第三章 等參數(shù)單元等參元

第三章等參數(shù)單元等參元第1頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月對于矩形單元，由于它采用了雙線性位移模式，使得單元內的應力和應變不是常量而是按線性變化，它比常應變三角形單元能較好地反映出結構的實際應力分布狀態(tài)，但是它很難適應曲線邊界和非正交的直線邊界；同時在劃分單元時，改變單元的大小也很困難，即不便于在不同部位采用大小不同的單元，因為已把每個單元的邊長之半作為常量而引入單元剛度矩陣中（見式(2.48)）。因此，矩形平面單元未能在實際中得到廣泛的應用。為此，我們希望找到一種單元，一方面它具有較高次的位移模式，能更好地反映結構的復雜應力分布狀態(tài)，即或是單元網(wǎng)格劃分的比較疏些，也可以得到比較好的計算精度；另一方面，它又能很好地適應曲線邊界和非正交的直線邊界。等參元就具備了上述兩條優(yōu)點，因而得到廣泛應用。第2頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月前面已談到：無論是三角形單元還是矩形單元，其單元內位移用形函數(shù)表示為實際上不難證明：單元內任一點的坐標同樣有上述關系，即(3-1)(3-2)第3頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，常應變三角形單元和矩形單元內任一點的位移函數(shù)插值公式與該點的位置坐標變換式，都具有完全相同的形式。它們都是用同樣個數(shù)的相應結點值（結點位移值或坐標值）作為參數(shù)，并且用完全相同的形函數(shù)作為這些結點值前面的系數(shù)項。當參數(shù)取為結點位移時就得到位移函數(shù)插值公式；當參數(shù)取為結點坐標時，就得到位置坐標插值公式（或位置坐標變換式）。常應變三角形單元和矩形單元的這種位移函數(shù)插值公式與位置坐標變換式之間的對應協(xié)調關系，就是等參元的基本特征。所以，等參元的基本概念可簡單概括成：一個單元的位移函數(shù)插值結點數(shù)與其位置坐標變換結點數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標變換式都用相同的形函數(shù)與結點參數(shù)進行插值者，稱為等參元。顯然，常應變三角形單元和矩形單元就是兩種最簡單的等參元。但是，本章所要研究的等參元，并不是這種單元，而是4結點任意四邊形等參元和8結點曲邊四邊形單元。第4頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月由前述知，具有雙線性位移模式的矩形單元只適用于正交的、規(guī)則形狀的結構。對于非正交的、不規(guī)則形狀，可以用任意四邊形單元代替矩形單元進行有限元分割。在直角坐標系（又稱整體坐標系）中，任取一任意四邊形單元1,2,3,4，四邊形的四個角點取為結點，各結點的直角坐標值為。對于這種任意四邊形等參元，可令其實際形狀所構成的單元為子單元，把子單元的各邊中點連線做一個局部坐標系（或稱自然坐標系），且令單元各結點的局部坐標系分別是：；；；。這樣，就把子單元影射到局部坐標系上，而成為正方形單元，稱此正方形單元為母單元。整體坐標系適用于所有單元，即適用于整個求解區(qū)，而局部坐標系只適用于每一個單元。

§3-2四結點任意四邊形等參元一．位移插值函數(shù)式及坐標變換式第5頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月在子單元上再作各對邊的等分線，這些等分線影射到母單元上，也必然是母單元各對應邊上的等分線。這樣，母單元與子單元之間的相應點存在著一一對應的關系。這種對應關系說明，在母單元平面上平行于或的直線，在平面內的子單元上仍然是相對應的直線。第6頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，我們就可以把矩形單元的位移函數(shù)插值式(3-1)，單元內任一點的坐標變換式(3-2)，以及局部坐標變換式（類似坐標變換式），用在任意四邊形等參元上，并重新寫成(3-3)(3-4)(3-5)第7頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月式(3-3)和(3-4)是任意四邊形在局部坐標系下的位移插值函數(shù)和單元內任一點局部坐標插值公式，而式(3-5)是每個單元的局部坐標系與結構的整體坐標系之間的坐標變換式。由這些公式看出，任意四邊形單元符合等參元條件，它當然是等參元。由于任意四邊形單元的位移插值函數(shù)(3-3)，在局部坐標系下滿足形容條件，因此坐標變換式(3-5)也就滿足相容條件，從而使得式(3-3)在整體坐標下滿足相容條件。也就是說，在兩相鄰任意四邊形單元公共邊上的位移是連續(xù)的，坐標變換后仍然是連續(xù)的，兩相鄰單元公共邊上的公共點在坐標變換后仍為公共點，決不會出現(xiàn)重疊和開裂現(xiàn)象。第8頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用任意四邊形等參元分析平面問題時，有了該單元的位移插值函數(shù)式(3-3)和坐標變換式(3-5)，就可以應用第二章已導出的一系列公式去求解。但是，這一系列公式都是在整體坐標下導出的，其中，應變矩陣的每個元素都是各結點形函數(shù)對整體坐標進行重積分，而任意四邊形等參元的形函數(shù)又是針對局部坐標的，因此需要對和進行坐標變換。這樣，就引出了坐標變換矩陣和變換行列式。和的偏導數(shù)；單元剛度矩陣的每個元素又是各結點形函數(shù)對整體坐標和的偏導數(shù)的乘積，再對二．坐標變換矩陣及變換行列式第9頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月設任意四邊形在整體坐標下的位移插值函數(shù)式為而該單元在局部坐標系下的位移插值函數(shù)式(3-3)可以寫成：這兩種形式的位移插值函數(shù)式通過坐標變換式(3-5)聯(lián)系起來。為了方便，把式(3-5)寫成：(3-6)(3-7)(3-8)第10頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，(3-6)，(3-7)，(3-8)三式之間有如下關系由式(3-9)可抽象出(3-9)第11頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月把上面二式寫成矩陣形式，得令(3-11)

(3-10)第12頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為坐標變換矩陣或雅克比矩陣，它是局部坐標的函數(shù)。因此式(3-10)變成故有(3-13)

(3-12)第13頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月式中稱為坐標變換矩陣或雅克比逆陣，它也是局部坐標的函數(shù)。式中的是坐標變換行列式。另外，為了把化成對局部坐標的重積分，還需把微分面積做相應的變換。(3-14)第14頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月設任意四邊形等參元1,2,3,4內任一點沿局部坐標方向的微分矢量為，由于在方向上只有變化，而不變，故微分矢量在整體坐標系的軸上的投影分別為第15頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，由于在方向上只有變化而不變，故在軸上的投影：兩個微分矢量所構成的微小平行四邊形面積：第16頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月而又可以看成是在整體坐標中的微分面積，故有式中(3-15)’（3-15）第17頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月為了進一步闡明和計算任意四邊形等參元的單元剛度矩陣及應力矩陣（或應變矩陣），需要把前述的及展成具體形式的表達式，為此，將(3-5)式代入(3-12)式，得第18頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月再將對然后代入中得(3-16)分別求偏導數(shù)，第19頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月式(3-16)表明，只有給定整體坐標下的單元四個結點的坐標值

和就完全由單元的局部坐標來決定了，而且它的每個元素都是和的線性函數(shù)，令常數(shù)項分別為第20頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月則(3-16)式可寫成由式(3-16)’可以得出雅克比行列式(3-16)’(3-17)第21頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月它也是的線性函數(shù)。由(3-16)’和(3-17)式可以直接寫成的逆陣：式中的每個元素變成(3-18)的較復雜的函數(shù)。第22頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(3-18)看出，為了確保的存在，必須要求變換行列式，這個條件的實質是，要求任意四邊形等參元在整體坐標下的形狀必須是凸的四邊形，而不能有一個內角等于或大于。否則，在單元上將得不到整體坐標與局部坐標之間的一一對應的變換關系，而使計算方法失效。因此，所謂任意四邊形等參元，其任意性還是有一定限度的，要求四邊形的任意兩對邊不能通過適當?shù)难由於趩卧獌瘸霈F(xiàn)交點。通常，在實際有限元計算中，為了盡量使其形狀接近于正方形比較好，但可以大小不一樣。第23頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月及表達式中的有關及都換成局部坐標的函數(shù)表達式。此時，任意四邊形等參元的一切計算都可以立足在局部坐標系下進行了。根據(jù)上述已求得的，及等函數(shù)表達式，就可以將首先，由式(3-13)引出：第24頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月所以式中(3-19)第26頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月然后，將式(3-19)代入中，就把的各元素化成的函數(shù)；再將式(3-17)代入式(3-15)，并將式(3-15)及代入，就把的重積分，其被積函數(shù)應該指出，中的每個元素都含有對和的重積分，盡管其積分區(qū)域變得十分簡單，而其被積函數(shù)都比較復雜，需要采用數(shù)值積分（通常是采用高斯求積法），由于任意四邊形等參元的應力是和的函數(shù)，因此在求解單元應力時，必須指明是求哪一點的應力，而且各單元之間的應力是不連續(xù)的。的每個元素化成對局部坐標的函數(shù)式。都是和的復雜函數(shù)，對于各單元的應力也可以化成是和第27頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

四節(jié)點任意四邊形等參元盡管比矩形單元好，比三角形單元的精度高，但是它對結構的曲線邊界仍然要以許多小直線段去逐漸逼近，計算精度仍不夠理想，為了進一步提高計算精度，可在四節(jié)點任意四邊形等參元的基礎上，增加結點個數(shù)，選用高冪次結構模式的等參元。一般常用的是八結點曲邊四邊形等參元?！?-3八結點曲邊四邊形等參元一．位移插值函數(shù)及坐標變換第28頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月左圖是8結點平面等參元在整體坐標下的實際形狀，它除了四個角點1，2，3，4之外，又在每邊中點選一個結點5或6，7，8，各結點的整體坐標值為。類似于4結點任意四邊形等參元，這種子單元映射到局部坐標系上，就變成邊長為2的8結點正方形母單元。第29頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在，我們首先考慮在局部坐標系下的8結點正方形母單元。由于它的8個結點共有16個位移分量，故必須選擇局部坐標的雙二次多項式，做為它的位移模式。式中是由單元8個結點的局部坐標值和來決定的待定常數(shù)。(3-20)第30頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月可用類似于以前用過的方法，將8結點的局部坐標值代入式(3-20)，得到以為未知數(shù)，以及為已知數(shù)的16個聯(lián)立方程組，求解這個方程組即得的表達式。然后再回代到(3-20)中，經(jīng)整理

式中是第(3-21)個結點的形函數(shù)。第31頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月應該指出，用上式求解聯(lián)立方程組的方法來導出式(3-21)，比較麻煩，特別是當待定系數(shù)比較多時，欲導出形函數(shù)的顯式是非常煩瑣的。為了簡化求導的過程，我們可以利用的特點來決定各結點的形函數(shù)顯式。由第二章知，各種單元的形函數(shù)都有兩個特點時，或是的二次函數(shù)；當固定時，或又是的二項函數(shù)。1)是形如單元位移模式的同冪次多項式，對于8結點曲邊形等參元，它的一定是局部坐標和的雙二次多項式，固定第32頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月2)在結點的值為1，在其余結點

，根據(jù)形函數(shù)的這兩個特點，先求8結點曲邊四邊形等參元四個角點的形函數(shù)。對于角點1，根據(jù)第2)個特點，在結點的值全為零，而直線通過等七個結點，故這三條直線的方程分別為同時，由組成的函數(shù)，在結點上的值恰好都等于零；另外，根據(jù)第1)個特點，函數(shù)也恰好是雙二次函數(shù)。因此，可設第33頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月式中是待定常數(shù)。將1結點的局部坐標值和代入上式，并考慮這一特點，可求得同理可得(3-22)，于是第34頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月再來求8結點曲邊四邊形單元各邊中點的形函數(shù)。對于5結點，根據(jù)第2)個特點，在結點的值全應等于零，而直線通過上述七點，這三條直線的方程分別為于是，函數(shù)在結點上的值恰好都等于零；另外，函數(shù)也符合的第1)個特點。因此，可設式中也是待定常數(shù)。將5結點的局部坐標值和代入上式，并考慮這一特點，可求得，于是第35頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月同理可得(3-23)，則可將(3-22)和(3-23)式合并成一個通式(3-24)如令第36頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月從式(3-24)看出，是雙二次函數(shù)，從而使單元任一點的位移插值函數(shù)和[式(3-21)]也是雙二次函數(shù)：單元每一條邊上的和是或的二次函數(shù)，它完全由邊上的3結點的函數(shù)值唯一決定，而且在相鄰兩單元的公共邊上，其三個結點有相同的函數(shù)值。因此，這種單元的位移插值函數(shù)和，以及形函數(shù)能完全滿足變形連續(xù)性條件和相容條件，結構變形后，各單元之間和每個單元都不能出現(xiàn)開裂和重疊現(xiàn)象。由于是雙二次函數(shù)，它對結構線性函數(shù)都是精確成立的，故可用類似于4結點任意四邊形等參元曾用過的方法，直接寫出單元內任一點的局部坐標的線性插值式。(3-25)第37頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月且有以及該點的整體坐標與局部坐標之間的變換式由于的相容性，式(3-27)也滿足相容條件。(3-26)(3-27)第38頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月8結點曲邊四邊形等參元的坐標變換矩陣和其逆陣以及變換行列式，仍可以采用(3-12)、(3-14)和(3-15)’，但這三式中及項，需做如下改變(3-28)所共同包含的第39頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月而式(3-28)中的和，可將式(3-24)分別對,求得：(3-29)的偏微分而第40頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月最后，由式(3-13)可直接引出(3-30)第41頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月將式(3-29)代入式(3-28)，再將式(3-30)分別代入式(3-12)，(3-14)及(3-15)’中，即可求得8結點曲邊四邊形等參元的坐標變換矩陣和其逆陣，以及坐標變換行列式的具體表達式。這些表達式都是局部坐標和的函數(shù)。最后，再把式(3-29)代入式(3-30)中，就把和轉化成為局部坐標的函數(shù)，這對于立足于局部坐標去計算單元應力和單元剛度陣是非常方便的。應該指出，為了保證8結點曲邊四邊形等參元的坐標變換能順利進行，對整體坐標下8個結點位置的配置必須做一定的限制。既不能使單元太偏斜，又要求任意兩條對邊經(jīng)過適當延伸也不能在單元內出現(xiàn)交點。通常，在劃分單元網(wǎng)格時，盡量把每個單元配置成接近正方形。第42頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月將式(3-21)代入平面問題的幾何方程中，便得出8結點曲邊四邊形單元的應變分量計算式(3-31)二．單元分析第43頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月式中——單元應變矩陣的第i個子矩陣——單元結點位移列陣第44頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月8結點曲邊四邊形單元的應力表達式式中和——應力矩陣及其子矩陣，對于平面應變問題(3-32)第45頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月應用虛功方程，仍可以導出這種單元的剛度矩陣。(3-33)把式(3-33)寫成分塊矩陣，可分成8×8個子矩陣，每個子矩陣都是2×2階矩陣：(3-34)第46頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月將式(3-29)代入式(3-28)中，再將式(3-28)代入式(3-12)、(3-14)和(3-15)’即可求得8結點曲邊四邊形等參元的,及；然后將式(3-29)代入式(3-30)中，再將式(3-30)及已求得的代入式(3-34)中，經(jīng)過局部坐標的積分，可得到，其中被積函數(shù)(3-35)第47頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月或的具體數(shù)值；最后把各單元的組集結構整體剛度矩陣，把各單元的結點力列陣組集成整個結構的結點力列陣，并組成結構剛度方程，再考慮結構約束條件，即可求解出離散結構上各結點的位移分量列陣和各單元的結點位移分量列陣。求得了各單元的后，再把和已計算過的式(3-30)一起代入式(3-32)中，且要給出各單元需要求應力的局部坐標值，就可以求得各單元內需要求應力那些點的各應力分量值。第48頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月應該指出，無論是8結點曲邊四邊形等參元或者是4結點任意四邊形等參元，其單元內每一點的應力都是不相同的，且是點的局部坐標復雜函數(shù)，因而這種單元的精度比較高。但是，在相鄰單元公共邊上的應力函數(shù)仍然是不連續(xù)的（其位移是連續(xù)的）。因此，通常是求單元各高斯積分點處的應力。（見§3.4）8結點曲邊四邊形等參元基本和4結點任意四邊形等參元的等效結點力計算方法相同。現(xiàn)以8結點四邊形等參元為例，討論如何把單元上的載荷化成等效結點力。三．等效結點力計算第49頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.集中力：設單元上任意點c受有集中載荷，則被移置到單元各有關受載結點上的等效結點力，可按第2章§2-8節(jié)中講過的方法直接寫成(3-36)式中代表在集中力作用點處c的取值，把c點的局部坐標值代入形函數(shù)，再去計算。實際計算時，應盡量把集中力作用點取為結點，而把直接加到該結點上。第50頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.體積力：設單元上的體力為，移置到單元各結點上的等效結點力。按式(2-38)可寫成式中t是單元厚度。(3-37)第51頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.面力：設單元的某邊界上受有面力上有關結點的等效結點力按式(2-39)可寫成式中是單元作用有面力的邊界域；是在邊界域的一個微弧長；i為受面力邊界上的結點號碼。，這條邊界(3-38)第52頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月應指出，式(3-38)中所給出的面力分量和，實用時不太方便。在實際結構上往往是給出沿單元曲線邊界的法線和切線方向的面力和，故需對式(3-38)做適當修改。規(guī)定：法向面力以沿邊界曲線的外法線方向為負，切向面力以沿單元邊界逆時針方向前進者為正。圖中指出的和都是正的。第53頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月設圖中8結點平面等參元的邊界上受有面力及，且與x軸的夾角為。則與x軸的夾角就是。由圖知而第54頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月把和代入(3-38)式得由(3-21)知，，故x或y對和的重積分為(3-39)第55頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月對于圖中等參元的邊界，其局部坐標，是變化的，因此x或y對局部坐標的全微分應為將和代入式(3-39)得(3-40)由于，及都是的復雜函數(shù)（因的積分也要用數(shù)值積分法（常用高斯求積法來求解）。），故式(3-40)第56頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月4.溫度荷載考慮溫度變化產(chǎn)生的初應變則任意結點上的等效結點力是將和代入上式，可以寫成第57頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月此時，計算應力的（3-32）式改寫為第58頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月在前二節(jié)的剛度矩陣和等效結點力的計算公式中，都需要做如下形式的積分運算顯然，被積函數(shù)一般是很復雜的，往往不能得出它的顯式。因此，在有限單元法的計算中都用數(shù)值積分。我們在單元內選出某些點（稱為積分點），算出被積函數(shù)在這些積分點處的函數(shù)值，然后用一些加權系數(shù)乘上這些函數(shù)值，再求出總和作為近似的積分值。高斯求積法就是數(shù)值積分法中具有較高精度的方法。§3-4高斯求積法的應用第59頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月一維高斯求積公式式中n是積分點的數(shù)目，是積分點i的局部坐標，是加權系數(shù)。下表是n≤4的數(shù)值第60頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月高