數(shù)列求和題型歸納

數(shù)列求和題型歸納數(shù)列求和考點(diǎn)1：錯(cuò)位相減法對(duì)于數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列的情況，可以使用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和。例1：已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。例2：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n+n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足an=4log2bn+3，n∈N*。（1）求an，bn；（2）求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn。練習(xí)1：推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式Sn=(q≠1)1-q。練習(xí)2：已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=0，a6+a8=-10。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列{an/2}的前n項(xiàng)和。練習(xí)3：在數(shù)列{an}中，a1=1，2an+1=(1+1/an)·an。（Ⅰ）證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令bn=an+1-an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn?？键c(diǎn)二：裂項(xiàng)相消法對(duì)于一些特殊的數(shù)列求和問(wèn)題，可以使用裂項(xiàng)相消法來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。例1：已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a3=7，a5+a7=26。{an}的前n項(xiàng)和為Sn。（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=例2：等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6。(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+...+log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。練習(xí)1：已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)=6x-2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為an-1/bn，其中bn為f(x)在區(qū)間[0,n]上的平均值。求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。題目：數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和已知函數(shù)y=f(x)的圖像上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)(x,y)，其中x為自然數(shù)?，F(xiàn)在有兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}，滿(mǎn)足如下條件：（Ⅰ）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1；（Ⅱ）數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3，前n項(xiàng)和Tn=3n。求解：（Ⅰ）根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1，可以列出如下方程：a1+a2+...+an=n2+n根據(jù)等差數(shù)列求和公式，可得：a1+a2+...+an=（a1+an）n/2將其代入原方程，可得：（a1+an）n/2=n2+n化簡(jiǎn)得：a1+an=2n+2因?yàn)閧x,y}在函數(shù)y=f(x)的圖像上，所以an=f(n)，代入上式，得：f(1)+f(n)=2n+2移項(xiàng)得：f(n)=2n+2-f(1)因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2-f(1)。（Ⅱ）數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3，前n項(xiàng)和Tn=3n。因此，b1=b2=...=bn=3，Tn=3n。（Ⅲ）數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=anbn+1，前n項(xiàng)和Pn=2n+3。根據(jù)前兩問(wèn)的結(jié)論，可得：cn=(2n+2-f(1))3=6n+6-3f(1)因此，數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=6n+6-3f(1)，前n項(xiàng)和Pn=2n+3。改寫(xiě)：已知函數(shù)y=f(x)的圖像上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)(x,y)，其中x為自然數(shù)?，F(xiàn)在有兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}，滿(mǎn)足如下條件：（Ⅰ）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1；（Ⅱ）數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3，前n項(xiàng)和Tn=3n。解題過(guò)程如下：（Ⅰ）由題意得，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1，列出方程：a1+a2+...+an=n2+n。由等差數(shù)列求和公式得：a1+a2+...+an=（a1+an）n/2。將其代入原方程，得：（a1+an）n/2=n2+n?；?jiǎn)得：a1+an=2n+2。因?yàn)閧x,y}在函數(shù)y=f(x)的圖像上，所以an=f(n)，代入上式，得：f(1)+f(n)=2n+2。移項(xiàng)得：f(n)=2n+2-f(1)。因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2-f(1)。（Ⅱ）數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3，前n項(xiàng)和Tn=3n。因此，b1=b2=...=bn=3，Tn=3n。（Ⅲ）數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=anbn+1，前n項(xiàng)和