少投影數(shù)的等離子體圖像重建

少投影數(shù)的等離子體圖像重建

1全息層析技術(shù)模擬多投影數(shù)的光學(xué)層析光學(xué)層析技術(shù)（os）是一種從3d場分布參數(shù)中重新排序和重建場分布的技術(shù)。它在熱物理量測量、等離子體診斷等方面已顯示出極大的優(yōu)越性。到目前為目止,各種光學(xué)層析技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用方面都有其局限性。例如光束偏轉(zhuǎn)法需要測量對象進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和移動掃描,它能應(yīng)用于穩(wěn)態(tài)場測量,但不能適用于瞬態(tài)場測量。全息層析技術(shù)能進(jìn)行物理量的瞬態(tài)測量,若采用卷積反投影算法或傅里葉重建算法則它具有較高精度,但需要獲得多方向投影數(shù)據(jù)。而在光學(xué)層析測量中,由于裝置成本和復(fù)雜性原因,獲取的投影數(shù)據(jù)往往是很有限的,因此該方法受到極大限制。從光學(xué)層析實(shí)用性出發(fā),目前正在向少投影數(shù)和有限視角方向發(fā)展。少投影數(shù)的光學(xué)層析算法一般是基于級數(shù)展開的迭代算法,包括:代數(shù)迭代重建算法(ART)、同時迭代重建算法(SIRT)、乘性代數(shù)重建算法(MART)、聯(lián)合代數(shù)重建算法(SART)等,每種算法都有它的優(yōu)缺點(diǎn)。本文提出一種新穎的基于最大熵準(zhǔn)則和最優(yōu)化原理的光學(xué)層析算法(MECT),數(shù)值模擬表明,該算法在少投影數(shù)情況下具有相當(dāng)高的重建精度,與代數(shù)迭代重建算法相比具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。作為應(yīng)用實(shí)例,結(jié)合譜線絕對強(qiáng)度法,對電弧等離子體溫度場進(jìn)行了三維分布測量。2等離子體溫度分布的計(jì)算熱等離子體溫度場的診斷有接觸式和非接觸式測量兩類。而接觸式測量會干擾被測量場的分布,而且測量探頭難于忍受等離子體的高溫,所以常采用非接觸式的光譜方法。所謂光譜方法就是測量熱等離體的譜線強(qiáng)度、連續(xù)譜強(qiáng)度或譜線寬度等,再通過某些關(guān)系式求得所需的熱力學(xué)參量場。電弧等離子體譜線發(fā)射系數(shù)可表示為fν=hν4πAulgunz(Τ)exp(-EukΤ),(1)它是等離子體溫度的強(qiáng)函數(shù),其中h為普朗克常量,ν為譜線頻率,Aul為愛因斯坦躍遷幾率,gu、Eu分別為能級的統(tǒng)計(jì)權(quán)重和能量,z(T)為配分函數(shù)。以上參量均為原子常數(shù),可通過查表或計(jì)算作用已知量。如果等離子體滿足局域熱力學(xué)平衡條件,則可由玻耳茲曼分布和沙哈方程求得粒子數(shù)密度n。因此只要知道譜線發(fā)射系數(shù)fν,就可通過(1)式求得等離子體溫度分布。而測量儀器只能測出譜線強(qiáng)度,它與發(fā)射系數(shù)的關(guān)系如圖1所示,且有Ιν(t,θ)=+∞∫-∞fν(x,y)ds.(2)通過測量不同角度的譜線強(qiáng)度,利用光學(xué)層析算法可重建發(fā)射系數(shù)的三維分布,進(jìn)而可得到等離子體場溫度的分布,這就是光譜絕對強(qiáng)度法的原理。3發(fā)射系數(shù)源函數(shù)從數(shù)學(xué)角度說,源函數(shù)的重建問題可歸結(jié)于拉東(Radon)逆變換即從投影數(shù)據(jù)重建圖像。在圖1中,譜線強(qiáng)度I是發(fā)射系數(shù)f(x,y)沿坐標(biāo)軸s的投影數(shù)據(jù)。笛卡兒坐標(biāo)系(t,s)是基本坐標(biāo)系(x,y)旋轉(zhuǎn)θ得到的。如投影角度數(shù)很少,則重建發(fā)射系數(shù)將是一個不確定性問題,而最大熵準(zhǔn)則是解決這個問題的好方法。它的定義如下:通過使?(f)最大,則可得到最可能的f(x,y)分布。利用拉格朗日乘子法可解決約束最優(yōu)化問題。構(gòu)建優(yōu)化函數(shù)如下:Γ(f)=?(f)-J∑jλj(s)Δs[Ιj(s)-∫f(x,y)dt],(4)λj為拉格朗日乘子,Δs為坐標(biāo)間隔[sm,sm+1],當(dāng)Δs→0,可得Γ(f)=?(f)-J∑j∫dsλj(s)[Ιj(s)-∫f(x,y)dt],(5)上式的第三項(xiàng)可寫成∫dsλj(s)∫f(x,y)dt=?λj(s)f(x,y)dxdy=?λj(xcosθj+ysinθj)f(x,y)dxdy,(6)積分變量的轉(zhuǎn)換運(yùn)用了雅可比行列式等于1。優(yōu)化函數(shù)對f求導(dǎo)可得-ln(f)-1+J∑jλj(xcosθj+ysinθj)=0,(7)則有f(x,y)=∏jΜj(xcosθj+ysinθj).(8)式中Μj(xcosθj+ysinθj)=exp[λj(xcosθj+ysinθj)-1/J],(9)式中J為投影方向總數(shù)。把(8)式代入(2)式中,則可得計(jì)算Mj的迭代公式:Μ(i+1)j=Ιj∫ds∏k≠jΜ(i)j[tcos(θj-θk)-ssin(θj-θk)],j=1,2,3,??式中Ij表示各方向所測量得到的譜線強(qiáng)度,θj和θk為投影角度。特別地,當(dāng)只有兩個正交投影數(shù)據(jù)情況下,該重建算法表示為f(x,y)=Μ1(x)Μ2(y),(11)如果源函數(shù)能夠分解為互相正交的兩個函數(shù)之積,則可得到拉東逆變換的解析解,如果定義?f(x,y)dxdy=1,(12)則有f(x,y)=Ι1(y)ΤΙ2(x),(13)這樣,發(fā)射系數(shù)源函數(shù)可由兩個互相垂直的譜線強(qiáng)度投影數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。如果發(fā)射系數(shù)函數(shù)不具備對稱性,也不可分解為兩個正交函數(shù)相乘,則投影角度數(shù)目必須大于2,才能保證一定的重建精度。4計(jì)算機(jī)值的模擬和結(jié)果4.1模擬譜線強(qiáng)度圖像為了考察上述算法的可靠性與重建效果,選用單峰余弦函數(shù)及三峰任意高斯函數(shù)進(jìn)行發(fā)射系數(shù)的數(shù)值模擬。單峰余弦函數(shù)如圖2所示,代表的是光滑、非對稱且在區(qū)域邊緣梯度趨于零的場分布,其表達(dá)式如下:{f(x,y)=0.25{1-cos[2π(x+0.5)4/5]}{1-cos[2π(y+0.5)2/3]},|x,y|<0.5,f(x,y)=0|x,y|≥0.5,(14)三峰隨機(jī)分布高斯函數(shù)如圖3所示,代表多相任意的自由電弧火焰分布情況,表達(dá)式如下:f(x,y)=∑i=13ciexp[-4ln2ai2(x-x0i)2-4ln2bi2(y-y0i)2],(15)c1=c2=2c3=1,a1=a2=0.4a3=0.2,b1=2b3=0.4,b2=0.5;x01=x03=0.4,x02=-0.3,y01=0.4,y02=0,y03=-0.3,?1=?3=45°,?2=0°.以上發(fā)射分布經(jīng)辛普生數(shù)值線積分,可得到各個投影方向的模擬譜線強(qiáng)度數(shù)據(jù)Ij。為了考查噪聲的影響,分三種情況討論重建結(jié)果:無噪聲,30dB噪聲,20dB噪聲。信噪比按下式定義:RSΝ=10lg(∑i=1nΙi2/∑i=1nI-i2),(16)式中I為模擬譜線強(qiáng)度數(shù)據(jù),I-為噪聲引起的強(qiáng)度誤差.i=1,2,…,n為各個投影方向的射線條數(shù)。定義三種重建誤差:1)平均相對誤差α=∑m,n|f(m,n)-R(m,n)|fmax×m×n,(17)2)最大相對誤差β=|f(m,n)-R(m,n)|maxfmax,(18)3)均方根誤差γ={∑m,n[f(m,n)-R(m,n)]2∑m,n[f(m,n)]2}1/2,(19)三種誤差定義從不同角度體現(xiàn)了重建誤差,從而客觀地反映了算法的重建精度,式中f(x,y)為原始發(fā)射系數(shù),R(m,n)為重建發(fā)射系數(shù)。采用兩種有限角方式進(jìn)行重建:A)兩個正交方向的投影角B)四個間隔為45°的投影角。4.2迭代重建的次數(shù)為了考察基于最大熵準(zhǔn)則及最優(yōu)化原理的層析新算法(MECT)的效果,選擇基于級數(shù)展開的代數(shù)迭代重建算法(ART)與之相比。重建誤差比較見表1、表2、表3。新光學(xué)層析算法重建結(jié)果如圖4、圖5所示(圖4為僅從兩個方向投影重建,圖5為從四個方向投影重建)。表中黑體的數(shù)據(jù)為相同情況下的最優(yōu)結(jié)果(代數(shù)迭代重建算法采用sinc基函數(shù)且以0初值進(jìn)行迭代,且松弛因子選擇為1)。為了確定兩種光學(xué)層析算法的合理迭代次數(shù),必須研究它們在不同噪聲及不同有限角投影方向情況下的收斂情況。研究表明,在單峰余弦場兩方向重建中,基于最大熵準(zhǔn)則及最優(yōu)化原理的最大熵層析算法及傳統(tǒng)的代數(shù)迭代重建算法在各種噪聲情況下均具有很好的收斂性。并且當(dāng)?shù)螖?shù)增大到一定數(shù)值時,再繼續(xù)增加迭代次數(shù)并不能改善重建精度(如圖6所示)。在三峰隨機(jī)分布高斯場四方向重建中,最大熵層析算法在各種噪聲情況下依然保持極好的收斂性,而代數(shù)迭代重建算法在較強(qiáng)噪聲(20dB)情況下出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象(如圖7所示)。此外,最大熵層析算法在大于兩個投影方向重建時,只須迭代極少的次數(shù)就可超過傳統(tǒng)的代數(shù)迭代重建算法迭代百次的重建效果,其優(yōu)勢極其明顯。因?yàn)榈螖?shù)少意味著重建所需時間很短,因此最大熵層析算法具有在線重建的極強(qiáng)潛力。根據(jù)圖6及圖7均方根誤差收斂曲線,本文所有重建計(jì)算中選擇迭代次數(shù)為:最大熵層析算法迭代6次;代數(shù)迭代重建算法迭代100次。結(jié)果表明,在絕大多數(shù)情況下,最大熵新算法均比傳統(tǒng)的代數(shù)迭代重建算法占優(yōu)。對于單峰場分布,只需二個角度投影數(shù)據(jù),新算法就能取得極佳效果(見圖4),而且增加投影角度反而造成重建精度的下降。對于多峰任意旋轉(zhuǎn)場分布,則投影角度數(shù)至少應(yīng)大于等于4(見圖5),才會取得較好的重建效果。5最大熵法測場密度重建采用譜線絕對強(qiáng)度法測量氬氣等離子體溫度場裝置原理如圖8所示,實(shí)驗(yàn)對象是一雙氣通道Tig焊弧,其電流為40A,電壓為18.5V,內(nèi)噴嘴直徑為5mm,噴出的氬氣流量為1.5L/min,弧長為1.4cm。由于所測場分布為單峰形狀,故采用基于最大熵準(zhǔn)則的新型層析算法所需投影方向數(shù)為2。每個方向譜線強(qiáng)度(投影數(shù)據(jù))的獲得裝置包括:成像透鏡、狹縫、單色儀、光電傳感器、平移機(jī)構(gòu)。由光學(xué)層析方法可重建發(fā)射系數(shù)場分布,然后可通過公式(1)重建電弧溫度場。實(shí)驗(yàn)中將電弧溫度場分