2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》分類訓(xùn)練十：與圖形變換相關(guān)的壓軸題（附答案）

2021中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》分類訓(xùn)練十:

與圖形變換相關(guān)的壓軸題(附答案)

方法提煉：

1、(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b)；

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b)；關(guān)于直線x=m的對(duì)稱點(diǎn)為(2m-a,b)；關(guān)于直

線y=n的對(duì)稱點(diǎn)為(a,2n—b)；關(guān)于點(diǎn)(m,n)的對(duì)稱點(diǎn)為(2m—a,2n—b)；繞原點(diǎn)逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的坐標(biāo)為(-b,a)；繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的坐標(biāo)為(b,-a)；任意兩點(diǎn)(x1，

xl+x2yi+y2

-

yx)和(X2,丫2)的中點(diǎn)為,F)

典例引領(lǐng)：

例：已知二次函數(shù)y=nx2+4x+cQW0)的圖象是經(jīng)過(guò)y軸上點(diǎn)C(0,2)的一條拋物線，

頂點(diǎn)為A,對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)點(diǎn)”(2,0)且平行于y軸的一條直線.點(diǎn)P是對(duì)稱軸上位于

點(diǎn)A下方的一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)8,連接CA、AB.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)/ACB=45°時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)將△OB沿C8翻折后得到△S8,問(wèn)點(diǎn)。能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由.

分析：(1)運(yùn)用待定系數(shù)法解得即可;

(2)過(guò)點(diǎn)C作CE_LAH,過(guò)點(diǎn)尸作PELAC于F,可證明△AFPS/^AEC,再根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)解答即可；

（3）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)。落在x軸的正半軸上時(shí)：②當(dāng)點(diǎn)力落在y軸的負(fù)半軸上時(shí):

③當(dāng)點(diǎn)。落在x軸的負(fù)半軸上時(shí).

解：（1）由拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,2）和點(diǎn)（4,2）,

則（2=16a+16+c,解得卜=T,

I2=cIc=2

2

??y=-x+4x+2,

???當(dāng)x=2時(shí)，y=6,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,6）；

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)。作C￡_LA"，過(guò)點(diǎn)P作P￡LAC于F,

則CE=2,AE=4,AC=Q號(hào)&2而

VZAFP=ZAEC=90°,/FAP=/EAC,：.AAFP^AAEC,

.PFCE1

??---------二,,

AFAE2

VZFCP=45",：.CF=PF.

設(shè)CF=PF=w,貝IJAF=2"?,

研」2,：.PH=^-,：.p(2,@)；

333

（3）①當(dāng)點(diǎn)。落在x軸的正半軸上時(shí)，如圖2,

CD=AC=275>又：OC=2,

二OD=4,

；?HD-1<)D=2-

由對(duì)稱性可知AP=P￡>,設(shè)PH=m,則AP=PO=6-/n,

在Rt/\DPH中，有PH^HD1=PD1,

即加2+22=（6-2,解得m=E，

3

“1⑵春）；

②當(dāng)點(diǎn)。落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖3,

CD=AC—2\/^?

由對(duì)稱性可知/OCP=/ACP,又?.'A"〃OC,：.ZDCP=ZAPC,

ZAPC=ZACP,.,.AC=AP=2V5>.,.PH=6-2V5，

“2（2,6-2?）；

③當(dāng)點(diǎn)。落在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖4,

CD=AC=2泥,

又；。C=2,A00=4,：.DH=AP=6,

連接A。，.?.直線CH是線段A￡＞的中垂線，又點(diǎn)P在直線AH上，

...點(diǎn)P與點(diǎn)“重合，

：.P3(2,0).

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：2](2,得)、p(2,6-2V5)'「3⑵0).

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次

函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).

跟蹤訓(xùn)練:

1.如圖，拋物線尸0?-2%+。與x軸交于點(diǎn)A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x+3經(jīng)

過(guò)A,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)N是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M,交直線AC于點(diǎn)H.

①點(diǎn)￡＞在線段OC上，連接A。、BD,當(dāng)時(shí)，求4D+AH的最小值；

②當(dāng)OC=3。。時(shí)將直線AQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)45°,使直線與)，軸交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，以x=l為對(duì)稱軸的拋物線丫=4，+桁+。的圖象與X軸交

于點(diǎn)A(-l,0),點(diǎn)3,與)，軸交于點(diǎn)C(0,-3),作直線8c.點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱

軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)到x軸和直線8C的距離分別為P/人PE

(1)求拋物線解析式：

(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足PE=P￡＞時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,從點(diǎn)B處沿著直線BC的垂線翻折尸E得到FE,當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線上時(shí)，求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1圖2備用圖

3.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=7-4x-4與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.頂

點(diǎn)為。，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,連接BD,DC,CE.點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)一

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸HLCE,垂足為H.點(diǎn)F是y軸上一點(diǎn)，連接尸尸并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)G,

過(guò)點(diǎn)0作OM_LPG,垂足為M.

(1)當(dāng)PH取得最大值時(shí)，求PE+PF+匹OF的最小值；

5

(2)當(dāng)PE+PF+aOF取得最小值時(shí)，把△0M尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)a°(0VaW360°),記旋

5

轉(zhuǎn)過(guò)程中的△OMF為△OATF'.直線M'F'與x軸的交點(diǎn)為K.當(dāng)△OF'K是以

0K為底的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M'的坐標(biāo).

4.拋物線>=以2+公+?分別交X軸于點(diǎn)A(1,0),B(-3,0),交y軸于點(diǎn)C.拋物線

的對(duì)稱軸I與x軸相交于點(diǎn)D,直線AC與拋物線的對(duì)稱軸/相交于點(diǎn)P.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的解析式和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MNLAC,在點(diǎn)

M,點(diǎn)N移動(dòng)的過(guò)程中，是否有最小值？如果有，請(qǐng)求出最小值；

(3)以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將直線AC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°VaW90°),

直線AC旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的對(duì)稱軸/相交于點(diǎn)E,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)。.

①如圖2,當(dāng)直線AC旋轉(zhuǎn)到與直線8c重合時(shí)，判斷線段PE、EZ)的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明

理由；

②當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

M

圖1圖2備用圖

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=，+4x的頂點(diǎn)為點(diǎn)A

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于-6的點(diǎn)，點(diǎn)M為線段。8的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線。8下

方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作PC_Ly軸于點(diǎn)C,若在坐標(biāo)平

面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足PQ=—，求0。+工QC的最小值；

22

(3)當(dāng)(2)中。。+工QC取得最小值時(shí)，直線。。與拋物線另一交點(diǎn)為點(diǎn)E,作點(diǎn)E

2

關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E'.點(diǎn)、R是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)S,

使得以。、E'、R、S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出S點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖，拋物線y=/f+x-4與x軸交于A,B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,拋物

線上的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3,過(guò)點(diǎn)E作直線/i〃x軸.

（1）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC的下方，點(diǎn)N分別為x軸，直線/|上的

動(dòng)點(diǎn)，且MMLx軸，當(dāng)面積最大時(shí)，求PM+MN+返EN的最小值；

2

（2）過(guò)（1）中的點(diǎn)P作PD_LAC,垂足為凡且直線PD與y軸交于點(diǎn)。，把△。尸C

繞頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)45°,得到△DFC,再把△Q'FC沿直線PO平移至△￡）"F'C",在平

面上是否存在點(diǎn)K,使得以O(shè),C",D",K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在直接寫(xiě)出

點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

圖①圖②

7.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-1與直線y=-X-1相交于A,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)C為頂點(diǎn)，連接AC.

(1)如圖1,連接8C,點(diǎn)P為線段A8上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)E,PFLBC

于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作「?！ā份S交拋物線于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè))，當(dāng)PE?PF取得最大值

時(shí)，在y軸上取一點(diǎn)R,連接QR,求PQ+2QR+&R0的最小值；

(2)如圖2,將拋物線沿射線AC方向平移，記平移后的拋物線為y',頂點(diǎn)為K,當(dāng)

AC=CK時(shí)，點(diǎn)N為平移后的拋物線y上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為8.點(diǎn)M為線段48上一點(diǎn)，

連接CM,且將△ACM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<180),旋轉(zhuǎn)后的三角

形為△4'CM',記直線A'C與直線A8相交于點(diǎn)S,直線C'M'與直線A8相交

于點(diǎn)T，連接NS,NT.是否存在點(diǎn)S和點(diǎn)T,使△(7'ST為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直

接寫(xiě)出ANST的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)=斗乂2駕Zx+2?與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)8

(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

(1)點(diǎn)。是線段AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、DC,DA,過(guò)點(diǎn)8作AC的平行線，

交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF,當(dāng)△OCF的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q,

使得DQ+1QE的值最小，求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)將△OBC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△0B1Q,點(diǎn)&C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是81，C\,且點(diǎn)

81落在線段BC上，再將△081。沿y軸平移得401歷C2,其中直線042與x軸交于點(diǎn)

K,點(diǎn)T為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接KT、TOi，△QKT能否成為以。1K為直角邊的

等腰直角三角形？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的7點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.已知拋物線L：)，=-工X2-Zr+互與x軸交于A,8兩點(diǎn)，(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，頂點(diǎn)

2X2

為。點(diǎn).

(1)直接寫(xiě)出A,B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)例(w,0)x軸上一點(diǎn)，將拋物線L繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線

①當(dāng)拋物線L1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出“的值；

②若C為第一象限內(nèi)拋物線。上一點(diǎn)，E為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，問(wèn)是否存在以8。為邊,

以B,D,C,E為頂點(diǎn)的正方形，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線匕的表達(dá)式；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-3，+9x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在

44

點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C：連接BC,點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

。尸交BC于點(diǎn)Q.

(1)如圖1,當(dāng)上Q值最大時(shí)，點(diǎn)E為線段A8上一點(diǎn)，在線段BC上有兩動(dòng)點(diǎn)M,N(M

0Q

在N上方)，且MN=1,求PM+MN+NE-38E的最小值；

5

(2)如圖2,連接AC,將△AOC沿射線C8方向平移，點(diǎn)A,C,。平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別記作Ai，Ci，O\,當(dāng)CIB=OIB時(shí)，連接4/、018,將△A。/繞點(diǎn)0］沿順時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)90°后得△AzOiBi在直線尤=』上是否存在點(diǎn)K,使得△A2B1K為等腰三角形？

2

若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖1,拋物線-6"+6QWO)與x軸交于點(diǎn)A(8,0),與〉軸交于點(diǎn)8,在

x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(%0)(0</n<8),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線A8于點(diǎn)N,交拋物

線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PM1.AB于點(diǎn)M.

(1)求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)的面積為Si，硒的面積為S2，若Si：52=36：25,求加的值;

(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE',旋轉(zhuǎn)角為30°,

連接￡71、EB,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)。，使△AOE'?△80Q,并求出。的坐標(biāo).

12.如圖1,已知)，=工乂2—生x上的圖象與％軸交于A，8兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第四

555

象限的點(diǎn)，且tan/BAP=3.

5

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q,若拋物線上存在點(diǎn)C,使得NCPQ=NPQB,求點(diǎn)

C的坐標(biāo);

(3)將x軸下方的拋物線沿x軸向上翻折得到如圖2所示的圖象，若直線y=&+當(dāng)與

這個(gè)圖形恰有四個(gè)公共點(diǎn)，求出此時(shí)k的取值范圍.

圖1圖2

13.綜合探究

如圖（1）示，拋物線＞=2?-當(dāng)-2與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)），與

y軸交于點(diǎn)C連接AC,8c得到aABC,再將它向右平移得到AA'B'C對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖示）,

直線I經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)請(qǐng)解答下列問(wèn)題

（1）求直線/的表達(dá)式.

（2）如圖（2）示，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線），=￡/-5犬-2上時(shí)，

①連接A'C,CC,BC,試判斷四邊形A'CCB的形狀（要有說(shuō)理過(guò)程）；

②設(shè)A'C'與BC交于點(diǎn)P,求四邊形BPC'B'的面積；

（3）如圖（3）示，在△ABC向右平移的過(guò)程中，設(shè)點(diǎn)A'關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A”,

試猜想點(diǎn)A”能否落在直線夕C上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)aABC向右平移的距離;

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

“"

14.如圖1.已知直線/：>'=-1和拋物線L：y=ax+bx+c（aWO）,拋物線L的頂點(diǎn)為原

點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2〃，工）直線y=Ax+l與y軸交于點(diǎn)凡與跑拋物線入交于點(diǎn)B（為，

4

yi）,C（%2>丫2），且Xi<X2.

（1）求拋物線L的解析式；

（2）求證：無(wú)論％為何值，直線/總是與以8c為直徑的圓相切；

（3）①如圖2,點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMA.I于點(diǎn)M,試判斷PM

與PF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②將拋物線L和點(diǎn)尸都向右平移2個(gè)單位后，得到拋物線〃和點(diǎn)Q,。是拋物線L上

的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。在心的對(duì)稱軸的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)Q作QNLI于點(diǎn)N,連接QA.求|QA-

QN的最大值，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

圖1圖2

參考答案

1.解：(1)直線y=x+3經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,3),

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：1°=9a+6+c,解得：［a=-l,

Ic=3Ic=3

故拋物線的表達(dá)式為：＞-=-X2-2%+3；

(2)①令y=-/-2X+3=0,則x=-3或1,即點(diǎn)B(l,0),

當(dāng)時(shí)，AD+AH=AD+BD,

當(dāng)A、B、。三點(diǎn)共線時(shí)，

AO+AH=A/j+BZ)最小，最小值為：48=1-(-3)=4,

答：AQ+A/7的最小值為4；

②當(dāng)OC=3。。時(shí)，OD=\,AD=yflQ,

貝!)tanZAD(?=-^-=Q,貝！jsinau-；^,

DOVl0

當(dāng)點(diǎn)尸在y軸上方時(shí)，如下圖，

過(guò)點(diǎn)P作△APZ）的高PH,交AD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)H,

設(shè)：PH=m,

VZB4D=45°,則AH=〃z,

tanZPDH==——^==tana=3,

DH10

解得：片李

3小

~2~

PD=―

sinCLo§

V10

故點(diǎn)P(0,6)；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸下方時(shí)，如下圖所示,

同理可得：DP'=$

2

故：點(diǎn)P(0,-3■)；

2

綜上，點(diǎn)P(0,6)或(0,一2)

2

2.解：(1)?.?拋物線與x軸交于點(diǎn)4(-1,0)、點(diǎn)B

...點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸：直線x=l對(duì)稱

XA+Xp

工2衛(wèi)=L解得：XB=3

：.B(3,0)

:拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C(0,-3)

a-b+c=0a=l

??"9a+3b+c=0解得：，b=-2

0+0+c=-3c=-3

，拋物線解析式為y=x-2x-3

(2)如圖1,記直線BC與對(duì)稱軸交點(diǎn)為Q

,：B(3,0),C(0,-3)

直線8c解析式為y=x-3,ZOCB=45°

：.Q(1,-2)

設(shè)尸(1,f),則尸￡>=M，PQ=\t+2\

8c于點(diǎn)E

，NPEQ=90°

?：PQ//y^A

:.NPQE=NOCB=45°

：.RtAPEQ^,sinZP(2￡=—

PQ2

:.PQ=?PE

"：PE=PD

:.PQ=&PD

：.P。2=2?

(Z+2)2=2/

解得：“=2+2如，殳=2-2我

點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,2+2加)或(1,2-2加)

(3)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P(1,t)在點(diǎn)。上方時(shí)，f>-2

連接PF,過(guò)點(diǎn)E作EHA.PQ于點(diǎn)H

VZPCE=45°,NPEQ=90°

△尸EQ是等腰直角三角形

:.PH=QH=EH=LpQ=^~

22

即點(diǎn)E向左平移上2個(gè)單位、向上平移上2個(gè)單位可得點(diǎn)P

22

：.XE=XP+^^-=—+2,yE=yp-^-=—1,即E(主+2,-1-1)

222222

???從點(diǎn)B處沿著直線BC的垂線翻折PE得到FE

J.FE1BC,FE=PE

：.FE//PE

...四邊形PEEF是平行四邊形

：.EE//PF,即EE向左平移土2個(gè)單位、向上平移主2個(gè)單位可得「尸

22

;點(diǎn)B為EE中點(diǎn)

xE+xE/t

——-----=獨(dú)=3,爾=-〉E=1-

；.總'=4-—

2

；.XF=XE;華"=3-3"=)￡'+萼'=2，即F(3-t,2)

:點(diǎn)F在拋物線上

(3-r)2-2(3-Z)-3=2

解得：“=2+>\/^，，2=2-A/^

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸(1,r)在點(diǎn)Q下方時(shí)，r<-2

則翻折后點(diǎn)尸在直線8c下方，不可能在拋物線上

綜上所述，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,2+J"^)或(1,2-

3.解：(1)在拋物線)，=，-4x-4中，令x=0,則y=-4,：,C(0,-4),

令)=0,得/-4X-4=0,解得：xi=2+2&，M=2-2圾，,4(2-2&,0),B(2+2

M，0)

：y=x2-4x-4=(x-2)2-8,；.頂點(diǎn)0(2,-8),E(2,0),

易求得直線CE解析式為：y=2x-4,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平行于CE的直線解析式為y=2+b

由，-4x-4=2x+6,Wx2-6A--4-b=0,△=(-6)2-4(-4-b)=52+46,

,.,△=0時(shí)，點(diǎn)尸到CE的距離PH最大，...52+46=0,即:b=-13

y=2x-13fXi=X=3

...y=2x-13,解方程組得《2

,y=x-4x-4[yi=y2=-7

：.P(3,-7)

如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作PQLx軸于點(diǎn)Q,中PE是定值，

：.PE+PF+-^OF的最小即PF+匹OF最小，令FM=—OF,則PF+&OF=PF+FM=PM

5555

此時(shí)里=_1,zOGF+ZGOM^ZGOM+ZFOM=90°

OF5

：.NOGF=NFOM,

:NFOG=NFMO=90°

:Z0GS/\FM0

.0F^FM=4

,*FGOF5

.0F=4

**OG3

,:△GPQSXGFO

.PQ=OF=J4

"QGOG京

QG=1L,

：.G(-—,0)

4

；.PG=更，GM=—

420

：.PM=PG-GM=—,

5

在△P￡Q中，PE』Q2+EQ2=U^=5如

；.PE+PF+國(guó)OF的最小值=5b+WJ

55

（2）①如圖2,點(diǎn)M'在第三象限，：△。尸K是以O(shè)K為底的等腰三角形，，。尸

=KF'=3,F'M'=四

5

：.M'K=KF'-F'M'=—,

5

設(shè)M'(機(jī)，〃)，則-〃?OK=KA/''M'O

，解得一嚕

，=藍(lán)二號(hào)，即-嚕，?!=*

27K

??"2=

50

27

：.M'(--V^'.,-^?)；

5050

②如圖3,點(diǎn)M'在第二象限，OF'=KF',作F'x軸于“，作M'軸于R,

VOF'=KF',F'H_Lx軸

OH=HK,

,:KM'=KF'+F'M'=3+—=—

55

■：40RM'=NKM'0=90°,AROM'+ZKOM'=NOKM'+NKOM'=90°

:./ROM'=NOKM'

Rs/\KOM'

_9

.『R一OR一OK即.MyR._OR_5

**0MzKM'OK9.27.%質(zhì)

555

.z)o_27V10

5050

■區(qū),(9VIU27。、

5050

③如圖4,作M'G_Lx軸于G,點(diǎn)M'在第一象限，OF'=KF',F'O=F'K=3,

M'K=3-超=3,

55

旦x3

L至__5_

2/2G-OM'K

°K=O+MK;''~~OK3710

5

50

3

Z

,G_MK_5__1

VtanZMXZ

"OGOM且3

5

"一27后

UCr---------------，

50

M，,27疝9A/IO

5050

④如圖5,點(diǎn)M'在第四象限，作M'G，x軸于G,'：F'K=OF'=3

：.M'K=M'F'+F'長(zhǎng)=2+3=區(qū)

55

OK=VM/02+MyK2=J（卷）2+（看）2=

WG』'0?『仁里亞,0G=S=?

OK50OK50

…嚕一等）;

綜上所述"的坐標(biāo)為“等’-嚼畫(huà)一警'誓函誓'

里匝）或（見(jiàn)匝，_27vl5）

4.解：(1)???拋物線y=o?+bx+?經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(-3,0)

(a+b+V3=0

I9a_3b+V3=0

???拋物線的解析式為:

??,對(duì)稱軸為直線:1

：.D(-1,0)

(2)在M,N移動(dòng)的過(guò)程中，有最小值.

2

如圖1,過(guò)點(diǎn)。作DFLAC于點(diǎn)、F

二?當(dāng)x=0時(shí)，y=-畀率+?=?

33

:.C(0,V3)

VA(1,0)

0A1V3

.?.在Rt^AOC中，tan/OCA=

0CV33

OCA=30°

'：MN±AC,即NMNC=90°

:.MN=LMC

2

DM+^MC^DM+MN

2

當(dāng)點(diǎn)￡>、M、N在同一直線上時(shí)，￡>M+2MC=OM+MN=￡>F最小

2

\'ZOAC=900-ZOCA=60°

.?.在RtZXZM/中，sin/OAC=1^"^

AD2

.?.￡）尸=返4￡>=返乂（1+1）=?

22

；.DM+^MC的最小值為?

（3）①PE=2E￡>,理由如下：

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+h

,（

.上色。解得：卜V丁3

M|b=V3

...直線BC的解析式為）二返產(chǎn)?,

3

:對(duì)稱軸為直線：X=-1,點(diǎn)E在對(duì)稱軸上

.?.點(diǎn)E（-],包1）

3

：.DE=^^

3

VZPDA=90°,Zfi4D=60°

...在RtZ\B4￡>中，tan/OAC=^>=^

:.PD=2M

：.PE=PD-DE=2M-'1=生巨

33

:.PE=2ED

②設(shè)直線AC解析式為y=s+?

把點(diǎn)4（1,0）代入得：c+“=0,解得：c=-M

直線AC：y=一心+如

?.?直線AC與對(duì)稱軸：直線x=-1的交點(diǎn)為尸

：.P（-1,2?）

???空=業(yè)2+（2舊一時(shí)）2=2

:點(diǎn)。在拋物線上

二設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為6-返季+遍）（岸0）

33

；.P°2=G+1）2+（一返,2_迥t+M.2y）2,CQ2-2+（一返八也+如.

3333

?）若PQ=PC,如圖2

垂直平分C。

AQE=CE^1,yQ=yc=?

???Q（-2,V3）

"）若PQ=CQ,則（r+1）2+（-返上-包反t+如-273）2=/+（-返金,兇3+如

3333

解得：t[=-2,，2=-1

：.Q(-2,或(-1,

3

iii)若PC=CQ,則上+(-近『-漢辰+如-遍)2=4

33

解得：f=-2

；.Q(-2,V3)

綜上所述，當(dāng)△CP。為等腰三角形時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為(-2,、/§),(-1,士返).

3

5.解：(1)；y=/+4x=(x+2)2-4,

.\A(-2,-4)；

(2)如圖1,過(guò)P作軸交。8于，，作PG_LBC于G,過(guò)M作用。_Ly軸交y軸

于。，

:點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于-6的點(diǎn)，.??8(-6,12),

直線AB解析式為＞?=-2x

設(shè)P(〃2,//+4相),貝UH(“，-2m),PH=-2m-(7n2+4w)=-in'-6m

??,點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，???M(-3,6),：.MD=3

?.?PH〃y軸

：.ZPHG=ZMOD

VPG1BCMD_Ly軸

：.ZPGH=ZMDO

:ZGHs叢MDO

2

APG=MD(即PG?M0=PH?MD=3(-m-6m)=-3m-\Sm,

PHMO

???SAPOM=」PG.MO=-^-2-9〃?=-—(w+3)2+—

22m22

?；-3<0,.?.當(dāng)〃?=-3時(shí)，&POM的值最大，止匕時(shí)P(-3,-3),

2

在PC上取點(diǎn)T,使得尸7=3,連接。T,OT,

4

"：PC=3,PQ=—

2

?PT=PQ=1

,*PQPC~2

:NQPT=NCPQ

:.△QPTSXCPQ

曜磊/，即TQ=1QC,

：.OQ+工QC=OQ+TQ^OT

2

VOT=22

>1QC^=次+號(hào))2=-y

OQ+^QC的最小值為西;

24

（3）?.?當(dāng)（2）中OQ+2QC取得最小值時(shí)，點(diǎn)0、Q、T三點(diǎn)共線，T（一-3）

24

二直線OQ解析式為），=京

48

y=vxX[=0X2一萬(wàn)

解方程組3得

2了1=032

y=x+4xy2=T

：.E（J-,衛(wèi)），?.?拋物線對(duì)稱軸為直線x=-2,

39

*（小手,

以0、E'、R、S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分以下三種情形:

①OR為對(duì)角線，RS是平行四邊形

J.OS//E'R,OS=E'R=2,.,.SI(20)

33

②。S為對(duì)角線，-：OE'RS是平行四邊形

：.OE'//RS,R(-2,絲)，：.S2(—,0)

93

@OE'為對(duì)角線，-：OE'RS是平行四邊形

J.OS//E'R,OS=E'R=2,：.S3(—,0),

33

綜上所述，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：51(上，0),S2(—,0),S3(2,0).

333

6.解：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)”，在PG上截取

連接P'N,

以NE為斜邊在直線NE上方作等腰RtANEQ,過(guò)點(diǎn)P作P'R±EQ于點(diǎn)R

\'x—0時(shí)，y——x2+x-4=-4

2

：.C(0,-4)

：y=0時(shí)，y+x-4=0

解得：為=-4,X2—2

：.A(-4,0),B(2,0)

直線AC解析式為y=-x-4

?.?拋物線上的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3

2

.-.y￡=Ax3+3-4=^-

22

：.E(3,工)，直線/1：y=t

2-2

?..點(diǎn)〃在x軸上，點(diǎn)N在直線6上，MNLc軸

:.PP=MN=L

2

設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(n—?+r-4)(-4<r<0)

2

:?H(/,-L4)

1717

PH=-/-4-C—r+t-4)=--r-2t

22

?'-S^APC=S^APH+S^CPH=—PH'AG+—PH-OG=—PH'0A=2PH=-r2-4r

222

當(dāng)尸-—=-2時(shí)，SAAPC最大

-2

1771

??yp=—t-4=2-2-4=-4,yp'=yp+—=--

222

：.P(-2,-4),P'(-2,-工)

2

,:PP'=MN,PP'//MN

二四邊形PMNP是平行四邊形

:.PM=PN

?.,等腰RtZXNEQ中，NE為斜邊

:.NNEQ=NENQ=45°,NQLEQ

：.NQ=^2L.EN

2

PM+MN+乎EN=PN+PP+NQ=^+P'N+NQ

?.,當(dāng)點(diǎn)P'、N、。在同一直線上時(shí)，PN+NQ=PR最小

PM+MN+^-EN=-L+P'R

22

設(shè)直線EQ解析式為y=-x+“

?*.-3+a=—解得：

22

...直線EQ：y=-x+券

設(shè)直線P'R解析式為y=x+b

A-2+b=-A解得：b=3

22

，直線PRy=x+3

2

*嶗r苴

【c解得“x-2

3

Y=x+yy=4

：.R(立，4)

2

，PM+MN+返EN最小值為7+%反

22

(2),JPDVAC,P(-2,-4),

二直線P。解析式為：y=x-2,

：.D(0,-2),F(-1,-3),

：.CD^2,DF=CF=?,△CCF是等腰直角三角形,

如圖2,把△OFC繞頂點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到△￡＞尸C,...C'(&-1,-3),D

(-1,3)

把△OFC沿直線PO平移至△￡>"F'C",連接O'D",C'C"

則直線C'C"解析式為y=x-2-V2-直線D"解析式為y=x+?-2,顯然OC"

2亞+1>2=C"D"

...以。，C",D",K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，OC"不可能為邊，只能以O(shè)D"、C"D"

為鄰邊構(gòu)成菱形

AOD"=C"D"=OK=2,

VOK//C"D",PDLC"D"

OK±PD

???&（V2--加）,

如圖3,把△OFC繞頂點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到△OFC,：.C'（-1,-3-圾）,

D'（V2-1--V2-3）

把△O'FC沿直線P￡）平移至F'C",連接O'D",C'C",

顯然，C"D"http://PD,OC"）料+1>C"D",OD">V2+1>C（/D",

...以。，C",D",K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，C"D"只能為對(duì)角線，

:.K2（2+^/2,-2-

綜上所述，點(diǎn)K的坐標(biāo)為：Ki（加，-A/2）>七（2+&，-2-V2）-

7.解：⑴由拋物線y=-/+2%-1=*(x-2)2+1得：C(2,1),

y=-x，X[=0/x?=6

解方程組彳2得：《,；(0,-1),B(6,-7),

Yi=-ly=-7

y=-x-l2

過(guò)C作C51y軸于S,過(guò)8作BKLy軸于K,則/ASC=/AKB=9O°

'：CS=2,AS=1-(-1)=2,BK=6,AK=-1-(-7)=6

；.AS=CS,AK=BK

.?.△ACS和△4BK均為等腰直角三角形，

：.ZCAS=ZBAK=45<,,AC=2近,4B=6&

.?.NBAC=90。，?C=^AC2+AB2=475

設(shè)P(，〃，-w-1),0W〃忘6,則PE=-(-/n-1)=機(jī)+1,PB=n(6-m),

9：PFLBC

:?/BFP=ZBAC=90°

/\BPFs/\BCA

.PF=AC=2^；：0巫(6-w)

BPBC4755

：.PE?PF=(w+1)X立(6-w)=(M7-旦)2+—

55220

?.?「Zivo,.?.當(dāng)山=至■時(shí)，PE,PF取得最大值,此時(shí)，P(―,二■),「尸。〃》軸

5222

.??Q(-1，L,

2

在x正半軸上截取OG=OR,連接RG,過(guò)。作OT_LRG于T,則RT=^-RO,'：PQ+2QR+

4QRO=PQ+2(QR+零R。)

求PQ+2QR+&R。的最小值，即求QR+唱R。的最小值，當(dāng)Q,K,7三點(diǎn)共線時(shí)，QR+

返RO的值最??；

2

???NORG=45°

；?/PQR=/QRK=45°

:.QR=加，血喘，

.?.PQ+2QR+&R0的最小值=搟-(-1)+2(&+苧，)嬰.；

(2)'：AC=CK,：.K(4,3)

平移后的拋物線為y'=V(x-4)2+3,

：.N(8,-5)

過(guò)點(diǎn)、N作NZLAB于Z,作NN，〃》軸交AB于N',則NAW'Z=45°,N'(4,-5)

:.NN'=8-4=4,NZ=^X4=2衣

:點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，且CM=BM,設(shè)7-1)

Ct-2)2+(-r-1-1)2=(r-6)2+(-r-1+7)2,解得：r=3

3

?/811x

??M\—,—')

33

ACM=BM^^&,AM^AB-BM=^^

33

：.AC：AM：CN=3：4：5,

△C'ST為等腰三角形，可以分三種情形：

①C'T=ST,如圖2,作九_(tái)LSC'于L則NGC'=ZC=ZACM,SL=LC'=A

SC',

：.sinZTSC=sinZACM=A,'：BA'=8A=6料，

.吁BA，_15&?＜（31X

sin/TSC'1222

5

V-K_J.=tanZTSC,=tan/ACM=g,.'.A'S^—A'SC'=A'S+A'C

A'S342

_13V2V_13V2

24

；.ST=—SL=^^-

312

S^NST=—ST'NZ=^X&X2我=強(qiáng)，

22126

②C'S=CT,如圖3,作C'H_LAB于”，作TL_LSC'于L,作NZ_LAB于Z,

由①知4C：AM：CN=3：4：5,即：A'C：A'M'；C'M'=3：4：5,

,JTL//A'M',：.C'L：LT：C7=3：4：5,設(shè)C'L=3k,LT=4k,C'T=5k

：.C'S=C'T=5k,LS=2k,ST=7LS2+L