高等數(shù)學(xué)AI-III教學(xué)大綱

高等數(shù)學(xué)AI-III教學(xué)大綱課程名稱：高等數(shù)學(xué)AI---AIII

課程英文名稱：AdvancedMathematicsAI---AIII

學(xué)時/學(xué)分：256/12.0（理論講授192學(xué)時，習題課64學(xué)時）課程類別：普通教育課程課程性質(zhì)：必修課適用專業(yè)：計算機、軟件、物理、材料、電子等專業(yè)開課學(xué)期：第Ⅰ---Ⅲ學(xué)期考核方式：考試（閉卷）一、本課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)高等數(shù)學(xué)課程是高等學(xué)校理工科各專業(yè)學(xué)生必修的一門重要的基礎(chǔ)理論課。通過本課程的學(xué)習，使學(xué)生獲得微積分（包括無窮級數(shù)和微分方程）的基本概念、理論和方法，為學(xué)習后續(xù)課程和進一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定基礎(chǔ)。通過本課程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。目的在于為培養(yǎng)我國需要的高素質(zhì)創(chuàng)新人才，滿足社會的需要服務(wù)。二、本課程教學(xué)基本要求1．函數(shù)

極限

連續(xù)

理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)的表示法；會畫簡單的分段函數(shù)的圖形；會建立簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式。理解函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性和奇偶性；了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系（定義域、值域、圖形）；理解復(fù)合函數(shù)的概念；掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；理解初等函數(shù)的概念。理解極限的概念；理解函數(shù)的左、右極限的概念；了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。掌握極限的性質(zhì)和四則運算法則；掌握判斷極限存在的兩個準則，會用它們求極限；熟練掌握利用兩個重要極限求極限的方法。理解無窮小和無窮大的概念；掌握無窮小的比較方法，會利用等價無窮小代換求極限；掌握無窮小和無窮大的關(guān)系。理解函數(shù)的連續(xù)（一點處、區(qū)間）的概念；了解一點處左、右連續(xù)的概念；了解函數(shù)在一點連續(xù)和極限存在的關(guān)系；會判斷函數(shù)間斷點及其類型；掌握初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)的性質(zhì)。理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理、最值定理和介值定理，會在實際問題中應(yīng)用這些性質(zhì)。了解一致連續(xù)的概念。2.一元函數(shù)微分學(xué)理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線在一點處的切線、法線方程；掌握可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系；掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；掌握函數(shù)的四則運算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解左、右導(dǎo)數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；掌握隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，會對數(shù)求導(dǎo)法。理解微分的概念；掌握微分的運算法則，會求函數(shù)的微分；掌握可微與可導(dǎo)的關(guān)系；了解一階微分形式不變性。理解Rolle（羅爾）定理、Lagrange（拉格朗日）中值定理；了解Cauchy（柯西）中值定理；掌握用L’Hospital（洛必達）法則求未定式極限的方法；理解Taylor（泰勒）定理。理解函數(shù)極值的概念；掌握用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法；掌握求函數(shù)最值的方法和應(yīng)用；會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和求函數(shù)圖形的拐點；會求平面曲線的水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線；會描繪簡單函數(shù)的圖形；理解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。3．一元函數(shù)積分學(xué)理解原函數(shù)和不定積分的概念；掌握不定積分的基本公式；理解定積分的概念；掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分的中值定理；理解定積分的幾何意義；了解函數(shù)可積的充分條件。理解變上限定積分所定義的函數(shù)的性質(zhì)，會對其求導(dǎo)數(shù)；掌握微積分基本定理—Newton-Leibniz公式；掌握換元積分法和分部積分法；會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。理解兩種反常積分的概念；會計算反常積分，會判斷反常積分的收斂性。掌握微元法；掌握用定積分求一些幾何量和物理量的應(yīng)用（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積、功、引力、壓力等）。4．向量代數(shù)與空間解析幾何理解空間直角坐標系；理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向數(shù)、方向余弦和向量在坐標軸上的投影；掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積和混合積）。理解平面方程和直線方程的概念；會求平面方程和直線方程；會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角；會求點到平面、點到直線的距離；會判斷平面與平面之間的位置關(guān)系（平行、垂直、）；會判斷直線與直線之間的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）；會判斷平面與直線之間的位置關(guān)系（平行、垂直、直線在平面上）。理解曲面方程和曲線方程的概念；了解常用的二次曲面方程及其圖形；會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般式方程；了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。5．多元函數(shù)微分學(xué)理解多元函數(shù)的概念；理解n維點集特別是平面點集的概念；理解二元函數(shù)的幾何意義；了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念；理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念；掌握偏導(dǎo)數(shù)和全微分的求法；掌握多元復(fù)合函數(shù)一、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法；掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。了解全微分存在的充分條件和必要條件；理解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其求法；了解向量值函數(shù)及其微分法。了解空間曲線的切線和法平面及曲面的法線和切平面的概念，會求它們的方程；了解n元函數(shù)的二階泰勒公式和二元函數(shù)的n階泰勒公式；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念；掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件和二元函數(shù)極值存在的充分條件；會求二元函數(shù)極值；會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值；會求多元函數(shù)的最值，并會解決一些應(yīng)用問題。6．多元函數(shù)積分學(xué)理解二重積分的概念；了解重積分的性質(zhì)和二重積分中值定理；掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）；會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）；了解重積分的變量替換公式；理解第一類曲線、曲面積分的概念，了解它們的性質(zhì)，掌握它們的計算方法；了解幾何形體上積分的概念。理解第二類曲線、曲面積分的概念，了解它們的性質(zhì)，掌握它們的計算方法；了解兩類曲線積分之間的關(guān)系；了解兩類曲面積分之間的關(guān)系；掌握格林公式；；了解平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；會求全微分的原函數(shù)；掌握高斯公式；了解斯托克斯公式；了解散度和旋度的概念；了解場論的初步知識。了解含參變量積分確定函數(shù)的概念和性質(zhì)。了解反常重積分的概念。了解Γ函數(shù)和B函數(shù)的定義和性質(zhì)。會用重積分和兩類線面積分求一些幾何量與物理量（體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力功和流量等）。7．無窮級數(shù)理解數(shù)項級數(shù)收斂和發(fā)散的概念；理解收斂級數(shù)和的概念；掌握級數(shù)收斂的必要條件和級數(shù)收斂的基本性質(zhì)；掌握幾何級數(shù)與p-級數(shù)收斂與發(fā)散的條件；掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法，會根值法和積分判別法；掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法；了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念。理解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；掌握冪級數(shù)運算規(guī)則，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)；了解函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的充分必要條件；掌握和的Maclaurin展式，會利用它們將一些函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。理解Fourier級數(shù)的概念；了解Fourier級數(shù)的收斂定理；了解三角函數(shù)系的正交性；掌握將以２π為周期的函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的方法；了解將以2l為周期的函數(shù)展開成Fourier級數(shù);會將函數(shù)展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。８．常微分方程理解微分方程及其解、階、通解、初始條件、初值問題和特解等概念；掌握可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程和全微分方程；會用簡單的變量代換解某些一階微分方程；會用降階法解高階微分方程，形如：.。理解線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)；了解常數(shù)變易法；掌握二階常系數(shù)齊次線性方程的解法；會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；會解Euler方程；會應(yīng)用微分方程解決一些實際問題。

三、本課程的教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配

1、函數(shù)的極限與連續(xù)性

(20+6學(xué)時）2、一元函數(shù)微分學(xué)

(28+10學(xué)時）3、一元函數(shù)積分學(xué)

(30+12學(xué)時）4、向量代數(shù)與空間解析幾何

(10+4學(xué)時）5、多元函數(shù)微分學(xué)

(28+8學(xué)時）6、多元函數(shù)積分學(xué)

(34+10學(xué)時）7、無窮級數(shù)

(22+6學(xué)時）8、微分