把握度量本質(zhì)特性促進(jìn)知識(shí)整體建構(gòu)

把握度量本質(zhì)特性促進(jìn)知識(shí)整體建構(gòu)一—“認(rèn)識(shí)厘米”教學(xué)探索摘要：度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具。數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量。”通過(guò)激發(fā)內(nèi)需，把握度量的“正則性”；生長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)，感悟度量的“有限可加性”；豐盈體驗(yàn)，緊扣度量的“運(yùn)動(dòng)不變性”，使學(xué)生真正理解度量的本質(zhì)特性，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的整體建構(gòu)。關(guān)鍵詞：度量；知識(shí)建構(gòu)；正則性；有限可加性；運(yùn)動(dòng)不變性史寧中教授說(shuō)過(guò)，度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具［1］。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，度量是理解很多重要概念的基礎(chǔ)，是數(shù)形結(jié)合的紐帶，是后續(xù)學(xué)習(xí)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。那么如何理解度量這一概念？我們?cè)撛鯓右龑?dǎo)學(xué)生感悟度量的本質(zhì)？本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，著眼于知識(shí)的整體建構(gòu)，淺談對(duì)把握度量本質(zhì)特性的一些思考和感悟。一、是何一一什么是度量？它有哪些特性？“度量”是指用一個(gè)帶單位的數(shù)值來(lái)描述可測(cè)量物體或者現(xiàn)象的某一個(gè)屬性，從而形成某個(gè)特殊含義的“量”，如長(zhǎng)度、面積、容積、體積、角度、重量（質(zhì)量）、方位、溫度、時(shí)間、貨幣等⑵。度量具有三個(gè)特性：正則性、有限可加性、運(yùn)動(dòng)不變性⑶。正則性是指確定標(biāo)準(zhǔn)、統(tǒng)一度量單位并規(guī)定度量單位為“1”。例如度量線(xiàn)段長(zhǎng)度的單位仍然是一條線(xiàn)段，并且規(guī)定1厘米、1分米、1米……的線(xiàn)段為度量單位；面積的大小就需要用“面”來(lái)度量，1平方厘米、1平方分米、1平方米……就是度量面積的單位；同理，體積單位、角的單位亦是如此。有限可加性，可以角的度量為例，10個(gè)1度的角在不重疊的情況下可以拼成1個(gè)10度的角。運(yùn)動(dòng)不變性，例如在面積單位個(gè)數(shù)不變的情況下，無(wú)論面積單位怎樣移動(dòng)、圖形形狀如何改變，都不會(huì)造成面積的變化。二、為何一一日常教學(xué)中面臨哪些問(wèn)題?南京大學(xué)呂林海教授在《數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)與教學(xué)：文化的視角》一書(shū)中指出：現(xiàn)實(shí)中的中國(guó)學(xué)生，過(guò)分受制于機(jī)械的練習(xí)、計(jì)算、背記、解難題，這種教育模式的確能造就一流的應(yīng)試者，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，并不利于一流創(chuàng)新拔尖人才的塑造[4]譬如學(xué)生能熟練地計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，但要讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)長(zhǎng)方形的面積為什么等于長(zhǎng)乘寬，并不是每個(gè)學(xué)生都能真正從度量的角度去解釋的。由于沒(méi)有理解，所以有些學(xué)生長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和面積的計(jì)算公式總是混淆不清。“度量”并不是簡(jiǎn)單的“操作技能”。沒(méi)有弄清楚度量的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，沒(méi)有理清知識(shí)之間的脈絡(luò)，學(xué)生就無(wú)法把握度量的本質(zhì)特性?；蛟S在教學(xué)中，教師讓學(xué)生動(dòng)手操作、合作交流、推理驗(yàn)證了，但由于忽視了過(guò)程性目標(biāo)，而將重點(diǎn)聚焦在了計(jì)算公式上，所以一段時(shí)間后，學(xué)生腦海中留下的就只剩長(zhǎng)乘寬了。簡(jiǎn)單的、靜態(tài)的、局限性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身所具有的復(fù)雜性、動(dòng)態(tài)性及深刻性，限制學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在整體素養(yǎng)上的深層發(fā)展。誠(chéng)然，多做幾道類(lèi)似的題，學(xué)生正確率就會(huì)直線(xiàn)上升，但這依然是將度量的學(xué)習(xí)變成簡(jiǎn)單的技能訓(xùn)練，對(duì)于練習(xí)過(guò)的問(wèn)題能夠輕松解決，而遇到陌生的問(wèn)題情境，就無(wú)從入手，依靠大量的練習(xí)是無(wú)法支撐起知識(shí)的整體建構(gòu)的。度量的教學(xué)應(yīng)該是多層次、多維度的思考，教學(xué)中缺失了“我們?cè)撛趺醋觥薄盀槭裁催@樣做”“還可以怎樣做”等等的思考，度量的理解就成了空談。三、如何一一怎樣把握度量本質(zhì)特性？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注意知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析，以不同的層次進(jìn)行理解?？v觀小學(xué)階段的度量?jī)?nèi)容分別安排在“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”中，“數(shù)與代數(shù)”中“常見(jiàn)的量”包括貨幣、時(shí)間和質(zhì)量等內(nèi)容；圖形與幾何版塊中的度量主要有角度、長(zhǎng)度、面積、體積和容積等。如果說(shuō)，長(zhǎng)度單位的教學(xué)是對(duì)“單位”意義的理解，那么面積單位、角的單位的學(xué)習(xí)就是對(duì)度量本質(zhì)的豐富與發(fā)展，而體積單位的教學(xué)則是整個(gè)小學(xué)階段有關(guān)度量?jī)?nèi)容的收尾?？梢?jiàn)，把握度量的本質(zhì)特性，我們可以清晰地構(gòu)建出有關(guān)度量知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)。以長(zhǎng)度單位的教學(xué)為例，“認(rèn)識(shí)厘米”是小學(xué)階段長(zhǎng)度單位的起始課，同時(shí)也是一節(jié)肩負(fù)著遷移和生長(zhǎng)任務(wù)的關(guān)鍵課。通過(guò)讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中自然產(chǎn)生統(tǒng)一計(jì)量單位的需要，知道厘米是比較小的長(zhǎng)度單位，初步建立1厘米的長(zhǎng)度觀念，會(huì)用直尺測(cè)量長(zhǎng)度（限整厘米），使學(xué)生真正理解單位的意義，把握度量本質(zhì)特性，形成符號(hào)意識(shí)和數(shù)感，積累度量活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)后續(xù)知識(shí)地整體建構(gòu)。1.激發(fā)內(nèi)需，把握度量的“正則性”二年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)從日常生活經(jīng)驗(yàn)中知道了物體有長(zhǎng)短、大小，并有了關(guān)于長(zhǎng)度的概念，掌握了一些比較長(zhǎng)短的方法，但長(zhǎng)度單位對(duì)他們來(lái)說(shuō)還是非常抽象的。為什么需要長(zhǎng)度單位？為什么要統(tǒng)一長(zhǎng)度單位呢？統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位又是什么樣子的呢？對(duì)二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)一切都是陌生的。片段一：體會(huì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的必要首先，教師通過(guò)讓學(xué)生觀察屏幕上兩個(gè)小圓點(diǎn)的變化情況，復(fù)習(xí)線(xiàn)段舊知，并得出線(xiàn)段是有長(zhǎng)有短的。隨后讓學(xué)生在桌面上找一找線(xiàn)段，并相互指一指，說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生得出桌面的寬比桌面的長(zhǎng)短一些。教師提問(wèn)：“如果要知道課桌面上這條線(xiàn)段（桌面的寬）有多長(zhǎng)，該怎么辦？”學(xué)生會(huì)想到用尺、筆袋、鉛筆、橡皮、數(shù)學(xué)書(shū)的邊等各種物品來(lái)測(cè)量桌面的寬，通過(guò)實(shí)際操作后得到課桌面的這條線(xiàn)段大約有3把尺那么長(zhǎng)，有2個(gè)筆袋那么長(zhǎng)，有25塊橡皮那么長(zhǎng)，有30塊橡皮那么長(zhǎng)……。此時(shí)學(xué)生都覺(jué)得自己可以較為準(zhǔn)確地描述桌面這條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，教師沒(méi)有對(duì)學(xué)生的反饋進(jìn)行評(píng)判，只是表?yè)P(yáng)了所有積極動(dòng)手操作的學(xué)生。然后創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境，老師打算給每張課桌的這條邊上裝一個(gè)遮擋條，可當(dāng)把大家測(cè)量的結(jié)果逐個(gè)告訴工人叔叔時(shí)，他卻是滿(mǎn)頭問(wèn)號(hào)，你知道為什么嗎？學(xué)生交流后發(fā)現(xiàn)，大家用來(lái)測(cè)量課桌邊的物品不同，因此測(cè)得的結(jié)果也不同，所以叔叔不知道該做多長(zhǎng)的遮擋條。只有規(guī)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，才能得到統(tǒng)一的結(jié)果。于是，學(xué)生展開(kāi)了第二輪熱烈地討論。“測(cè)量線(xiàn)段長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)該長(zhǎng)什么樣子呢？像筆袋一樣厚厚的？像數(shù)學(xué)書(shū)一樣大大的？還是像小棒一樣細(xì)細(xì)的？”通過(guò)交流，學(xué)生達(dá)成一致：測(cè)量長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該和線(xiàn)段長(zhǎng)得一樣。隨后教師出示了1厘米的小棒，并介紹這根小棒的長(zhǎng)度就是1厘米，厘米是一個(gè)長(zhǎng)度單位。通過(guò)課前復(fù)習(xí)，使學(xué)生感受到線(xiàn)段是有長(zhǎng)短的，但長(zhǎng)得多、短一些等詞語(yǔ)只是比較籠統(tǒng)、模糊的描述。而3把尺、2個(gè)筆袋、25塊橡皮等雖然比較具體，但對(duì)每個(gè)人而言，尺、筆袋、橡皮的長(zhǎng)短是不同的，無(wú)法進(jìn)行交流和比較。如何使大家測(cè)量出來(lái)的長(zhǎng)度具有可比性呢？學(xué)生很自然地聯(lián)想到需要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，而1厘米就是這個(gè)“中間量、比較物”。同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷探討“測(cè)量長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)什么樣”的過(guò)程，也為后續(xù)學(xué)習(xí)面積、體積、角度度量標(biāo)準(zhǔn)做好經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。片段二：建立概念清晰的表象教師把1厘米拿在手里讓學(xué)生遠(yuǎn)觀，并談?wù)劯惺?。學(xué)生覺(jué)得1厘米實(shí)在太短了，看不清。于是老師給每位學(xué)生準(zhǔn)備了1根1厘米的小棒，讓學(xué)生近距離觀察，交流感受。學(xué)生得出1厘米很短，所以量較短物體的長(zhǎng)度時(shí)，可以用厘米做單位。然后安排了學(xué)生用手比劃1厘米，閉上眼睛想象1厘米，身邊尋找1厘米，辨別作業(yè)紙上哪條線(xiàn)段的長(zhǎng)度大約1厘米等活動(dòng)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)帶著數(shù)學(xué)的眼光去觀察自己周?chē)鷷r(shí)，身邊的1厘米還真不少。橡皮的厚度大約是1厘米，小朋友們的食指寬度大約是1厘米，方格本上小方格的一條邊長(zhǎng)1厘米，訂書(shū)釘?shù)膶挾却蠹s是1厘米，學(xué)具盒中小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，小正方體的一條邊也是長(zhǎng)1厘米……1厘米的長(zhǎng)度對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常抽象的，只有充分調(diào)動(dòng)眼、手、腦等多種感官協(xié)同作用，才能讓學(xué)生在多樣的體驗(yàn)活動(dòng)中積淀這種感覺(jué)，逐步建立正確而清晰的1厘米表象。在尋找身邊1厘米的活動(dòng)時(shí)，教師特意在諸多學(xué)具中放了一個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形和一個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，將面積單位和體積單位的模型滲透在長(zhǎng)度單位教學(xué)的點(diǎn)滴片段中，為后續(xù)度量知識(shí)的生長(zhǎng)在學(xué)生的潛意識(shí)內(nèi)留下痕跡。1.生長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)，感悟度量的“有限可加性”在教學(xué)中，如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)長(zhǎng)度單位的測(cè)量呢？通過(guò)教師示范、課件演示等方式確實(shí)能在最短的時(shí)間內(nèi)教給學(xué)生測(cè)量的方法，但那只是一種外顯的機(jī)械性的操作技能，這樣的操作僅僅停留在模仿層面。度量的本質(zhì)是思想而非技能，長(zhǎng)度單位的學(xué)習(xí)是探索而不是模仿。我們不僅要讓學(xué)生知道如何量，還要讓學(xué)生知道為什么要這樣量？只有理解了技能的道理，才能掌握技能，熟練技能。片段三：理解測(cè)量長(zhǎng)度的本質(zhì)在學(xué)生對(duì)于1厘米有了初步認(rèn)識(shí)后，教師讓學(xué)生估計(jì)作業(yè)紙上線(xiàn)段的長(zhǎng)度，然后小組合作，用手中的1厘米小棒擺一擺、量一量，驗(yàn)證自己的估計(jì)。學(xué)生將1厘米的小棒收尾相接連在一起，發(fā)現(xiàn)正好擺了4根1厘米，由此聯(lián)想到4個(gè)1厘米就是4厘米。教師追問(wèn)：有測(cè)出不一樣長(zhǎng)度的嗎？所有學(xué)生的答案都一致。隨后，教師提高挑戰(zhàn)難度，請(qǐng)學(xué)生就用自己手里的1根小棒測(cè)量紙條的長(zhǎng)度。由于只有1根小棒，為了便于測(cè)量，有學(xué)生想到通過(guò)每量1厘米做一個(gè)記號(hào)的方式來(lái)輔助測(cè)量，從而量出紙條的長(zhǎng)度是5厘米。老師讓學(xué)生想一想，借助這樣的方法，如果測(cè)量更長(zhǎng)的紙條，量著量著，不知不覺(jué)中就生成了厘米尺。教師適時(shí)介紹厘米尺上的刻度線(xiàn)、刻度0、其他刻度以及cm等知識(shí)。接著讓學(xué)生在厘米尺上找一找，刻度幾到刻度幾是1厘米。通過(guò)交流反饋，學(xué)生發(fā)現(xiàn)尺上相鄰兩個(gè)數(shù)之間的距離都是1厘米。尺就是由許許多多1厘米組成的，所以可以用它來(lái)測(cè)量物體的長(zhǎng)度。片段四：掌握測(cè)量長(zhǎng)度的方法有了對(duì)測(cè)量長(zhǎng)度本質(zhì)的理解，學(xué)生測(cè)量線(xiàn)段長(zhǎng)度的方法就非常多樣化。學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以從刻度0開(kāi)始測(cè)量，也可以從任意刻度開(kāi)始測(cè)量，即使是一把斷尺也能測(cè)量出線(xiàn)段準(zhǔn)確的長(zhǎng)度，因?yàn)橹灰芸闯鏊鶞y(cè)線(xiàn)段包含了幾個(gè)1厘米，就能知道線(xiàn)段長(zhǎng)幾厘米。通過(guò)估線(xiàn)段長(zhǎng)度、量線(xiàn)段長(zhǎng)度、量紙條長(zhǎng)度、制作厘米尺四個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生理解度量標(biāo)準(zhǔn)相同了，所有度量結(jié)果也相同。用尺測(cè)量長(zhǎng)度實(shí)際就是用厘米去測(cè)量長(zhǎng)度，是長(zhǎng)度單位的疊加，是有限可加性的體現(xiàn)。學(xué)生在感受度量本質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的抽象性和結(jié)構(gòu)性，積累度量活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。1.豐盈體驗(yàn)，緊扣度量的“運(yùn)動(dòng)不變性”“運(yùn)動(dòng)不變性”是指任何度量單位的平移、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)都不會(huì)引起物體度量的“數(shù)”的變化。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，運(yùn)動(dòng)不變性的理解往往要難于有限可加性。學(xué)生在認(rèn)識(shí)1厘米后，對(duì)長(zhǎng)度單位的理解會(huì)受一些負(fù)遷移的生活經(jīng)驗(yàn)影響，譬如學(xué)生往往會(huì)覺(jué)得老師尺子上的1厘米比自己尺子上的1厘米，或者小棒的1厘米要長(zhǎng)。因此，在“認(rèn)識(shí)厘米”這一課中，感悟度量的運(yùn)動(dòng)不變性是必不可少的環(huán)節(jié)。片段五：理解度量的運(yùn)動(dòng)不變性當(dāng)學(xué)生掌握了測(cè)量長(zhǎng)度的方法，并測(cè)量出同一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度后，教師要求學(xué)生把各自的尺都舉起來(lái)給老師看看，并提問(wèn)：大家的尺各式各樣，為什么量出的結(jié)果都一樣呢？學(xué)生交流后發(fā)現(xiàn)，大家的尺雖然不一樣，但大家尺上的1厘米都是同樣長(zhǎng)的，所有量出的線(xiàn)段長(zhǎng)度相等。教師拿出米尺繼續(xù)追問(wèn)：老師尺上的1厘米和你們尺上的1厘米一樣長(zhǎng)嗎？個(gè)別學(xué)生略有遲疑，于是老師讓學(xué)生用自己尺上的1厘米和老師尺上的1厘米比一比。通過(guò)比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)老師的尺雖然很長(zhǎng)，但老師尺上1厘米和自己尺上的1厘米也是一樣長(zhǎng)的。全課回顧總結(jié)環(huán)節(jié)呼應(yīng)課始情境，老師讓學(xué)生測(cè)量桌面短邊的長(zhǎng)度，并讓學(xué)生想一想，現(xiàn)在工人叔叔是否清楚要制作多長(zhǎng)的遮擋條了嗎？為什么？學(xué)習(xí)了這節(jié)課，你有什么想說(shuō)的？學(xué)生深切地感受到統(tǒng)一了測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)論在何時(shí)何地，都能準(zhǔn)確地進(jìn)行交流、比較，為日常工作、生活帶來(lái)便捷。通過(guò)比較和想象，學(xué)生體會(huì)到1厘米作為一個(gè)測(cè)量長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)，不會(huì)因?yàn)槌咦拥男螤畈煌?、長(zhǎng)短不同而改變，老師的尺子之所以長(zhǎng)，只是它所包含的1厘米個(gè)數(shù)比較多而已。同時(shí)1厘米是全世界公認(rèn)的長(zhǎng)度單位，測(cè)量對(duì)象、工具的移動(dòng)或者地域的變化都不會(huì)影響測(cè)量的結(jié)果。借助一系列的體驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生有效參與度量單位的正確建構(gòu)過(guò)程。度量的教學(xué)貫穿了整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而“認(rèn)識(shí)厘米”恰是感悟度量本質(zhì)的基石。在后續(xù)的教學(xué)中，還將縱向溝通長(zhǎng)度、面積、體積單位的聯(lián)系，橫向聯(lián)結(jié)