歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編50立體幾何與空間向量

1/3歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題50立體幾何與空間向量第二緝1．【2018年湖南預(yù)賽】在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接圓柱，則內(nèi)接圓柱全面積的最大值是_____.【答案】πR【解析】設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為Rsinα，則高位那么全面積為2π=2π=π=πR其中tanφ=12故最大值為πR故答案為：π2．【2018年廣西預(yù)賽】如圖，在正三棱柱A1B1C1?ABC中，AB=2，【答案】7【解析】由正三棱錐A1B1C1?ABC可得AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.在Rt△所以△DEF周長的最小值為7+23．【2018年安徽預(yù)賽】在邊長為1的長方體ABCD?A1B【答案】4?【解析】當(dāng)半徑最大時，小球與正方體的三個面相切.不妨設(shè)小球與過點(diǎn)D1的三個面相切.以D1為原點(diǎn)，D1C1、D再由r<12，得故答案為：4?4．【2018年山東預(yù)賽】在正四核錐S?ABCD中，已知二面角A?SB?D的正弦值為63，則異面直線SA【答案】60°【解析】如圖，設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為O，O在又因?yàn)锳C⊥面SBD，因此AC⊥SB，所以SB⊥面因此∠AEO即為二面角A?SB?D的平面角，從而sin∠AEO=設(shè)AB=a，SA=b，則在△SAB中，S△SAB由此得AE=ab2?a從而四棱錐各側(cè)面均為正三角形，則異面直線SA與BC所成的角為5．【2018年甘肅預(yù)賽】已知空間四點(diǎn)A,B,C,D滿足AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD，且AB=AC=AD=1,Q是三棱錐A?BCD的外接球上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)Q到平面BCD的最大距離是______．【答案】2【解析】將三棱錐A?BCD補(bǔ)全為正方體，則兩者的外接球相同．球心就是正方體的中心，記為O，半徑為正方體對角線的一半，即為32在正方體里，可求得點(diǎn)O到平面BCD的距離為36，則點(diǎn)Q到平面BCD的最大距離是36．【2018年天津預(yù)賽】半徑分別為6、6、6、7的四個球兩兩外切.它們都內(nèi)切于一個大球，則大球的半徑是________【答案】14【解析】設(shè)四個球的球心分別為A、B、C、D，則AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A、B、C、D兩兩連結(jié)可構(gòu)成正三棱錐.設(shè)待求的球心為X，半徑為r.，則由對稱性可知DX⊥平面ABC.也就是說，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知OA=43設(shè)OX=x，則AX=由于球A內(nèi)切于球X，所以AX=r-6即x2+48又DX=OD-OX=11-x，且由球D內(nèi)切于球X可知DX=r-7于是11?x=r?7②從①②兩式可解得x=4即大球的半徑為14.故答案為：147．【2018年河南預(yù)賽】一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體棱長的最大值為______．【答案】2【解析】因?yàn)樾≌拿骟w可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，所以小正四面體的棱長最大時，為大正四面體內(nèi)切球的內(nèi)接正四面體．記大正四面體的外接球半徑為R，小正四面體的外接球（大正四面體的內(nèi)切球）半徑為r，易知r=13R8．【2018年河北預(yù)賽】已知棱長3的正方體ABCD?A1B【答案】π【解析】由題意知只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況.由圖形的對稱性可知，圓柱的上底面必與過A點(diǎn)的三個面相切，且切點(diǎn)分別在AB1、AC、AD1上.設(shè)線段AB1上的切點(diǎn)為E，圓柱上底面中心為O1，半徑O9．【2018年河北預(yù)賽】若△A【答案】77π2【解析】由已知，四面體A-BCD的三組對棱的長分別是4、5、6.構(gòu)造長方體使其面對角線長分別為4、5、6，設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，外接球半徑為R，則x2+y2=4210．【2018年四川預(yù)賽】在三棱錐P?ABC中，三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=1、PB=2、PC=2.若點(diǎn)Q為三棱錐P?ABC的外接球球面上任意一點(diǎn)，則Q到面ABC距離的最大值為______.【答案】32【解析】三棱錐P?ABC的外接球就是以PA、PB、PC為長、寬、高的長方體的外接球，其直徑為2R=又cos∠BAC=15，從而sin∠BAC=故球心O到ABC從而，點(diǎn)Q到面ABC距離的最大值是3故答案為：311．【2018年浙江預(yù)賽】四面體P-ABC，PA=BC=6【答案】3【解析】將四面體還原到一個長方體中，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則a2+b12．【2018年遼寧預(yù)賽】四面體ABCD中，已知AB=2，【答案】1【解析】因?yàn)锽C2?A故答案為：113．【2018年江西預(yù)賽】四棱錐P?ABCD的底面ABCD是一個頂角為60°的菱形，每個側(cè)面與底面的夾角都是60°，棱錐內(nèi)有一點(diǎn)M到底面及各側(cè)面的距離皆為1，則棱錐的體積為______．【答案】83【解析】設(shè)菱形兩對角線AC、BD的交點(diǎn)為H，則PH既是線段AC的中垂線，又是BD的中垂線，故是四棱錐的高，且點(diǎn)M在PH上，于是平面PBD與底面ABCD垂直，同理平面PAC與與底面只需考慮四面體P?ABD．如圖，設(shè)點(diǎn)M在面PAD上的投影為E，平面MEH過點(diǎn)P，且交AD于因∠MHF=90°=∠MEF，則M、由于ME⊥面PAD，得ME⊥AD，由MH⊥面所以AD⊥面MEH，故FH是PF在面ABD內(nèi)的射影，則即二面角的平面角∠EFH=60°，于是∠EMH=120°．據(jù)ME=MH=1，得EH=3，故直線三角形MEF與MHF因∠EFH=60°，所以△EFH是正三角形，即FH=EF=EH=3在直角△AFH中，∠HAF=30°，則AH=2FH=23故正△ABD的邊長為4，于是S△ABD在直線△PFH中，PH=FHtan從而VP?ABCD故答案為：814．【2018年山西預(yù)賽】四面體ABCD中，有一條棱長為3，其余五條棱長皆為2，則其外接球的半徑為____.【答案】21【解析】解:設(shè)BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn)，D在面ABC上的射影H應(yīng)是△ABC的外心，由于DH上的任一點(diǎn)到A,B,C等距，則外接球心O在DH上，因ΔABC?ΔDBC，所以AE=DE,于是ED為AD的中垂線是，顒球心O是DH，EF的交點(diǎn)，且是等腰△EAD的垂心，記球半徑為r，由△DOF～△EAF，得r=AE?DF而AE2=15．【2018年湖南預(yù)賽】已知二面角α?l?β為60°，動點(diǎn)P、Q分別在面α、β內(nèi)，P到β的距離為3，Q到α的距離為23，則P、Q【答案】2【解析】試題分析：如圖分別作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，連CQ，BD則∠ACQ=∠PDB=60°，AQ=23,BP=3,∴考點(diǎn)：1.點(diǎn)線面之間的距離；2.二面角的平面角16．【2018年湖南預(yù)賽】四個半徑都為1的球放在水平桌面上，且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu)成正方形）.有一個正方體，其下底與桌面重合，上底的四個頂點(diǎn)都分別與四個球剛好接觸，則該正方體的棱長為__________.【答案】a=2【解析】設(shè)正方體的棱長為a，上底為正方形ABCD，中心為O，則OA=22a.由對稱性知，球心O2又O1M=1?a，則2整理得3a2?8a+4=0，解得a=23故答案為：a=17．【2018年福建預(yù)賽】如圖，在三棱錐P?ABC中，△PAC、△ABC都是邊長為6的等邊三角形．若二面角P?AC?B的大小為120°，則三棱錐【答案】84π【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)DP、DB，則由△PAC、△ABC都是邊長為6的等邊三角形，得PD⊥AC，設(shè)O為三棱錐P?ABC的外接球的球心，O1、O則OO1⊥易知O、O2、D所以三棱錐P?ABC的外接球半徑R=OB=O所以三棱錐P?ABC的外接球的面積為4π18．【2018年全國】設(shè)點(diǎn)P到平面α的距離為3，點(diǎn)Q在平面α上，使得直線PQ與α所成角不小于30°且不大于60°，則這樣的點(diǎn)Q所構(gòu)成的區(qū)域的面積為 .【答案】8π【解析】設(shè)點(diǎn)P在平面α上的射影為O.由條件知，OPOQ即OQ∈[1，3]，故所求的區(qū)域面積為π?319．【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】設(shè)點(diǎn)P到平面α的距離為3，點(diǎn)Q在平面α上，使得直線PQ與α所成角不小于30°且不大于60°，則這樣的點(diǎn)Q所構(gòu)成的區(qū)域的面積為 .【答案】8π【解析】設(shè)點(diǎn)P在平面a上的射影為O.由條件知，OPOQ即OQ∈[1，3]，故所求的區(qū)域面積為π?320．【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面半徑長為2，為1.在圓錐底面上取一點(diǎn)Q，使得直線PQ與底面所成角不大于45°，則滿足條件的點(diǎn)Q所構(gòu)成的區(qū)域的面積為 .【答案】3π【解析】圓錐頂點(diǎn)P在底面上的投影即為底面中心記之為O.由條件知，OPOQ=tan故所求的區(qū)域面積為π?221．【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】正三棱錐P－ABC中，AB=1，AP=2，過AB的平面a將其體積平分，則棱PC與平面α所成角的余弦值為 .【答案】3【解析】設(shè)AB、PC的中點(diǎn)分別為K、M，則易證平面ABM就是平面α.由中線長公式知AM所以KM=A又易知直線PC在平面α上的射影是直線MK，而MC=1，KC=3所以cos∠KMC=故棱PC與平面α所成角的余弦值為3522．【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】在正四面體ABCD中，E、F分別在棱AB、AC上，滿足BE=3，EF=4，且EF與面BCD平行，則△DEF的面積為 .【答案】2【解析】由條件知，EF平行于BC.因?yàn)檎拿骟wABCD的各個面是全等的正三角形，故AE=AF=EF=4,AD=AB=AE+BE=7.由余弦定理得，DE=A同理有DF=37作等腰△DEF底邊EF上的高DH，則EH=1故DH=D于是S△DEF23．【2017年天津預(yù)賽】在圓錐內(nèi)部放有一個球,它與圓錐的側(cè)面和底面都相切,則球的表面積與圓錐的表面積之比最大為 .【答案】1【解析】提示:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線與底面的夾角為2θ,則其內(nèi)切球半徑為R由于球的表面積為S1=4π我們有S1S=4tan可化簡得到S可見,當(dāng)cosθ=23，即24．【2017年河北預(yù)賽】正方體ABCD?A1B1C1D1中,設(shè)頂點(diǎn)A關(guān)于平面C1BD和直線B【答案】15【解析】提示：如圖,分別以AB,AD、AA設(shè)正方體棱長為1,在正方體ABCD?A1因?yàn)镃1B//DA2,C1D//易知AC2⊥平面A2BD,設(shè)AC2交平面A易知平面ACD1⊥直線B1D,設(shè)平面ACD1與直線B顯然PQ//P1Q1,所求角轉(zhuǎn)化為直線P易知P1坐標(biāo)為13,13,?13,設(shè)直線PQ與平面A1BD所成角為則sinα=|25．【2017年山西預(yù)賽】邊長為2的正方形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),現(xiàn)將圖形沿線段EC、ED折起,使得線段EA,EB重合,這樣得到一個四面體CDEA(點(diǎn)B已重合于點(diǎn)A),則此四面體的體積是 【答案】3【解析】提示:如圖,顯然△ACD為正三角形,其邊長為2,取CD的中點(diǎn)F,則AFCD垂直于平面△AEF,AF=3其面積為S=12V=26．【2017年遼寧預(yù)賽】如圖,設(shè)P為立方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB【答案】arctan【解析】提示：延長B1P與A1A交于點(diǎn)Q,則Q為面從而DQ為所成二面角的棱.由PA⊥面ADD1A1,在面ADD1則∠PHA設(shè)立方體的棱長為1,則AQ=x1?x.DQ=當(dāng)且僅當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時等號成立.27．【2017年山東預(yù)賽】在邊長為1的正方體C內(nèi),作一個內(nèi)切大球O1,再在C內(nèi)作一個小球O2,使它與大球O1外切,同時與正方體的三個面都相切.則球O2的表面積為【答案】(7?4【解析】提示:如圖所示,設(shè)正方體C為ABCD?A'B'C'D設(shè)大球O1的半徑為r1,球O2易知r1=12,且O1所以r2=2?328．【2017年福建預(yù)賽】三棱雉P?ABC中,△ABC是邊長為23的等邊三角形,PB=PC=5,且二面角P?【答案】25π【解析】提示：如圖,取BC中點(diǎn)為D,連AD、PD，由△ABC是邊長為2PB=PC=所以∠PDA為二面角P?BC?A的平面角,∠PDA=作PO1⊥AD于O1,則PO1為△ABC的外心,三棱錐設(shè)三棱雉P?ABC外接球的球心為O,半徑為R.則O在直線PO所以R?三棱雉P?ABC的外接球的表面積為29．【2017年江西預(yù)賽】體積為1的正四面體被放置于一個正方體中,則此正方體體積的最小值是 .【答案】3【解析】提示：反向考慮,邊長為a的正方體(體積為a3),其最大內(nèi)接正四面體的頂點(diǎn)由互不共棱的正方體頂點(diǎn)組成,其體積為a33,令a30．【2017年河南預(yù)賽】單位正方體ABCD?A'B'C'D'的側(cè)面AA'B'【答案】5【解析】提示:以BB'中點(diǎn)O為原點(diǎn),BA方向?yàn)閤軸,BB則由MB'=DM則點(diǎn)M的軌跡上的點(diǎn)到點(diǎn)B'的距離的最小值為1所以點(diǎn)M的軌跡上的點(diǎn)到點(diǎn)C'的距離的最小值為531．【2017年湖北預(yù)賽】如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1中,∠ACB=【答案】2【解析】提示：由題設(shè)可知,側(cè)面BB1C又A1C1⊥將二面角A1?BC1因此,當(dāng)且僅當(dāng)C,P,A1由題設(shè),BC=在△A1所以A1C=21332．【2017年四川預(yù)賽】如圖,設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1【答案】6【解析】如圖,設(shè)截面為BMD1N,點(diǎn)M到直線BD顯然,?的最小值為異面直線AA1與注意到,當(dāng)M為AA1的中點(diǎn)、O為BD1的中點(diǎn)時,MO為故?min=2顯然,當(dāng)點(diǎn)M與AA1重合時,此時,截面為ABC1D33．【2017年貴州預(yù)賽】如圖所示,三個半徑為r的湯圓(球形)裝人半徑為6cm的半球面碗中,三個湯圓的頂端恰與碗口共面,則湯圓半徑r= cm【答案】189【解析】提示:三個半徑為r的小球的連心線構(gòu)成邊長為2r的正三角形,其球心到該