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磁場驅(qū)動下超磁致伸縮執(zhí)行器動力學(xué)特性的建模與仿真
0超磁致伸執(zhí)行器的數(shù)學(xué)模型超磁膨脹執(zhí)行器具有高能量密度、寬工作頻率、快速響應(yīng)、致密性、負載能力強等優(yōu)點。廣泛應(yīng)用于精確定位控制、聲音交換、振動控制、自動振動控制等場合。由于超磁速擴張材料的回波和非線性特性,需要對超磁速擴張執(zhí)行器實施封閉環(huán)控制戰(zhàn)略以提高控制精度。執(zhí)行器數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是確定閉合環(huán)控制正確、快速、有效和可靠的重要環(huán)節(jié)。執(zhí)行器數(shù)學(xué)模型的建立多直接采用材料的磁化過程模型作為執(zhí)行器的動態(tài)或靜態(tài)模型.Hall建立了超磁致伸縮執(zhí)行器的線性振動模型,他將磁致伸縮棒視為線性彈簧,建立了執(zhí)行器在復(fù)頻域中的阻抗模型,描述了耦合系數(shù)、負載磁導(dǎo)率的變化.Dapino等采用結(jié)構(gòu)-磁應(yīng)變耦合模型從能量角度對超磁致伸縮執(zhí)行器建立了完整的模型.Tan等將preisach算子耦合到常微分方程組中,建立了超磁致伸縮執(zhí)行器的動態(tài)preisach模型,證明了周期解的存在性,并給出了參數(shù)辨識方法和模型的適定范圍[3~5].Zhang等從磁彈性結(jié)構(gòu)力學(xué)角度,運用瑞利磁化曲線,描述并建立了超磁致伸縮棒的本構(gòu)關(guān)系模型.由于超磁致伸縮材料本身的非線性特性,材料特性易受環(huán)境影響,加之鐵磁材料磁化過程的復(fù)雜性,僅根據(jù)其磁化過程建立起的數(shù)學(xué)模型大都繁冗或精度較差.若將執(zhí)行器應(yīng)用于精密定位與精密控制場合,必須采用閉環(huán)控制策略,提高執(zhí)行器的控制精度.為提高模型精度,易于實施閉環(huán)控制策略,將磁化模型與動力學(xué)模型分別建立,兩部分同時采用閉環(huán)形式,并針對模型值與實際值的誤差實施逆補償,這樣可有效提高模型控制精度.本文研究分立建模方法,并進行數(shù)值仿真和實驗驗證.1對自感知超磁跟蹤裝置的結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析1.1terfenol-d棒的動力學(xué)建模超磁致伸縮執(zhí)行器從結(jié)構(gòu)動力學(xué)角度可以分為兩部分,一部分是超磁致伸縮棒受磁場磁化,產(chǎn)生軸向長度方向上的應(yīng)變,稱其為主動應(yīng)變部分;而執(zhí)行器的預(yù)緊機構(gòu),通常由普通彈簧、碟片彈簧、膜片彈簧,或是彈性膜片等彈性元件,以及位移傳遞機構(gòu)、底座等產(chǎn)生的應(yīng)變,為被動應(yīng)變部分.整個動力學(xué)系統(tǒng)的運動過程是由外部磁場作為激勵源,通過磁致伸縮棒的伸長縮短來引起整個系統(tǒng)的受迫振動.系統(tǒng)的動力學(xué)簡圖可描述為圖1.對于Terfenol-D棒,假設(shè)其為等截面均質(zhì)的粘彈性材料,在整個動力學(xué)系統(tǒng)中,Terfenol-D棒既作為主動應(yīng)變部件,自身沿軸向伸長縮短;同時本身也是彈性體,受預(yù)緊機構(gòu)及外部應(yīng)力的影響產(chǎn)生應(yīng)變.為了簡化動力學(xué)分析,假設(shè)外磁場提供的能量等效為外部力,稱其為磁-機械轉(zhuǎn)換等效力;同時也將棒的內(nèi)部受力等效為外部力.將Terfenol-D棒視為受外部應(yīng)力作用的均質(zhì)連續(xù)粘彈性棒材.視棒材具有Kelvin-Voigt阻尼.提取Terfenol-D棒的一個小微元做受力分析,如圖2所示.小段的左右兩端的縱向位移分別為u(x,t)與u(x+dx,t),兩者的差即為小段的縱向伸長量:伸長量除以這一小段的原來長度dx,即得到該小段的應(yīng)變量ε=?u(x,t)/x.Terfenol-D棒在該截面上的作用力為在該截面上所受粘彈性力,滿足下式式中:A為棒材的橫截面積,YM為彈性模量,cD為阻尼系數(shù),ε為應(yīng)變.在棒作伸縮運動時,棒材還受到磁-機械轉(zhuǎn)換等效力和預(yù)緊機構(gòu)提供的預(yù)緊力兩部分的合力,因此,將ε=?u(x,t)/x代入式(2)可得在任一時刻、任一截面上Terfenol-D棒所受的動態(tài)力為對小段質(zhì)量列出動力學(xué)方程即為其中ρ為材料密度,Ft為棒材橫截面上受靜態(tài)力與動態(tài)力的總和,Fmag為磁-機械轉(zhuǎn)化等效力,Fd為預(yù)緊機構(gòu)提供的預(yù)緊力與外負載的總和.將式(4)兩邊同時除以dx,則得到描述彈性桿縱向振動的運動方程在鐵磁理論中,當(dāng)外部應(yīng)力引起的磁晶各向異性占主導(dǎo)地位時,Fmag可由式(6)表示,即為鐵磁學(xué)中提到的二次疇轉(zhuǎn)模型.如果使用更通用的表示方法,在磁致伸縮棒受壓力不太大時,磁晶各向異性不由壓應(yīng)力主導(dǎo)時可應(yīng)用更一般的表達式,由方程(7)確定.1.2維波動方程假設(shè)Terfenol-D棒是均質(zhì)等截面積的粘彈性材料.因此,在執(zhí)行器工作時,Terfenol-D棒的運動即為一維連續(xù)粘彈性棒的振動.一維連續(xù)粘彈性棒的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程可由達朗貝爾(D′Alembert)原理建立,即滿足一維波動方程,邊界條件為左端固定,右端通過彈簧與固定點相連,外部強迫受力由外部驅(qū)動磁場和負載力聯(lián)合決定.此處由于只關(guān)心動力學(xué)系統(tǒng)而非磁化模型,忽略磁-機械轉(zhuǎn)換等效力的非線性轉(zhuǎn)化過程,取磁致伸縮磁場與位移曲線的線性段,以線性轉(zhuǎn)化代替,則有M=μrH.其中μr為相對磁導(dǎo)率,H為外磁場.取H=sin(2πωt)和一端部恒定載荷Fd=F0預(yù)緊力.建立Terfenol-D棒的偏微分方程及初、邊值條件如方程(8).cL為外部預(yù)緊機構(gòu)的結(jié)構(gòu)阻尼,KL為預(yù)緊結(jié)構(gòu)剛度.所建立的一維波動方程不是標(biāo)準形式,難求其解析解,因此只能求其數(shù)值解.對波動方程求數(shù)值解的方法可采用差分法、有限元法等數(shù)值方法,在此處采用有限元法求解.2偏微分方程的求解有限元法是一種將連續(xù)系統(tǒng)離散化的方法.此法是將研究對象劃分成一些既不重疊又無縫隙的微小區(qū)域.它是選擇各單元的交接點,即“節(jié)點”上的位移為廣義坐標(biāo),以內(nèi)插法由節(jié)點位移計算單元內(nèi)部任一點的位移.假定位移u(x,t)與各節(jié)點位移u1(t)、u2(t)之間具有最簡單的線性關(guān)系,即式中:φ1、φ2為線性系數(shù),對于單元內(nèi)不同的點,這些系數(shù)應(yīng)該不同,因此它們都應(yīng)該是x的函數(shù),于是對所有的單元來說,有式中的φ1(x)、φ2(x)既是線性插值系數(shù)又是位置的函數(shù),因此稱為形函數(shù).ui(t)為節(jié)點位移.采用有限元法對偏微分方程(8)進行求解,為了方便計算設(shè)節(jié)點基函數(shù)為有限元方程的空間基函數(shù),并設(shè)試探函數(shù)等于基函數(shù).節(jié)點基函數(shù)的插值形式示意圖如圖3,定義節(jié)點基函數(shù)為式(11).為了利用有限元法求取偏微分方程的解,首先建立方程(8)的虛功方程.在利用有限元法求解上面波動方程(8)時,需要對上面的高階導(dǎo)數(shù)項(這里是2階)進行降階變成虛功方程弱形式后再計算.一般采用分部積分公式來進行降階處理,然后求取方程的弱形式,最后疊加求解.求解的偏微分方程的弱形式如式(12).將方程(10)代入方程(12),則可將系統(tǒng)方程化為因此原偏微分方程可簡化為矩陣常微分方程(14).fmag和fd分別表示磁等效力和外部負載等效力.產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為式(15)、(16)、(17),外部驅(qū)動力的有限元計算為式(18).為求解二階微分方程(14),將二階微分方程降階化為一階微分方程組(19):其中,矩陣A為特征矩陣,矩陣B包含了外部磁彈性力和預(yù)緊力的總和.其中矩陣A、B如式(20).求解式(19)時為了滿足實時性要求,采用較簡單具有A穩(wěn)定性,且精度適中的梯形法求解,此方法對系統(tǒng)內(nèi)存容量需求最小,標(biāo)準的梯形差分法滿足迭代公式(21)3實驗方法和數(shù)據(jù)利用Matlab7.0編寫了有限元法解波動方程的求解程序,對系統(tǒng)的動力學(xué)過程進行了數(shù)值仿真,同時利用本實驗室開發(fā)的超磁致伸縮執(zhí)行器作測試實驗,分別對不同驅(qū)動頻率下超磁致伸縮執(zhí)行器動態(tài)過程的仿真值和實驗值進行了對比分析.在計算仿真程序中取參數(shù)如下:有限單元數(shù)N=32,時間區(qū)間t=0~5s,L=89mm,YM=60GPa;cD=3×106;ρ=9250kg/m3;A=0.000127m2;ML=0.5kg;cL=103;KL=2×106;Δt=0.0001s;H=10+5×103sin(2πωt)A/m.實驗室中超磁致伸縮執(zhí)行器的相關(guān)實驗參數(shù)如下:Terfenol-D棒長89mm,外負載0.5kg,驅(qū)動線圈匝數(shù)1500匝,對驅(qū)動線圈施加直流偏置電流3A,正弦交變電流幅值3A.執(zhí)行器端部位移檢測使用MicrotrakII激光測位移量測,數(shù)據(jù)采集由TDS3012數(shù)字示波器完成,采集后的數(shù)據(jù)通過RS232口導(dǎo)入計算機.由于作微進給、微位移應(yīng)用場合中角頻率多為6000r/min以下,分別取ω=1、5、10、20、50、80、100Hz進行對比分析.在數(shù)值模型和驗證實驗中,其實驗結(jié)果與仿真結(jié)果的比較如圖4.圖中由實線包絡(luò)的曲線是實驗數(shù)據(jù),空心圓點包絡(luò)的曲線為計算數(shù)據(jù).在實驗值中因數(shù)值模擬是從位移為0開始,所以會存在一條由初始0位置引出的長線;而實驗值采集的是執(zhí)行器進入穩(wěn)態(tài)后的軌跡,因此沒有從0位置到達穩(wěn)態(tài)的過渡長線.從實驗數(shù)據(jù)與計算結(jié)果的比較來看,實驗數(shù)據(jù)與計算結(jié)果吻合得較好,僅在80Hz頻率下工作誤差大約為10%,其他頻率下的誤差都低于10%.由比較結(jié)果可見,計算結(jié)果在1Hz驅(qū)動頻率下的包絡(luò)面積小于實驗數(shù)據(jù)包絡(luò)的面積,在5、10、20、50Hz頻率驅(qū)動下,低磁場部分吻合得較好,高磁場部分實驗曲線包絡(luò)的滯回曲線變尖,認為是由于ΔE效應(yīng)引起動力學(xué)系統(tǒng)彈性模量改變,彈性模量隨驅(qū)動磁場的增加而變大.在80、100Hz頻率驅(qū)動下,實驗曲線包絡(luò)的面積大于計算曲線包絡(luò)的面積,認為是由于系統(tǒng)的瑞利阻尼發(fā)生變化,瑞利阻尼的變化也是由棒的彈性模量變化引起的,因阻尼變大,能量損耗就會變大,就表現(xiàn)為實驗曲線包絡(luò)的面積也會隨之變大.誤差的引起還被認為是由于磁化模型建模在此處被采用線性近似,因為在實驗中對執(zhí)行器施加的磁場并不大,因此磁化模型的非線性特性及滯回特性并不大,可以近似認為驅(qū)動磁場與磁致伸縮滿足線性壓磁方程.但磁化過程中的非線性及滯回特性是必然存在的,因此會將誤差代入模型中.從數(shù)據(jù)的比較來看,計算模型在低于100Hz頻率范圍內(nèi)還是能較好地反映系統(tǒng)的動態(tài)特性.超磁致伸縮執(zhí)行器在應(yīng)用于微加工、微定位等場合時多工作在此頻段內(nèi).如果對超磁致伸縮執(zhí)行器應(yīng)用基于模型的控制策略,例如模型參考自適應(yīng)控制、魯棒控制、最優(yōu)化控制等,將系統(tǒng)中彈性模量的變化引入模型,同時引入較為精確的非線性磁化模型,這樣會縮小執(zhí)行器預(yù)期軌跡與實際軌跡的偏差,完全可以大幅提高超磁致伸縮執(zhí)行器的控制精度.4材料的磁致撕裂特性(1)磁致伸縮材料的ΔE效應(yīng)、彈性模量會隨著外負載和驅(qū)動磁場的變化而變化,隨著驅(qū)動磁場的增加,材料的彈性模
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