令作為系統(tǒng)在同瞬時的動能；拉格朗日函數(shù)定義為設(shè)廣義坐標(biāo)是獨(dú)立的，令是廣義坐標(biāo)的變分，非保守力（外力和摩擦力等）在廣義坐標(biāo)上的虛功可以寫成拉格朗日方程為第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8

例3.4系統(tǒng)如圖所示，運(yùn)用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解:選擇y1，y2為廣義坐標(biāo)系，其系統(tǒng)動能和勢能分別為第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.9

某行星滾動機(jī)構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為r的實(shí)心圓柱在半徑為R，質(zhì)量為M的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸心O的轉(zhuǎn)動慣量分別為，圓柱對軸心O’的轉(zhuǎn)動慣量為,建立圓筒繞其軸心轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。分析：該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標(biāo)分別為圓筒轉(zhuǎn)角θ和圓柱軸心偏離角。由于圓柱與圓筒間的運(yùn)動是無滑動純滾動，故在接觸點(diǎn)A處它們具有相同的線速度：。

系統(tǒng)動能T為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動所具有的動能第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。則系統(tǒng)的勢能為于是有拉格朗日函數(shù)

代入拉格朗日方程有

即為該行星滾動機(jī)構(gòu)的運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程，用θ1、θ2和x作為廣義坐標(biāo)，以矩陣的形式寫出微分方程。解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為系統(tǒng)在同一時刻的勢能為拉格朗日函數(shù)為第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月利用拉格朗日方程可得第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4機(jī)器人靜力分析與動力學(xué)計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步和發(fā)展使機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展一次次達(dá)到一個新水平。上至太空艙、宇宙飛船，下至微機(jī)器人、深海開發(fā)，機(jī)器人技術(shù)已拓展到全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展的諸多領(lǐng)域，成為高科技中極為重要的組成部分。人類文明的發(fā)展、科技的進(jìn)步已和機(jī)器人的研究、應(yīng)用產(chǎn)生了密不可分的關(guān)系。人類社會的發(fā)展已離不開機(jī)器人技術(shù)，而機(jī)器人技術(shù)的進(jìn)步又對推動科技發(fā)展起著不可替代的作用。

第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月18世紀(jì)瑞士的寫字偶人哈工大爬壁機(jī)器人爬纜索機(jī)器人仿人機(jī)器人北航仿生魚管道機(jī)器人第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月排雷機(jī)器人“索杰納”火星車引導(dǎo)機(jī)器人工業(yè)機(jī)器人第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)器人，特別是其中最有代表性的關(guān)節(jié)型機(jī)器人，實(shí)質(zhì)上是由一系列關(guān)節(jié)連接而成的空間連桿開式鏈機(jī)構(gòu)。要研究機(jī)器人，就必須對其運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)有一個基本的了解。

穩(wěn)態(tài)下研究的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析只限于靜態(tài)位置問題的討論，未涉及機(jī)器人運(yùn)動的力、速度、加速度等動態(tài)過程。實(shí)際上，機(jī)器人是一個復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)，機(jī)器人系統(tǒng)在外載荷和關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)的作用下將取得靜力平衡，在關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)的作用下將發(fā)生運(yùn)動變化。機(jī)器人的動態(tài)性能不僅與運(yùn)動學(xué)因素有關(guān)，還與機(jī)器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置、傳動裝置等對動力學(xué)產(chǎn)生重要影響的因素有關(guān)。第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)器人動力學(xué)主要研究機(jī)器人運(yùn)動和受力之間的關(guān)系，目的是對機(jī)器人進(jìn)行控制、優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真。機(jī)器人動力學(xué)主要解決動力學(xué)正問題和逆問題兩類問題：動力學(xué)正問題是根據(jù)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力(或力矩)，求解機(jī)器人的運(yùn)動(關(guān)節(jié)位移、速度和加速度)，主要用于機(jī)器人的仿真；動力學(xué)逆問題是已知機(jī)器人關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求解所需要的關(guān)節(jié)力(或力矩)，是實(shí)時控制的需要。本節(jié)首先通過實(shí)例介紹與機(jī)器人速度和靜力有關(guān)的雅可比矩陣，在機(jī)器人雅可比矩陣分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行機(jī)器人的靜力分析，討論動力學(xué)的基本問題，對機(jī)器人的動態(tài)特性作簡要論述，以便為機(jī)器人編程、控制等打下基礎(chǔ)。第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月一、機(jī)器人雅可比矩陣

機(jī)器人雅可比矩陣(簡稱雅可比)揭示了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。雅可比不僅表示操作空間與關(guān)節(jié)空間的速度映射關(guān)系，也表示二者之間力的傳遞關(guān)系，為確定機(jī)器人的靜態(tài)關(guān)節(jié)力矩以及不同坐標(biāo)系間速度、加速度和靜力的變換提供了便捷的方法。1、機(jī)器人雅可比的定義

在機(jī)器人學(xué)中，雅可比是一個把關(guān)節(jié)速度向量

變換為手爪相對基坐標(biāo)的廣義速度向量v

的變換矩陣。在機(jī)器人速度分析和靜力分析中都將用到雅可比，現(xiàn)通過一個例子來說明：第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

下圖為二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人(2R機(jī)器人)，端點(diǎn)位置X、Y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系為：即圖3.1二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人簡圖將其微分得即第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月令可將上式簡寫為

J稱為圖示2R機(jī)器人的速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動dθ與手部作業(yè)空間微小位移dX的關(guān)系。若對式J進(jìn)行運(yùn)算，則圖示2R機(jī)器人的雅可比可寫為

從J中元素的組成可見，J陣的值是關(guān)于θ1及θ2的函數(shù)。3.23.1第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月推而廣之，對于n自由度機(jī)器人，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示，

，當(dāng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時

；當(dāng)關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時

，反映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動。機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，并且是一個6維列矢量。反映了操作空間的微小運(yùn)動，它由機(jī)器人末端微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動)組成。因此，式3.1可寫為：式中：J(q)是6×n維偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為n自由度機(jī)器人速度雅可比，可表示為：3.3第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.4第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2、機(jī)器人速度分析利用機(jī)器人速度雅可比可對機(jī)器人進(jìn)行速度分析。對式(3.3)左、右兩邊各除以dt得3.53.6式中：v為機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度；為機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)為確定關(guān)節(jié)空間速度與操作空間速度v之間關(guān)系的雅可比矩陣。

第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：右邊第一項(xiàng)表示僅由第一個關(guān)節(jié)運(yùn)動引起的端點(diǎn)速度；右邊第二項(xiàng)表示僅由第二個關(guān)節(jié)運(yùn)動引起的端點(diǎn)速度；總的端點(diǎn)速度為這兩個速度矢量的合成。因此，機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其他關(guān)節(jié)不動而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。對于圖3.1所示2R機(jī)器人而言，J(q)是式(3.2)所示的2×2矩陣。若令J1，J2分別為式(3.2)所示雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則式(3.6)可寫為：第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：J–1稱為機(jī)器人逆速度雅可比。圖3.1所示二自由度機(jī)器人手部的速度為：假如已知的及

是時間的函數(shù)，即，，則可求出該機(jī)器人手部在某一時刻的速度v=f

(t)，即手部瞬時速度。反之，假如給定機(jī)器人手部速度，可由式(3.6)解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度為：3.7第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例

3.11

如圖3.2所示的二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s的速度移動，桿長l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時θ1=30°，θ2=60°，求相應(yīng)瞬時的關(guān)節(jié)速度。

圖3.2二自由度機(jī)械手手爪沿X0方向運(yùn)動示意圖解由式(3.2)知，二自由度機(jī)械手速度雅可比為第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，逆雅可比為由式(3.7)可知，，且，即vX=1m/s，vY=0，因此第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月二、機(jī)器人動力學(xué)方程

機(jī)器人動力學(xué)的研究有牛頓-歐拉法、拉格朗日法、高斯法、凱恩法及羅伯遜-魏登堡法等。本節(jié)介紹動力學(xué)研究常用的牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程。1、歐拉方程

歐拉方程又稱為牛頓-歐拉方程，應(yīng)用歐拉方程建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程是指：研究構(gòu)件質(zhì)心的運(yùn)動使用牛頓方程，研究相對于構(gòu)件質(zhì)心的轉(zhuǎn)動使用歐拉方程。歐拉方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間的關(guān)系。

質(zhì)量為m、質(zhì)心在C點(diǎn)的剛體，作用在其質(zhì)心的力F的大小與質(zhì)心加速度aC的關(guān)系為式中：F、aC為三維矢量。式(2.21)稱為牛頓方程。3.8第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月欲使剛體得到角速度為ω、角加速度為ε的轉(zhuǎn)動，則作用在剛體上力矩M的大小為

(3.9)式中：M、ε、ω均為三維矢量；

為剛體相對于原點(diǎn)通過質(zhì)心C并與剛體固結(jié)的剛體坐標(biāo)系的慣性張量。式(3.9)即為歐拉方程。在三維空間運(yùn)動的任一剛體，其慣性張量

可用質(zhì)量慣性矩IXX、IYY、IZZ和慣性積IXY、IYZ、IZX為元素的3×3階矩陣或4×4階齊次坐標(biāo)矩陣來表示。通常將描述慣性張量的參考坐標(biāo)系固定在剛體上，以方便剛體運(yùn)動的分析。這種坐標(biāo)系稱為剛體坐標(biāo)系(簡稱體坐標(biāo)系)。第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2、拉格朗日方程

在機(jī)器人的動力學(xué)研究中，主要應(yīng)用拉格朗日方程建立起機(jī)器人的動力學(xué)方程。這類方程可直接表示為系統(tǒng)控制輸入的函數(shù)，若采用齊次坐標(biāo)，遞推的拉格朗日方程也可建立比較方便而有效的動力學(xué)方程。對于任何機(jī)械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總動能Ek與總勢能Ep之差，即L=Ek–Ep

(3.10)

由拉格朗日函數(shù)L所描述的系統(tǒng)動力學(xué)狀態(tài)的拉格朗日方程為

(3.11)式中：n為連桿數(shù)目；qi為系統(tǒng)選定的廣義坐標(biāo)，F(xiàn)i為作用在第i個坐標(biāo)上的廣義力或力矩。第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

3、平面關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)分析機(jī)器人是一個非線性的復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)。動力學(xué)問題的求解比較困難，而且需要較長的運(yùn)算時間，因此，簡化解的過程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動力學(xué)在線計(jì)算的時間是一個受到關(guān)注的研究課題。機(jī)器人動力學(xué)問題有兩類：(1)給出已知的軌跡點(diǎn)上的、及，即機(jī)器人關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩向量τ。這對實(shí)現(xiàn)機(jī)器人動態(tài)控制是相當(dāng)有用的。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，求機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的各瞬時的運(yùn)動。也就是說，給出關(guān)節(jié)力矩向量τ，求機(jī)器人所產(chǎn)生的運(yùn)動、及，這對機(jī)器人的運(yùn)動模擬是