層次分析中新元素的強(qiáng)保序條件

層次分析中新元素的強(qiáng)保序條件

1特征根排序、特征向量排序法以及其他無保序比在層次分析（ahp）中，新元素的序列分離是一個(gè)重要的研究主題。近年來，許多科學(xué)家對(duì)此進(jìn)行了探討和取得了一些重要的結(jié)果。例如，在參考文獻(xiàn)中，當(dāng)引入新元素時(shí)，保持現(xiàn)有元素的相應(yīng)分類權(quán)重的不變。在新元素介紹中，保持原始元素的相對(duì)權(quán)重不發(fā)生變化。然而，在當(dāng)前的決策過程中，新元素的引入往往不是一個(gè)組，而是一組。推廣了saaty的序列原理，并在統(tǒng)一參考下使用特征分類方法引入新元素時(shí)，保持新舊元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系（即強(qiáng)保護(hù)序列）的充分條件。條件改進(jìn)，證明添加的條件（cd）=max（cd）=max（cd）與保護(hù)性條件無關(guān)。此外，還使用自適應(yīng)向量分類方法（乘用新元素最小乘用法、梯度自適應(yīng)向量法、最小偏差法、廣義最小偏差法和混合最小二乘法）對(duì)評(píng)估矩陣的包序性進(jìn)行了驗(yàn)證，但這些條件只能驗(yàn)證矩陣評(píng)估矩陣的包序性，不能構(gòu)建評(píng)價(jià)矩陣的評(píng)價(jià)矩陣。因此，在一種對(duì)應(yīng)的序列法（對(duì)數(shù)最小二乘法、梯度自適應(yīng)向量法、最小差分法、廣義最小偏差法和最小混合二乘法）下，增加一組新元素后的強(qiáng)包序性條件。然而，在這項(xiàng)工作中，這項(xiàng)方法沒有應(yīng)用最廣泛，也沒有調(diào)整自適應(yīng)向量序列法。本文嘗試對(duì)特征向量排序法在增加一組新元素后的強(qiáng)保序性條件進(jìn)行研究,給出了一個(gè)簡(jiǎn)潔、實(shí)用的保序性定理.利用此定理,決策者可根據(jù)客觀實(shí)際情況及自己的主觀意愿構(gòu)造出具有保序性的判斷矩陣.2判斷矩陣及定理對(duì)于某一決策問題,設(shè)有n+m個(gè)方案,分為兩組進(jìn)行比較,得到兩組排序方案和權(quán)重,在保持各自的兩兩比較的情況下,把它們放在一起比較.設(shè)前n個(gè)元素的判斷矩陣為A=(aij)n×n,后m個(gè)元素的判斷矩陣為B=(bij)m×m,將n+m個(gè)元素放在一起比較,得到判斷矩陣A*=(a*ij)n+m,n+m,則有A*=[ACDB]A?=[ADCB].其中:C=(cij)n×m,D=(dji)m×n,cij=1/dji,i=1,2,…,n;j=n+1,n+2,…,n+m.即A*=[a11?a1nc1?n+1?c1?n+m??an1?anncn?n+1?cn?n+mdn+1?1?dn+1?nbn+1?n+1?bn+1?n+m??dn+m?1?dn+m?nbn+m?n+1?bn+m?n+m].A?=???????????????a11an1dn+1?1dn+m?1?????a1nanndn+1?n?dn+m?nc1?n+1cn?n+1bn+1?n+1bn+m?n+1?????c1?n+mcn?n+mbn+1?n+m?bn+m?n+m???????????????.設(shè)判斷矩陣A,B的排序向量分別為ω=(ω1?ω2???ωn)Τ?v=(v1?v2???vm)Τ.定理1在原有元素中加入一組新元素,同時(shí)保持兩組元素各自成對(duì)比較不變時(shí),得到的判斷矩陣A*的排序權(quán)值,保持它們各自原有權(quán)值之比的充要條件是λmax(DC)=λmax(CD),且CD和DC的主特征向量分別為A,B的主特征向量ω,v.文獻(xiàn)對(duì)此條件進(jìn)行了分析,證明了λmax(DC)=λmax(CD)是與保序性無關(guān)的,并得出下列定理:定理2在原有元素中加入一組新元素,同時(shí)保持兩組元素各自成對(duì)比較不變時(shí),得到的判斷矩陣A*的排序權(quán)值,保持它們各自原有權(quán)值之比的充要條件是CD和A有相同的主特征向量ω,且DC和B有相同的主特征向量v.文獻(xiàn)對(duì)定理1也作出了改進(jìn),并給出下面定理:定理3在原有元素中加入一組新元素,同時(shí)保持兩組元素各自成對(duì)比較不變時(shí),得到的判斷矩陣A*的排序權(quán)值,保持它們各自原有權(quán)值之比的充要條件是Cv=aω?Dω=bv?a＞0?b＞0?并且此時(shí)還有λA*為二次方程λ2-(λA+λB)λ+λAλB-ab=0的較大根.其中:λA,λB,λA*分別為A,B,A*的最大特征根;ω,v分別為對(duì)應(yīng)λA,λB的主特征向量.定理2和定理3從不同的角度給出了特征向量排序法在增加一組新元素后的強(qiáng)保序性條件,具有一定的理論價(jià)值,但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)只能對(duì)給出的判斷矩陣保序性進(jìn)行檢驗(yàn),而不能直接構(gòu)造具有保序性的判斷矩陣,因而實(shí)際意義并不突出.在下一節(jié)中,將給出一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的保序性條件,此條件彌補(bǔ)了這方面的缺陷.3cda的定義及相關(guān)結(jié)果定理4在原有元素中加入一組新元素,同時(shí)保持兩組元素各自成對(duì)比較不變時(shí),得到的判斷矩陣A*的排序權(quán)值,保持它們各自原有權(quán)值之比的充分條件是ci?n+j=kωivj.(1)其中:k>0;i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;ω=(ω1,ω2,…,ωn)T和v=(v1,v2,…,vm)T分別為判斷矩陣A,B的主特征向量.證明由條件ci?n+j=kωivj(k＞0;i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)可得CDω=[kω1v1kω1v2?kω1vmkω2v1kω2v2?kω2vm?kωnv1kωnv2?kωnvm]?[1kv1ω11kv1ω2?1kv1ωn1kv2ω11kv2ω2?1kv2ωn?1kvmω11kvmω2?1kvmωm]?[ω1ω2?ωn]=mn[ω1ω2?ωn]=mnω?DCv=[1kv1ω11kv1ω2?1kv1ωn1kv2ω11kv2ω2?1kv2ωn?1kvmω11kvmω2?1kvmωm]?[kω1v1kω1v2?kω1vmkω2v1kω2v2?kω2vm?kωnv1kωnv2?kωnvm]?[v1v2?vm]=mn[v1v2?vm]=mnv?即CDω=mnω,DCv=mnv,其中λmax(DC)=λmax(CD)=mn.因此,CD和A有相同的主特征向量ω;DC和B有相同的主特征向量v.由定理1的充分性即得定理4成立.推論1判斷矩陣A引入一個(gè)新元素后強(qiáng)保序的充要條件是ci?n+1=kωi?k＞0?i=1?2???n.從定理4可知,只需知道原判斷矩陣A和導(dǎo)入新元素所構(gòu)成的判斷矩陣B及它們的主特征向量ω,v,就可根據(jù)式(1)構(gòu)造具有保序性的判斷矩陣A*.根據(jù)定理4及文獻(xiàn)中的強(qiáng)保序性條件可知,本文的結(jié)果不僅適用于不具有協(xié)調(diào)性的特征向量排序法,而且適用于所有具有協(xié)調(diào)性的排序方法(如:對(duì)數(shù)最小二乘法、梯度特征向量法、最小偏差法、廣義最小偏差法、混合最小二乘法、χ2法、廣義χ2法等),因而具有廣泛的應(yīng)用前景.性質(zhì)1設(shè)λA,λB,λA*分別為A,B,A*的最大特征根;ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,v=(v1,v2,…,vm)T,ω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n+m)T分別為對(duì)應(yīng)λA,λB,λA*的主特征向量,則ω,v,ω*三者之間的關(guān)系為ω*=(kωΤ?αvΤ)Τ.(2)其中:α=12m[λB-λA+√(λB-λA)2+4mn];ω*為未歸一化的主特征向量.從式(2)中可以看出,k取值越大,在原有元素中導(dǎo)入新元素之后,對(duì)應(yīng)于原有元素的權(quán)值越大,而對(duì)應(yīng)于新元素的權(quán)值則相對(duì)地減少;反之,k取值越小,在原有元素中導(dǎo)入新元素之后,對(duì)應(yīng)于原有元素的權(quán)值也越小,而對(duì)應(yīng)于新元素的權(quán)值則相對(duì)地增大.因此,參數(shù)k的取值取決于決策者對(duì)原有元素的重視程度,也即取決于決策者對(duì)新、舊元素的主觀偏好.利用文獻(xiàn)中給出的衡量判斷矩陣A的一致性程度的指標(biāo)公式C.Ι.(A)=1n(n-1)∑1≤i≤j≤n(aijωjωi+ajiωiωj-2)?易知:性質(zhì)2對(duì)于判斷矩陣A,B,A*(與性質(zhì)1中相同),設(shè)λA,λB,λA*分別為A,B,A*的最大特征根;ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,v=(v1,v2,…,vm)T,ω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n+m)T分別為對(duì)應(yīng)λA,λB,λA*的主特征向量;C.I.(A),C.I.(B),C.I.(A*)分別為判斷矩陣A,B,A*的一致性指標(biāo),則C.I.(A),C.I.(B),C.I.(A*)之間關(guān)系為1)C.Ι.(A*)=1(n+m)(n+m-1)×[n(n-1)C.Ι.(A)+m(m-1)C.Ι.(B)+mnβ]；2)C.Ι.(A*)≤C.Ι.(A)+C.Ι.(B)+β?其中β=α+1/α-2.特別地,若判斷矩陣A,B均為一致性判斷矩陣(即C.I.(A),C.I.(B)都為零),則判斷矩陣A*也是一致性的.4根據(jù)特征構(gòu)造判斷矩陣的主特征向量例1設(shè)對(duì)于某一決策問題,決策者對(duì)現(xiàn)有4個(gè)方案之間兩兩比較所得到的判斷矩陣和對(duì)后導(dǎo)入的3個(gè)新方案之間兩兩比較所得的判斷矩陣分別為A=[12471/21341/41/3121/71/41/21]?B=[1141121/41/21].利用特征向量排序法計(jì)算它們的主特征向量ω=(0.514677?0.295884?0.120683?0.068756)Τ?v=(0.474230?0.376397?0.149373)Τ.假設(shè)決策者根據(jù)實(shí)際情況及自己的偏好設(shè)定k=2,則根據(jù)定理4的條件構(gòu)造判斷矩陣其主特征向量為ω*=(0.3386925?0.1947116?0.0794178?0.0452461?0.16215439?0.12870216?0.05107540)Τ=(aωΤ?bvΤ)Τ.其中:a=0.6581,b=0.3419.故而符合定理4的結(jié)論,即判斷矩陣A*的排序權(quán)值,保持它們各自原有的權(quán)值之比.5強(qiáng)保序條件的