初中數(shù)學(xué)-12個(gè)模型54種題型總結(jié)

中點(diǎn)問題常用性質(zhì)及常見輔助線作法1、多個(gè)中點(diǎn)或平行＋中點(diǎn)構(gòu)造中位線；2、直角三角形＋斜邊中點(diǎn)直角三角形斜邊中點(diǎn)；3、等腰三角形＋底邊中點(diǎn)等腰三角形三線合一；4、三角形一邊的垂線過這邊中點(diǎn)垂直平分線性質(zhì)；5、中線或與中點(diǎn)有關(guān)線段倍長(zhǎng)線段構(gòu)造全等；6、圓＋弦或弧的中點(diǎn)垂徑定理或圓周角定理．聯(lián)想聯(lián)想聯(lián)想聯(lián)想聯(lián)想聯(lián)想滿分技法專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想模型一遇到三角形一邊的中點(diǎn)，考慮構(gòu)造中位線例1題圖【思考】在一般三角形中看到中點(diǎn)，你想到了哪些學(xué)過的知識(shí)：_________________________________________________________________．例

1如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB＝8，MN＝3.則AC的長(zhǎng)為(

)A.3B.7C.8D．14過中點(diǎn)作平行線可構(gòu)造中位線，中位線平行于底邊且等于底邊的一半D專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想解析：∵AN平分∠BAC，

∴∠BAN=∠DAN，AN=AN，∠ANB=∠AND=90°，

∴△ABN≌△AEN，

∴AD=AB=8，BN=ND，

又∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，

∴CD=2MN=2×3=6，

∴AC=AD+DC=8+6=14，故選D專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想基本模型模型分析連接中點(diǎn)構(gòu)造中位線：當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)及兩個(gè)以上中點(diǎn)時(shí)，?？紤]構(gòu)造中位線；或出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)，要證明平行線段或線段倍分關(guān)系時(shí)也?？紤]構(gòu)造中位線．利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC，且DE＝，△ADE∽△ABC，則可得線段之間的相等或比例關(guān)系及平行關(guān)系．專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想模型二遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，考慮構(gòu)造斜邊上的中線例2如圖，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接DC并延長(zhǎng)到E，使，過點(diǎn)B作BFDE，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若BF＝8，則AB的長(zhǎng)度為________．∥例2題圖6【思考】在直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，你想到了哪些學(xué)過的知識(shí)：_____________________________________________．直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想專題一解：如圖，又∵BF∥DE，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴ED是△AFD的中位線，∴BF=2ED=8∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=

AB．又CE=

CD，AB=6∴ED=CE+CD=

4基本模型模型分析在直角三角形中，當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，來證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角形：△ACD和△BCD，該模型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起綜合應(yīng)用．專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想針對(duì)訓(xùn)練第2題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，若點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，則∠BCE的度數(shù)是(

)A.60°

B.45°

C.30°

D.75°

C專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想專題一∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，

∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，

∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，

∴△ACE是等邊三角形，

∴∠CED=60°，

∴∠B=∠CED=30°．

∴∠A=60°，

故選C．

123.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使，若AB＝10，則EF的長(zhǎng)是（）A.5B.4C.3D.2第3題圖A專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想專題一∵D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE為△ACB的中位線．

∴DE∥BC．

∵CE為Rt△ACB的斜邊上的中線，

∴CE=12AB=5．

∴DF∥CE．

又∵DE∥BC，

∴四邊形DECF為平行四邊形

DE=5模型三遇到等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，考慮“三線合一”的性質(zhì)例3如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N.則MN的長(zhǎng)為________．例3題圖【思考】在等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，你想到了哪些學(xué)過的知識(shí)：___________________________________________________．等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想專題一如圖，連接AM．

∵AB=AC=5，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

∴AM⊥CM，

∴AM=

，

∵

AM*MC=

AC*MN，

∴MN=

．

基本模型模型分析如圖，等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題．專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想4.如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE平分∠CAD，交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，若BD＝16，則EF的長(zhǎng)為________．第4題圖8專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想模型四遇到三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)，考慮垂直平分線的性質(zhì)例4題圖【思考】點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)且DE⊥AB，你想到了哪些學(xué)過的知識(shí)：___________________________________________________________________．DE是線段AB的垂直平分線，垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等例4

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE

⊥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則CE

的長(zhǎng)為________．專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想專題一設(shè)CE=x，連接AE，

∵DE是線段AB的垂直平分線，

∴AE=BE=BC+CE=3+x，

∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，

解得x=

7/6．

故答案為：7/6．

基本模型模型分析當(dāng)三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時(shí)，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)得到(如圖)：BE＝CE，證明線段間的數(shù)量關(guān)系．專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想針對(duì)訓(xùn)練第5題圖5.如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是CD，BC的中點(diǎn)，且AM⊥CD，AN⊥BC.(1)求證：∠BAD＝2∠MAN；(2)連接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC.專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想第5題解圖(1)證明：如解圖，連接AC，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，AM⊥CD，∴AM是線段CD的垂直平分線．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴∠3＝∠4，同理可得∠1＝∠2，∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠BAD，∴∠2＋∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想(2)解：∵AM⊥CD，AN⊥BC，∠MAN＝70°，∴∠BCD＝360°－90°－90°－70°＝110°.∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠BCD＝30°，∠BAD＝2∠MAN＝140°.∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD.∴∠ADB＝∠ABD＝20°.∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝50°.專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想例5如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.【思考】聰明的你能想到哪些作輔助線的方法_________________________________________________________________________________________________________________．模型五遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，考慮倍長(zhǎng)(類倍長(zhǎng))線段構(gòu)造全等三角形例5題圖①延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得DG＝AD，構(gòu)造△GDB全等于△ADC；②延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使得DG＝DE，構(gòu)造△CGD全等于△BED.專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想【自主作答】證明：如解圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得DG＝AD，連接BG，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，∴△ADC≌△GDB.∴AC＝GB，∠G＝∠EAF.∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF.∵∠AEF＝∠BED，∴∠G＝∠BED.∴BE＝BG.∴BE＝AC.例5題解圖①專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想【一題多解】證明：如解圖②，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使得DG＝DE，連接CG.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∵∠BDE＝∠CDG，DG＝DE，∴△BED≌△CGD.∴∠G＝∠BED，BE＝CG.∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG.∴∠G＝∠EAF.∴AC＝GC.∴AC＝BE.例5題解圖②專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想基本模型模型分析1．倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形：當(dāng)已知條件中出現(xiàn)中線時(shí)，常利用倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形解決問題；2．倍長(zhǎng)類中線構(gòu)造全等三角形：當(dāng)已知條件中出現(xiàn)類中線(中點(diǎn)有關(guān)的線段)時(shí)，常利用倍長(zhǎng)類中線構(gòu)造全等三角形解決問題．專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想6.如圖，已知AB＝24，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，AD＝10，BC＝20.若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)是________．針對(duì)訓(xùn)練第6題圖13專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想模型六遇到圓中弦(或弧)的中點(diǎn)，考慮垂徑定理及圓周角定理基本模型專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想如圖，(1)圓心O是直徑的中點(diǎn)，常與已知中點(diǎn)連接，或過點(diǎn)O作一邊的平行線或垂線構(gòu)造中位線解題；(2)圓中遇到弦的中點(diǎn)，出現(xiàn)“四中點(diǎn)(如圖①，點(diǎn)F、O、E、C)一垂直(FC⊥AB)”，聯(lián)想“垂徑定理”，解決相應(yīng)問題；(3)圓中遇到弧的中點(diǎn)，可得弧相等、弦相等、圓周角相等，可進(jìn)一步引出垂徑定理、角平分線等來解決相應(yīng)問題．模型分析專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想7.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，AC＝6，則OD的長(zhǎng)為(

)A.2

B.3

C.3.5

D.4針對(duì)訓(xùn)練第7題圖B專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想第8題圖8.

如圖，AB是⊙O的直徑，∠BOD＝120°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，AC交OD于點(diǎn)E，DE＝1，則AE的長(zhǎng)為________．專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想專題一終合訓(xùn)練1.

在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)．(1)如圖①，AB＝5，AC＝3，AD＝2，求△ABC的面積；(2)如圖②，M為AC的中點(diǎn)，連接BM交AD于點(diǎn)F，若AM＝MF.求證：BF＝AC.(1)解：如解圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE，CE.∵BD＝DC，DE＝AD，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴BE＝AC＝3，AE＝2AD＝4.在△ABE中，三條邊的長(zhǎng)度3、4、5是勾股數(shù)，∴△ABE是直角三角形．∴S△ABE＝1/2×3×4＝6.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知S△ABC＝S△ABE，∴S△ABC為6；專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想(2)證明：如解圖②，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE、CE，∵BD＝DC，DE＝AD，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AC＝BE，AC∥BE.∴∠MAF＝∠BEA.∵AM＝MF，∴∠MAF＝∠AFM.∵∠BFE＝∠MFA，∴∠BEF＝∠BFE.∴BF＝BE.∴BF＝AC.第1題解圖②專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想專題一終合訓(xùn)練2.

如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且滿足AC＝AE＝CF，連接CE，AF，EF.(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度數(shù)；(2)若CE⊥EF，求證：CE＝2EF.專題一關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想(1)解：∵AC⊥BC，AC＝CF，∴△ACF為等腰直角三角形，則∠AFC＝45°.

∵∠AFC＝∠B＋∠EAF，∠B＝35°，∴∠EAF＝10°；(2)證明：如解圖①，取CF的中點(diǎn)M，連接EM、AM.∵CE⊥E

∴EM＝CM＝FM＝CF.又∵AC＝AE，∴AM為EC的中垂線．∴∠CAM＋∠ACE＝90°.又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM＝∠FCE.又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM∽△CEF，＝.又∵CF＝AC＝2CM，∴＝＝.∴CE＝2EF.當(dāng)題中出現(xiàn)角平分線或易得到角平分線(有對(duì)稱或等腰三角形)時(shí),首先考慮利用角平分線定理求解.若另有平行或垂直等條件,則可考慮構(gòu)造等腰三角形或?qū)ΨQ圖形求解.常見類型如下：專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想類型一角平分線+邊的垂線雙垂直類型二角平分線+角平分線的垂線等腰三角形類型三見角平分線作對(duì)稱全等三角形類型四角平分線+平行線等腰三角形類型五角平分線+角平分線三角形內(nèi)心構(gòu)造構(gòu)造構(gòu)造構(gòu)造構(gòu)造類型一角平分線+邊的垂線雙垂直

如圖1,遇到角平分線上的點(diǎn)到角的一邊的垂線時(shí),一般過該點(diǎn)作另一邊的垂線,構(gòu)造雙垂直求解.構(gòu)造圖1專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想1.如圖2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,若CD=3,則點(diǎn)D到AB的距離DE是 (

)A.5 B.4 C.3 D.2圖2C專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想2.如圖3,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)是

.

圖3專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想3.如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=12,OC=9,連接AC.(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)為

;AC的長(zhǎng)度為

.

(2)若CD平分∠ACO,交x軸于點(diǎn)D,求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.圖4專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想解:(1)(12,9)

15專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想3.如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=12,OC=9,連接AC.(2)若CD平分∠ACO,交x軸于點(diǎn)D,求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.圖4專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想類型二角平分線+角平分線的垂線等腰三角形構(gòu)造圖5如圖5,當(dāng)題目中有垂直于角平分線的線段PA時(shí),通過延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B,構(gòu)造等腰三角形AOB求解.專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想4.如圖6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,則AE=

.

圖6專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想[答案]4

[解析]延長(zhǎng)BD,AC交于點(diǎn)F,∵AD平分∠BAC,AD⊥BD,∴∠ABF=∠AFB,BD=FD,BF=2BD.∵AD⊥BD,∠ACB=90°,∠AEC=∠BED,∴∠EAC=∠FBC.又∵AC=BC,∴△ACE≌△BCF,∴AE=BF=2BD=4.專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想5.如7,△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=10,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,BE⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CE,則△ACE的面積為

.

圖7專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想[答案]5專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想圖8專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想類型三見角平分線作對(duì)稱全等三角形構(gòu)造圖9如圖9,若P是∠MON平分線上一點(diǎn),點(diǎn)A是邊OM上任意一點(diǎn),可考慮在邊ON上截取OB=OA,連接PB,構(gòu)造△OPB≌△OPA,進(jìn)而將一些線段和角進(jìn)行等量代換,這是常用的解題技巧之一.專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴BC=CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE.∴∠CBE=∠CDE.又∵AB∥DC,∴∠APD=∠CDE.∴∠APD=∠CBE.7.如圖10,在菱形ABCD中,P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不與A,B重合,連接DP交對(duì)角線AC于E,連接BE.求證:∠APD=∠CBE.圖10專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想8.如圖11,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求證:AB=AC+CD.圖W2-11專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想類型四角平分線+平行線等腰三角形

當(dāng)題中同時(shí)出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí),注意找等腰三角形.一般地,角平分線、平行線、等腰三角形中任意兩個(gè)條件存在,可得第三個(gè)條件.如圖12,OP平分∠MON,PQ∥ON,則△OPQ為等腰三角形.圖12構(gòu)造專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想9.如圖13,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,則∠D的度數(shù)為 (

)A.50° B.60°C.70° D.100°圖13A專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想10.在△ABC中,D,E分別是邊AC,AB的中點(diǎn),連接BD.若BD平分∠ABC,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (

)A.BC=2BE B.∠A=∠EDAC.BC=2AD D.BD⊥ACC專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想11.如圖14,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,∠DCA的平分線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若AB=3,則AE=

.

圖14專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想12.在?ABCD中,AE平分∠BAD交邊BC于點(diǎn)E,DF平分∠ADC交邊BC于點(diǎn)F,若AD=11,EF=5,則AB=

.

專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想[答案]8或3[解析]①如圖①,在?ABCD中,∵BC∥AD,∴∠ADF=∠CFD.∵DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F,∴∠ADF=∠CDF,∴∠CFD=∠CDF,∴CF=CD.同理可證AB=BE.∴AB=BE=CF=CD.∵EF=5,BC=AD=11,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8.②如圖②,在?ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.故答案為8或3.①②專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想13.如圖15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,過D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,則DE=

.

圖15專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想14.如圖16,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥AC交BC于點(diǎn)E,DF∥BC交AC于點(diǎn)F.求證:四邊形DECF是菱形.圖16證明:如圖,∵DE∥AC,DF∥BC,∴四邊形DECF為平行四邊形,∠2=∠3.又∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴DE=EC,∴四邊形DECF為菱形.專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想15.如圖17,在△ABC中,AB>AC,E為BC邊的中點(diǎn),AD為∠BAC的平分線,過E作AD的平行線,交AB于F,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證:BF=AC+AF.圖17專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想類型五角平分線+角平分線三角形內(nèi)心圖18構(gòu)造專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想16.如圖19所示,△ABC的三邊AB,BC,CA的長(zhǎng)分別是20,30,40,三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形,則S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=

.

圖192∶3∶4專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想17.如圖20所示,已知△ABC的周長(zhǎng)是18cm,BO,CO分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于點(diǎn)D,若△ABC的面積為45cm2,則OD=

;若∠BOC=110°,則∠A=

°.

圖205cm40專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想圖21專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想[答案]C專題二關(guān)于角平分線的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想多邊形的面積是中小學(xué)數(shù)學(xué)中常接觸的教學(xué)內(nèi)容,利用面積求線段的長(zhǎng)度是一種重要的方法,這種題型中往往沒有提到面積,但面積是一個(gè)關(guān)鍵的隱含的等量關(guān)系,因此需要靈活掌握多邊形面積的求法,體會(huì)其內(nèi)在聯(lián)系.本專題講解關(guān)于面積的計(jì)算和應(yīng)用，具體如下：類型一一邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)的三角形面積的計(jì)算類型二三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸)的三角形面積的計(jì)算類型三借助面積求線段長(zhǎng)類型四借助面積證明線段間的關(guān)系類型五面積在綜合問題中的應(yīng)用專題三類型一一邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)的三角形面積的計(jì)算

直接使用三角形的面積公式S＝

AB·h，其中AB是三角形在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)的線段長(zhǎng)，h為AB邊上的高．有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三1.如圖，已知A(2，0)、B(5，0)、C(3，3)三點(diǎn)，則△ABC的面積是________．∵點(diǎn)A（2，0），B（5，0），C（3，3），∴AB=5-2=3，C到x軸的距離為：3，則△ABC的面積是：1/2×3×3=9/2故答案為：9/2．有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三2.如圖，直線

與x軸交于點(diǎn)A，與直線y＝2x交于點(diǎn)B，則△AOB的面積為________．

分析：

將二直線聯(lián)立成方程組解得B(1,2),B到X軸距離為2，AO=3,容易求的面積為3有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三3.(2019涼山州改編)如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)

的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)B，連接BC，則△ABC的面積等于________．4有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三類型二三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸)的三角形面積的計(jì)算S△ABC＝S△ABD＋S△BCD

＝

S△ABC＝S△ABD＋S△BCD

＝

有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三4.如圖，A、B是反比例函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2和4，則△OAB的面積是()A.4B.3C.2D.1B有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三5.(2018寧夏)拋物線

經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)和點(diǎn)B(0，3)，且這條拋物線的對(duì)稱軸為直線l，頂點(diǎn)為C.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接AB、AC、BC，求△ABC的面積．解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)和點(diǎn)B(0，3)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋x＋3；∴，解得，有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三(2)如解圖，過點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(0，3)的直線的表達(dá)式為y＝－x＋3，將拋物線的表達(dá)式配方，得y＝－(x－)2＋4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，4)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，2)，∴CD＝2，則BF＝OE.∵BF＋AE＝OE＋AE＝3，∴S△ABC＝CD·(BF＋AE)＝×2×3＝3.有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三類型一借助面積求線段長(zhǎng)6.已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4,則斜邊上的高為 (

)A.5 B.3 C.1.2 D.2.47.等腰三角形的腰長(zhǎng)是13,底邊長(zhǎng)是10,則腰上的高等于

.

8.等邊三角形的邊長(zhǎng)為6,內(nèi)部任意一點(diǎn)O到三邊的距離之和為

.

D有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三9.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,角平分線AD,BE相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O到AB邊的距離為

.

10.如圖,在菱形ABCD中,AE是菱形的高,若對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng)分別是12,16,則AE的長(zhǎng)是

.

29.6有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三類型二借助面積證明線段間的關(guān)系11.證明命題“等腰三角形兩腰上的高相等”,根據(jù)題意,畫出圖形,并用符號(hào)表示已知和求證,寫出證明過程.解:已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB,BD⊥AC.求證:CE=BD.證明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CE⊥AB,BD⊥AC,∴∠BEC=∠CDB.∵BC=CB,∴△BEC≌△CDB(AAS),∴CE=BD.有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三12.如圖,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P為BC上的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)分別作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分別為E,F.(1)若P為BC邊的中點(diǎn),則PE,PF,CD三條線段有何數(shù)量關(guān)系(寫出推理過程).(2)若P為線段BC上任意一點(diǎn),則(1)中關(guān)系還成立嗎?(3)若P為直線BC上任意一點(diǎn),則PE,PF,CD三條線段間有何數(shù)量關(guān)系(請(qǐng)直接寫出).有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三12.如圖,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P為BC上的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)分別作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分別為E,F.(2)若P為線段BC上任意一點(diǎn),則(1)中關(guān)系還成立嗎?有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三12.如圖,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P為BC上的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)分別作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分別為E,F.(3)若P為直線BC上任意一點(diǎn),則PE,PF,CD三條線段間有何數(shù)量關(guān)系(請(qǐng)直接寫出).有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三類型三面積在綜合問題中的應(yīng)用13.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2厘米/秒的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).(1)求線段CD的長(zhǎng);(2)當(dāng)t為何值時(shí),線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1∶2兩部分?有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三13.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2厘米/秒的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).(2)當(dāng)t為何值時(shí),線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1∶2兩部分?有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三14.如圖,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā),沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),點(diǎn)F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E,F出發(fā)后,連接EF,并將△AEF沿EF翻折,得到△DEF,設(shè)△AFD與△ABC重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(1)求證:四邊形AEDF是菱形;(2)當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí),求AF的長(zhǎng);(3)在點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三解:(1)證明:如圖①,∵點(diǎn)E,F的運(yùn)動(dòng)速度相同,∴AE=AF.∵△EFD是由△AEF翻折得到,∴AE=ED,AF=DF,∴AE=DE=DF=AF,∴四邊形AEDF是菱形.有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三14.如圖,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā),沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),點(diǎn)F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E,F出發(fā)后,連接EF,并將△AEF沿EF翻折,得到△DEF,設(shè)△AFD與△ABC重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(2)當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí),求AF的長(zhǎng);有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三14.如圖,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā),沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),點(diǎn)F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E,F出發(fā)后,連接EF,并將△AEF沿EF翻折,得到△DEF,設(shè)△AFD與△ABC重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(3)在點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.有關(guān)面積問題的聯(lián)想專題三有關(guān)面積問題的聯(lián)想五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四

三角形全等屬于中考的必考知識(shí)，為了在復(fù)習(xí)中更好掌握和快速解題達(dá)到高分，本節(jié)專題把大?？嫉哪Ｐ涂偨Y(jié)如下模型一平移模型模型二對(duì)稱模型

模型三三垂直型

模型四旋轉(zhuǎn)模型模型五半角模型模型一

平移模型例1如圖，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，點(diǎn)D、C在AF上，且AB＝DE.求證：AD＝CF.【找一找】已知結(jié)論BC∥EF①____________，②___________∠B＝∠DGC③______________∠F＝∠BCA∠E＝∠DGC∠E＝∠B例1題圖五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四證明：∵BC∥EF，∴∠F＝∠BCA，∠E＝∠DGC.∵∠B＝∠DGC，∴∠B＝∠E.又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC＝DF.∵AD＋CD＝CD＋CF，∴AD＝CF.五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四基本模型圖示

模型總結(jié)

有一組邊共線，另兩組邊分別平行，常要在移動(dòng)方向上加(減)公共線段，構(gòu)造線段相等，并利用平行線性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角相等.

五大常考的全等模型專題四針對(duì)訓(xùn)練第1題圖1.如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AD∥EC，∠AED＝∠B.(1)求證：△AED≌△EBC；(2)當(dāng)AB＝6時(shí)，求CD的長(zhǎng)．(1)證明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.∵E是AB中點(diǎn)，∴AE＝EB.∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC(ASA)；五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四(2)解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.∵AD∥EC，∴四邊形AECD是平行四邊形．∴CD＝AE.∵AB＝6，∴CD＝AB＝3.五大常考的全等模型專題四模型二對(duì)稱模型例2題圖例2如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接DA，DB，DC，若∠1＝∠2，則△ABD與△ACD全等嗎？請(qǐng)說明理由．【找一找】已知結(jié)論AB＝AC①_______________∠1＝∠2DB＝DC，②_______________∠ABC＝∠ACB∠ABD＝∠ACD五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四結(jié)論：△ABD與△ACD全等．理由如下：∵∠1＝∠2，∴DB＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2.∴∠ABD＝∠ACD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)五大常考的全等模型專題四基本模型圖示

模型總結(jié)所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，解題時(shí)要注意其隱含條件，即公共邊或公共角相等.

五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四針對(duì)訓(xùn)練第2題圖2.如圖，點(diǎn)E、F在BC上，AB＝DC，∠B＝∠C，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：________________________________________________，使△ABF≌△DCE.BE＝CF或BF＝CE或∠A＝∠D或∠AFB＝∠DEC

五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四3.

如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D，連接CD交OE于點(diǎn)F.求證：(1)OC＝OD；(2)△ECF≌△EDF.第3題圖證明：(1)∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝ED，∠ECO＝∠EDO＝90°.在Rt△COE和Rt△DOE中，∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)．∴OC＝OD；五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四(2)∵Rt△COE≌Rt△DOE，∴∠CEF＝∠DEF.在△ECF和△EDF中，∴△ECF≌△EDF(SAS)．五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四模型三三垂直型例3題圖例3如圖，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，點(diǎn)P在AB上，AD⊥CP交CP于點(diǎn)D，BE⊥CE交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂足分別為D，E，已知DC＝2，求BE的長(zhǎng)．【思維教練】已知DC的長(zhǎng)，求BE的長(zhǎng)，可通過證明△CBE和△ACD全等，根據(jù)同角的余角相等可得∠DAC＝∠BCE，從而利用AAS可證△CBE和△ACD全等．五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC.∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE.在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE(AAS)．∴BE＝CD＝2.五大常考的全等模型專題四基本模型圖示模型總結(jié)

有三個(gè)直角，常利用同角(等角)的余角相等證明角相等.

五大常考的全等模型專題四針對(duì)訓(xùn)練第4題圖4.

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E.求證：DE＝AD＋BE.證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACD＋∠BCE＝90°.∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD＝CE，DC＝EB.∵DE＝DC＋CE，∴DE＝BE＋AD.五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四模型四旋轉(zhuǎn)模型例4題圖類型一不共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型例4如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，AE∥DF，CE∥BF，AB＝CD.求證：△EAC≌△FDB.【找一找】已知結(jié)論AE∥DF①_____________CE∥BF②_____________AB＝CDAB＋BC＝BC＋CD?③________∠A＝∠D∠ACE＝∠DBFAC＝BD五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四證明：∵AE∥DF，CE∥BF，∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF.∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB.∴△EAC≌△FDB(ASA)．五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四基本模型圖示模型總結(jié)所給圖形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，一個(gè)三角形繞中心對(duì)稱點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則可得到另一個(gè)三角形，兩三角形有一組邊共線，構(gòu)造線段相等，并利用平行線性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角相等.五大常考的全等模型專題四類型二共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型(含手拉手模型)例5如圖，四邊形ABCD中，E點(diǎn)在AD上，∠BAE＝∠BCE＝90°，且BC＝CE，AB＝DE.求證：△ABC≌△DEC.【思維教練】題干已知BC＝CE，AB＝DE，∠BAE＝∠BCE＝90°，要證△ABC≌△DEC，只需證明∠B＝∠CED即可．例5題圖證明：∵∠BAE＝∠BCE＝90°，∴∠ABC＋∠AEC＝180°.∵∠AEC＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B.在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(SAS)．五大常考的全等模型專題四基本模型圖示1(無重疊)

圖示2(有重疊)

模型總結(jié)此模型可看成是由三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度所構(gòu)成的，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)三角形無重疊或有重疊，找等角或運(yùn)用角的和差得到等角．注：遇到共頂點(diǎn)，等線段，考慮用旋轉(zhuǎn).

五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四針對(duì)訓(xùn)練第5題圖5.

如圖，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，則∠BCA′的度數(shù)為()A.30°B.35°C.40°D.50°C五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四6.

如圖，已知AB∥CF，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，若AB＝BD＋CF.求證：△ADE≌△CFE.第6題圖證明：∵AB＝BD＋CF，AB＝BD＋AD.∴CF＝AD.∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F.在△ADE與△CFE中，∴△ADE≌△CFE(ASA)．五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四模型五半角模型例4題圖例6如圖，已知：正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°，求證：BE＋DF＝EF.【思維教練】延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，將BE，DF轉(zhuǎn)化在一條直線上，再證EF＝GF即可．五大常考的全等模型專題四∵∠EAF＝45°.∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠EAF＝∠GAF.在△AGF和△AEF中，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴EF＝GF.∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF.證明：如解圖，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠B.在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE.例6題解圖五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四基本模型圖示等邊三角形含半角(∠BDC＝120°)

等腰直角三角形含半角

五大常考的全等模型專題四圖示正方形含半角模型總結(jié)當(dāng)一個(gè)角包含著這個(gè)角的半角，常將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等.五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四針對(duì)訓(xùn)練第7題圖7.

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D和點(diǎn)E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，試猜想BD，DE，EC應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程．五大常考的全等模型專題四解:BD2＋CE2＝DE2.證明：∵AB＝AC，∴如解圖所示，把△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合，連接EG，∴AD＝AG，BD＝CG，∠B＝∠ACG，∠BAD＝∠CAG.在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴∠ECG＝∠ACB＋∠ACG＝∠ACB＋∠B＝45°＋45°＝90°.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠EAG＝∠CAE＋∠CAG＝∠CAE＋∠BAD＝90°－45°＝45°，∴∠DAE＝∠EAG，第7題解圖五大常考的全等模型專題四在△DAE和△GAE中，∴△DAE≌△GAE(SAS)，∴DE＝EG，在Rt△ECG中，EG2＝CE2＋CG2，即BD2＋CE2＝DE2.第7題解圖五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四綜合訓(xùn)練1.

如圖①，△ABD，△ACE都是等邊三角形，(1)求證：△ABE≌△ADC；(2)若∠ACD＝15°，求∠AEB的度數(shù)；(3)如圖②，當(dāng)△ABD與△ACE的位置發(fā)生變化，使C、E、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，

求證：AC∥BE.五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四1.(1)證明：∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°.∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC.∴∠DAC＝∠BAE.在△ABE和△ADC中，∴AB=AD∠DAC＝∠BAE

，AE=AC∴△ABE≌△ADC(SAS)；五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四(2)由(1)知△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD.∵∠ACD＝15°，∴∠AEB＝15°；(3)由(1)知：△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD.又∵∠ACD＝60°，∴∠AEB＝60°.∵∠EAC＝60°，∴∠AEB＝∠EAC.∴AC∥BE.五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四2.

如圖，在銳角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，在AD上取點(diǎn)E，使DE＝CD，連接BE.(1)求證：BE＝AC；(2)如圖②，在圖①的條件下，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM＝EF，連接CM，AM，若AC＝5，求CM的長(zhǎng)度．五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四(1)證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°.∴∠ABC＝∠BAD，∴AD＝BD.在△BDE和△ADC中，BD=AD∴△BDE≌△ADC(SAS)．∴BE＝AC；∠EDB＝∠CDA

DE=DC五大?？嫉娜饶Ｐ蛯ｎ}四(2)解：∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF.在△BEF和△CMF中，

BF=CF∠BFE＝∠CFMEF=MF∴△BEF≌△CMF(SAS)．∴BE＝CM，∠EBF＝∠BCM.由(1)知，BE＝AC，△BDE≌△ADC，∴AC＝CM，∠BED＝∠ACD.∴∠ACM＝∠ACD＋∠BCM＝∠BED＋∠EBF＝90°.∴在等腰Rt△ACM中，CM＝AC＝5.相似的基本模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一,是全等三角形的推廣,分析圖形間的關(guān)系離不開數(shù)量的計(jì)算.相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)(其他依據(jù)還有面積法,三角函數(shù)等),因此要掌握相似三角形的基本圖形,體會(huì)其各種演變和聯(lián)系.現(xiàn)將基本模型總結(jié)如下模型一A字型模型二

8字型模型三

一線三等角型(K型)專題五

相似的基本模型有一個(gè)公共角(∠A)，此時(shí)需要找另一對(duì)角相等．若題中未明確相似三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，則需要分類討論．(ⅰ)正A字型模型分析模型一A字型圖①【結(jié)論】如圖①，由DE∥BC得，△ADE∽△ABC，＝＝.專題五(ⅱ)反A共角型圖②【結(jié)論】如圖②，當(dāng)∠AED＝∠B(或∠ADE＝∠C)時(shí)，△ADE∽△ACB，＝＝；如圖③，∠C＝∠ADE＝90°，則△ADE∽△ACB，＝＝.圖③相似的基本模型圖②圖③專題五(ⅲ)反A共邊共角型圖④【結(jié)論】如圖④，當(dāng)∠ACD＝∠B(或∠ADC＝∠ACB)時(shí)，△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；如圖⑤，CD⊥AB，AC⊥BC，則△CAD∽△BCD，CD2＝AD·BD；△CDA∽△BCA，AC2＝AD·AB；△BCD∽△BAC，BC2＝BD·BA.(雙垂直型(影射型))圖⑤相似的基本模型圖④(雙垂直型(影射型))圖⑤專題五針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC.若AD＝1，BD＝2，則的值為（）A.B.C.D.第1題圖B2.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE＝________時(shí)，以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．或相似的基本模型專題五3.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AC上任意一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F.求證：BD·BC＝BF·BE.第3題圖相似的基本模型專題五3.證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠BDA＝90°.∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.∴＝.∴AB2＝BD·BC.∵∠BAC＝90°，AF⊥BE，∴∠BAC＝∠AFB＝90°.∵∠FBA＝∠ABE，∴△BAF∽△BEA，∴＝，∴AB2＝BF·BE.∴BD·BC＝BF·BE相似的基本模型專題五有一組已知的等角(對(duì)頂角)，此時(shí)需要從已知條件中、圖中隱含條件或通過證明得另一對(duì)角相等．若題中未明確相似三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，則需要分類討論．(ⅰ)正8字型模型分析模型二

8字型圖①【結(jié)論】如圖①，由AB∥CD得，△ABO∽△DCO，＝＝.相似的基本模型專題五(ⅱ)斜8字型(蝴蝶型)圖②【結(jié)論】如圖②，當(dāng)∠A＝∠C(或∠B＝∠D)時(shí)，△ABO∽△CDO，＝＝.相似的基本模型專題五(ⅲ)燕尾型圖③【結(jié)論】如圖③，當(dāng)∠A＝∠C(或∠ABF＝∠CDF)時(shí)，△ADE∽△CBE，

＝＝；△ABF∽△CDF，＝＝.相似的基本模型專題五(ⅳ)三平行型圖④【結(jié)論】如圖④，由AB∥EF∥DC得，△AFB∽△CFD，＝＝；△CEF∽△CBA，＝＝；△BEF∽△BCD，＝＝；＋＝.注意：∵＋＝＋＝＝＝1，∴＋＝.相似的基本模型專題五針對(duì)訓(xùn)練4.如圖，點(diǎn)E、F分別在菱形ABCD的邊AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若＝2，則的值為________．第4題圖相似的基本模型專題五5.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D為BC上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E.(1)求證：△ADC∽△BEC；(1)證明：∵在四邊形ABDE中，∠ABD＋∠AED＝180°，∴∠BAE＋∠BDE＝180°.∴點(diǎn)A、B、D、E四點(diǎn)共圓．∴∠DAE＝∠DBE.又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC；第5題圖相似的基本模型專題五(2)若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB＝4，求BE的長(zhǎng)．(2)解：∵AB＝4，∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝4.∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝DC＝2.在Rt△ABD中，AD＝＝2.在Rt△CDE中，∠C＝30°，C