2023年中考數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)資料

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2023年中考數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)：有理數(shù)

一、正數(shù)和負(fù)數(shù)

正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

負(fù)數(shù)：比0小的數(shù);正數(shù)：比0大的數(shù)。

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

☆留意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù);當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù);當(dāng)a表示0時(shí)，-a仍是0。強(qiáng)調(diào)：帶正號的數(shù)不肯定是正數(shù)，帶負(fù)號的數(shù)不肯定是負(fù)數(shù)。

具有相反意義的量

若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量。習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù).

二、有理數(shù)

有理數(shù)的概念

(1)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))

(2)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

(3)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

☆留意：①π是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。

數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。

留意：數(shù)軸是一條向兩端無限延長的直線;

原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不行;

數(shù)軸的三要素都是依據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的，同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一;

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

全部的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點(diǎn)來表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)正方向的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)負(fù)方向的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。

相反數(shù)

(1)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù);0的相反數(shù)是0;任何一個(gè)有理數(shù)都有相反數(shù)

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0，即：若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0;互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且與原點(diǎn)的距離相等。

(3)在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號“-”，就得到了這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a的相反數(shù)是-a。

(4)多重符號的化簡

多重符號的化簡規(guī)律：“+”號的個(gè)數(shù)不影響化簡的結(jié)果，可以直接省略;“-”號的個(gè)數(shù)打算最終化簡結(jié)果;即：“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。

肯定值

(1)肯定值的幾何定義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做a的肯定值，記作：|a|

(2)求肯定值：正數(shù)的肯定值是它本身，0的肯定值是0，負(fù)數(shù)的肯定值是它的相反數(shù);可用字母表示為：①假如a0，那么|a|=a;②假如a0，那么|a|=-a;③假如a=0，那么|a|=0。

可歸納為①：a≥0時(shí)，|a|=a(非負(fù)數(shù)的肯定值等于本身;肯定值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。)②a≤0時(shí)，|a|=-a(非正數(shù)的肯定值等于其相反數(shù);肯定值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)

(3)若幾個(gè)數(shù)的肯定值的和等于0，則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0)

有理數(shù)比大小

(1)利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小

在以向右為正方向的數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;

正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù);

(2)數(shù)軸上特別的最大(小)數(shù)

最小的自然數(shù)是0，無最大的自然數(shù);

最小的正整數(shù)是1，無最大的正整數(shù);

最大的負(fù)整數(shù)是-1，無最小的負(fù)整數(shù)

(3)利用肯定值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，肯定值大的反而小;

(4)大數(shù)-小數(shù)0，小數(shù)-大數(shù)0。

三、有理數(shù)的加、減法運(yùn)算

有理數(shù)加法

(1)同號兩數(shù)相加，取相同符號，并且把肯定值相加

(2)異號兩數(shù)相加，取肯定值大的數(shù)的符號，并且用較大的肯定值減去較小的肯定值

(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0

☆

加法交換律：兩個(gè)有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，a+b=b+a

加法結(jié)合律：三個(gè)有理數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相加;或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再把結(jié)果與第一個(gè)數(shù)相加，和不變，(a+b)+c=a+(b+c)

☆

(1)同號結(jié)合相加(正數(shù)+正數(shù)、負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù))

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)結(jié)合相加(把相加結(jié)果為零的數(shù)結(jié)合相加)

(3)幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加，將同分母的先結(jié)合相加

(4)將求和后為整數(shù)的數(shù)先結(jié)合相加

(5)幾個(gè)帶分?jǐn)?shù)相加，可將整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合相加

☆在一個(gè)求和的式子中，通?？梢园选?”省略不寫，同時(shí)去掉加數(shù)的括號

有理數(shù)的減法

依據(jù)相反數(shù)的定義，減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計(jì)算。引入相反數(shù)的之后，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算。

四、有理數(shù)的乘、除法運(yùn)算

有理數(shù)乘法

(1)異號兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù)，并把肯定值相乘;同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，并把肯定值相乘。

(2)任何數(shù)與0相乘都得0

☆有理數(shù)的乘法運(yùn)算定律

乘法交換律：兩個(gè)有理數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,它們的積不變。a×b=b×a

乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再和另外一個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘,再和另外一個(gè)數(shù)相乘，積不變。a×b×c=a×(b×c)

乘法安排律：兩個(gè)數(shù)的和(差)同一個(gè)數(shù)相乘,可以先把兩個(gè)加數(shù)(減數(shù))分別同這個(gè)數(shù)相乘,再把兩個(gè)積相加(減),積不變。a×(b+c)=a×b+a×c

倒數(shù)

(1)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù);留意：0沒有倒數(shù);

(2)若a,b互為倒數(shù)，則ab=1;

(3)求倒數(shù)：求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)就是用1去除以這個(gè)數(shù)。

①求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可;

②求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置;

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不轉(zhuǎn)變這個(gè)數(shù)的性質(zhì));

④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1;

有理數(shù)除法

(1)除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把肯定值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算

(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最終求出結(jié)果。

(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，假如有括號先計(jì)算括號里的，假如無括則根據(jù)‘先乘除，后加減’的挨次進(jìn)行，同級運(yùn)算中，按前后挨次從左到右依次運(yùn)算，誰在前先算誰。

五、有理數(shù)乘方

乘方的概念：求n個(gè)相同因數(shù)的乘積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)。

記作：an,在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an叫做冪

乘方的性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。

(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)次冪仍互為相反數(shù)，偶數(shù)次冪相等。

(4)任何一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)。

有理數(shù)的混合運(yùn)算

做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)留意以下運(yùn)算挨次：

(1)先乘方，再乘除，最終加減;

(2)同級運(yùn)算中，按前后挨次從左到右依次運(yùn)算，誰在前先算誰。

(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。

科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)肯定