2024屆高考數(shù)學復習專題 ★★函數(shù)的周期性和對稱性 課件（共32張PPT）

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2024屆高考數(shù)學復習專題★★函數(shù)的性質(zhì)

--對稱性、周期性

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(1)若關于直線對稱

一、函數(shù)的對稱性

若函數(shù)上任意一點關于某直線（或某點）的對稱點仍在上，就稱關于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為自對稱。

(2)若關于點對稱

兩個恒等式的形式均不唯一，要記住本質(zhì)構造.

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定理：若函數(shù)滿足，那么函數(shù)以為對稱軸。

cor.若函數(shù)滿足，那么函數(shù)以為對稱軸。

即：

Y

X

O

A

B

X=a

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定理：若函數(shù)滿足，那么函數(shù)關于點

對稱。

cor.若函數(shù)滿足，那么函數(shù)關于點對稱。

即：

Y

X

O

A

B

(a,0)

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2)若,則函數(shù)關于______________對稱;

注：1.當時,函數(shù)關于直線對稱

2.當時,函數(shù)關于點對稱

偶函數(shù)特殊的軸對稱函數(shù)

奇函數(shù)特殊的點對稱函數(shù)

一般地,1)若,則函數(shù)關于對稱.

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y=f(x)對稱源性質(zhì)

點(0,0)

y軸

y=x

x=m

點(m,n)

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

f(x)=f-1(x)

f(x)=f(2m-x)

f(x)=2n-f(2m-x)

Ex:若函數(shù)

12

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關于x=0對稱

例1：已知的圖象,畫出和的圖象，并指出兩者的關系。

(-1,0)

(1,0)

若函數(shù)上任意一點關于某直線（或某點）的對稱點在上，就稱和關于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為互對稱。

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一般地,函數(shù)和關于_______對稱.

記憶：令x+a=-x+b，可求得對稱軸.

變化前對稱源變化后

y=f(x)點(0,0)

x軸

y軸

y=x

y=-x

直線x=m

直線y=n

點(m,n)

y=-f(-x)

y=-f(x)

y=f(-x)

y=f-1(x)

y=-f-1(-x)

y=f(2m-x)

y=2n-f(x)

y=2n-f(2m-x)

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例3：設的圖象與的圖象關

于直線對稱，求的解析式。

例2:將函數(shù)右移2個單位得到圖像C1，有C1和C2的圖像關于點對稱，求C2的函數(shù)解析式。

利用對稱性求解析式

（一）、互對稱問題常用軌跡代入法求解析式

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例4：設圖象關于直線對稱,在上，求當時的解析式。

例5：設是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖

象關于直線對稱，已知時,函數(shù)

求當時的解析式

(二)、自對稱問題常聯(lián)系恒等式進行x的變換

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關于直線對稱

關于直線對稱

關于對稱

關于點對稱

常見函數(shù)的對稱性

一個函數(shù)本身的對稱性稱為自對稱,分成關于某直線對稱或某點對稱.

原點

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二、函數(shù)的周期性

理解（1）.是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？

1.定義:對于函數(shù)，若存在非零常數(shù)T，使得恒成立，則稱為周期函數(shù)，T是函數(shù)的一個周期。若所有周期中存在一個最小正數(shù)，則稱它是函數(shù)的最小正周期。

(2).若T是的一個周期，則kT（k是非零整數(shù)）均是的周期嗎？

(3)周期函數(shù)的定義域D可以為閉區(qū)間嗎？

T=(a-b)

思考：若,函數(shù)具有什么性質(zhì)？

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注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件

2、常見的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明)

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3.函數(shù)的對稱性與周期性的幾個常見性質(zhì)。

性質(zhì)1.若函數(shù)以為對稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=

X=a

X=b

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性質(zhì)2.若函數(shù)以為對稱點，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=

假定

(a,0)

(b,0)

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性質(zhì)3.若函數(shù)以為對稱點，以為對稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=

假定

X=b

(a,0)

X

Y

O

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練習1:定義在R上的函數(shù)滿足

且方程有1001個根，則這1001個根的和？

4:如果那么

3：如果那么

2:函數(shù)圖象關于點對稱，則

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5:(1)定義在R上偶函數(shù)滿足則方程在區(qū)間上至少有()個根。

(2)將上題中的“偶函數(shù)”改成“奇函數(shù)”，其余條件不變，則在區(qū)間至少有()個根。

6：定義在R上函數(shù)滿足條件:①不是常值函數(shù)；②③則下列命題中正確的是()

A.是周期函數(shù)B.關于對稱C.關于y軸對稱D.關于原點中心對稱

重要結論：若奇，且周期為T，則必有

注：可用模擬圖，直觀明了

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思考：若周期為，又關于

對稱，能否推出是偶函數(shù)？若能，

能否嚴格證明？

練習:1.若為定義在R上的奇函數(shù)，且關于直線對稱，問：是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期。

2.若為定義在R上偶函數(shù)且滿足

問：是否關于直線

對稱？若是，請給出證明。

3：設奇函數(shù)，且

當則

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5：設是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關于直線對稱，已知時,函數(shù)求當