函數y=Asin(ωxφ)(1)課件高一上學期數學人教A版

函數y=Asin(ωx+φ)(1)問題：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用（圖）．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖-2）.探究一：勻速圓周運動的數學模型假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．你能用一個合適的函數模型來刻畫盛水筒（視為質點）距離水面的相對高度與時間的關系嗎？思考：與盛水筒運動相關的量有哪些？它們之間有怎樣的關系？分析：如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形，設經過ts后，盛水筒M從點

運動到點P．由筒車的工作原理可知，這個盛水筒距離水面的高度H，由以下量所決定：筒車轉輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉動的角速度ω，盛水筒的初始位置

以及所經過的時間t.以O為原點，以與水平面平行的直線為x軸建立直角坐標系．設t=0時，盛水筒M位于點

，以Ox為始邊，

為終邊的角為φ，經過ts后運動到點P(x,y)．于是，以Ox為始邊，OP為終邊的角為ωt+φ，并且有

y＝rsin(ωt＋φ）．

①所以，盛水筒M距離水面的高度H與時間t的關系是

H＝rsin(ωt＋φ）+h．

②函數②就是要建立的數學模型，只要將它的性質研究清楚，就能把握盛水筒的運動規(guī)律．由于h是常量，我們可以只研究函數①的性質.探究二：函數y=Asin(ωx+φ)的圖象上面我們利用三角函數的知識建立了一個形如y=Asin(ωx+φ)其中(A＞０,ω

＞０)的函數.顯然.這個函數由參數A,

ω

,

φ所確定．因此,只要了解這些參數的意義,知道它們的變化對函數圖象的影響,就能把握這個函數的性質．思考：從解析式看,函數y=sinx就是函數y=Asin(ωx＋φ)在A=1

,

ω=1

,

φ=0時的特殊情形．(1)能否借助我們熟悉的函數y=sinx的圖象與性質研究參數

A

,

ω,

φ

對函數y＝Asin(ωx＋φ)的影響？(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)含有三個參數，你認為應按怎樣的思路進行研究.

當起點位于Q0時(此時φ=0)，經過xs后運動到點P,那點P的縱坐標y就等于sinx.以(x,y)為坐標描點，可得函數y=sinx的圖象.P---11-M取A=1,ω=1，動點M在單位圓O1上以單位角速度按逆時針方向運動.當起點位于Q1時(此時φ=)，經過

s后運動到點P,那么點P的縱坐標y也等于sinx.以(,y)為坐標描點，可得函數y=sin(x+)的圖象.1.探索φ對y＝sin(x＋φ)圖象的影響所有點向左平移個單位長度從質點的勻速圓周運動規(guī)律來分析：以Q0為起點到達點P，所用時間為

s，縱坐標為

.

以Q1為起點到達點P，所用時間為

s，縱坐標為

.

思考:(1)如果φ取，，對應的函數圖象如何變化呢？(2)根據上面的研究，歸納出φ對函數y=sin(x+φ)圖象影響的一般化結論.

所有點向右平移個單位長度所有點向左平移個單位長度所有點向右平移個單位長度所有的點向左(

>0)或向右(

<0)平移||

個單位y=sinxy=sin(x+

)

的變化引起圖象位置發(fā)生變化(左加右減)平移變換一般地，當動點M的起點位置Q所對應的角為

時，對應的函數是y=sin(x+φ)(φ≠0)，把正弦曲線上的所有點向左(當>0時)或向右(當<0時)平移|

|個單位長度，就得到函數y=sin(x+φ)的圖象.歸納總結練習課本240頁取A=1,

，當ω=2時，以Q1為起點到達點P，所用時間為

s，縱坐標為

.

由于ω=2時,動點的轉速是ω=1時的2倍，P圓心角α=ω×tP當ω=1時，以Q1為起點到達點P，所用時間為

s，縱坐標為

.2.探索ω（ω

＞０）對y=sin（ωx+φ

）圖象的影響所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）(2)根據上面的研究，歸納出ω對函數y=sin(ωx+φ)圖象影響的一般化結論.

思考:(1)如果對應的函數圖象如何變化呢？所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）所有的點橫坐標縮短(

>1)或伸長(0<

<1)倍周期變換y=sinxy=sin

x縱坐標不變

決定函數的周期:歸納總結一般地，函數y＝sin(ωx＋φ)的周期是

，把y＝sin(x＋φ)圖象上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)，就得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象.

練習課本240頁取ω=2,

，當A=2時，以T1為起點到達點T，所用時間為

s，縱坐標為

.

當A=1時，以Q1為起點到達點P，所用時間為

s，縱坐標為

.

3.探索A(

A＞0)對y=sin(ωx+φ

)圖象的影響所有點的縱坐標伸長到原來的２倍（橫坐標不變）思考:(1)如果A取,3,

對應的函數圖象如何變化呢？(2)根據上面的研究，歸納出A對函數y=Asin(ωx+φ)圖象影響的一般化結論.

所有點的縱坐標縮短到原來的

倍（橫坐標不變）所有點的縱坐標伸長到原來的

倍（橫坐標不變）所有點的縱坐標縮短到原來的

倍（橫坐標不變）振幅變換y=sinxy=Asinx所有的點縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<1)A倍橫坐標不變A的大小決定這個函數的最大(小)值y=Asinx，xR的值域是[－A,A]，最大值是A，最小值是－A.歸納總結一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作把y＝sin(ωx＋φ)圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到.從而，函數y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[-A,A]，最大值是A，最小值是-A.練習課本240頁思考：你能總結一下從正弦函數圖象出發(fā)，通過圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的過程與方法嗎？過程一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的圖象，可以用下面的方法得到：先畫出y＝sinx的圖象；再把正弦曲線向左(或向右)平移|

|個單位長度，得到函數y=sin(x+φ)的圖象；然后把曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)榈皆瓉淼腁倍(橫坐標不變)，這時的曲線就是函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.方法步驟1步驟4步驟3步驟2

最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變）而得到函數這一過程的步驟如下:練習1-12-2ox3-3y這是按先平移后變周期順序的變換.1-12-2ox3-3y這是按先伸縮后平移順序的變換.1.若先平移再伸縮，則平移的單位；2.若先伸縮再平移，則平移的單位.反思歸納隨堂檢測課本239頁y=sinxy=sin(x+

)橫坐標縮短

>1(伸長0<<1)到原來的倍y=sin(

x+

)縱坐標伸長A>1(縮短0<A<1)到原來的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)向左

>0(向右

<0)按先平移后變周期順序的變換：平移