2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三2010-2022歷年真題選編帶答案難題含解析

2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三2010-2022歷年真題選編帶答案難題含解析（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共75題)1.若A，B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則______。

A．P(AB)≤P(A)P(B)

B．P(AB)≥P(A)P(B)

C．

D．2.設(shè)A，B是n階正交矩陣，且|A|/|B|=-1，證明|A+B|=0．3.4.5.設(shè)，則y'=______．6.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，則對(duì)任意常數(shù)a，有______。A.F(a+μ)+F(a-μ)=1B.F(μ+a)+F(μ-a)=1C.F(a)+F(-a)=1D.F(a-μ)+F(μ-a)=17.設(shè)曲線y=，則下列說(shuō)法正確的是______．A.沒有漸近線B.有一條漸近線C.有二條漸近線D.有三條漸近線8.設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則該方程的通解為______．A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=19.設(shè)三階方陣A，B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA，且則B=______。10.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，令Y=4X-3，則E(Y)=______，D(Y)=______．11.設(shè)則______A.M＞N＞KB.M＞K＞NC.K＞M＞ND.K＞N＞M12.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上可導(dǎo)，且y=f(x)的圖形如下，

則f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖形為

A．

B．

C．

D．13.若隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，且服從相同的兩點(diǎn)分布服從______分布，E(X)=______，D(X)=______．14.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的分布函數(shù)分別為F1(x)，F(xiàn)2(x)，為使得F(x)=aF1(x)+bF2(x)為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則有______．

A．

B．

C．

D．15.設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程求f(u)。16.設(shè)x+y+z=exy，求17.從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且遇到紅燈的概率為．設(shè)X表示途中遇到紅燈的次數(shù)，則E(X)=______．18.19.20.21.22.將一枚均勻硬幣連擲三次，以X表示三次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對(duì)值，求(X，Y)的聯(lián)合分布律．23.f(x)=sint2dt，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是x的n階無(wú)窮小，則n=______．24.求的和．25.26.27.設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩為2，且矩陣A滿足A2+A=O，則與A相似的矩陣是

A．

B．

C．

D．28.29.已知矩陣，那么下列矩陣中

(1)，

(2)，

(3)，

(4)，

與矩陣A相似的矩陣個(gè)數(shù)為______A.1．B.2．C.3．D.4．30.31.32.求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)．33.設(shè)α1=(1，-1，1，0)T，α2=(1，1，-1，0)T，α3=(-1，1，1，k)T，則α1，α2，α3______A.兩兩正交．B.線性相關(guān)．C.線性無(wú)關(guān)．D.相關(guān)與否與k值有關(guān)．34.35.下列命題正確的是______．

A．若f(x)在x0處可導(dǎo)，則一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ內(nèi)f(x)可導(dǎo)

B．若f(x)在x0處連續(xù)，則一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ內(nèi)f(x)連續(xù)

C．若存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)

D．若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在x0處連續(xù)，且存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且36.37.38.設(shè)f(x)有一個(gè)原函數(shù)則39.若函數(shù)F(x)=x3+9x2+24x+k的極大值是負(fù)數(shù)，則參數(shù)k取值的區(qū)間是______．40.已知二次型

(1)寫出二次型-廠的矩陣表達(dá)式；

(2)用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣．41.設(shè)n為自然數(shù)，試證：42.二次積分可以寫成

A．

B．

C．

D．43.設(shè)X1，X2，…，X9是來(lái)自正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，

證明：統(tǒng)計(jì)量Z服從自由度為2的t分布．44.設(shè)z=f(u)存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并設(shè)復(fù)合函數(shù)在x＞0處滿足

求f'(u)及f(u)的一般表達(dá)式．45.某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，售價(jià)分別為p1，p2；銷售量分別為q1，q2；需求函數(shù)分別為

q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2，

總成本函數(shù)為

C=35+40(q1+q2)．

試問：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，才能使所獲得利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?46.曲線y=f(x)(x≥0，y≥0)連續(xù)且單調(diào)，從其上任一點(diǎn)A作x軸與y軸的垂線，垂足分別是B和C，若由直線AC，y軸和曲線本身包圍的圖形的面積等于矩形OBAC的面積的，求曲線的方程。47.48.已知微分方程y"+ay'+by=cex的通解為y=(C1+C2x)e-x+ex，則a，b，c依次為______A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，449.50.51.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且(常數(shù))，b＜0．又方程f(x)=0的全部實(shí)根為x1＜x2＜…＜xn，試證明f'(x1)≥0，f'(xn)≤0．52.53.54.55.56.57.設(shè)A為n階矩陣，下列結(jié)論正確的是______．

A．矩陣A的秩與矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)相等

B．若A～B，則矩陣A與矩陣B相似于同一對(duì)角陣

C．若r(A)=r＜n，則A經(jīng)過有限次初等行變換可化為

D．若矩陣A可對(duì)角化，則A的秩與其非零特征值的個(gè)數(shù)相等58.59.設(shè)矩陣A滿足A2+A-4E=O，其中E為單位矩陣，則(A-E)-1=______．60.隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，概率密度為f(x)，a為常數(shù)，則不能將概率密度設(shè)成______A.f(x+a)．B.af(ax)．C.f(-x)．D.2f(x)F(x)．61.甲、乙、丙廠生產(chǎn)產(chǎn)品所占的比重分別為60%，25%，15%，次品率分別為3%，5%，8%，求任取一件產(chǎn)品是次品的概率．62.四階矩陣A和B滿足2ABA-1=AB+6E，若，則B=______．63.曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為______

A．

B．

C．

D．64.設(shè)f(x)連續(xù)，且積分的結(jié)果與x無(wú)關(guān)，求f(x)．65.66.求二階常系數(shù)線性微分方程y"+λy'=2x+1的通解，其中λ為常數(shù)．67.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域Ⅰ上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意x0∈Ⅰ，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與直線x=x0及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且f(0)=2，求f(x)表達(dá)式。68.設(shè)二維隨機(jī)變(X，Y)的概率密度則對(duì)x＞0，fY|X(y|x)=______．69.曲線的漸近線A.只有水平?jīng)]有斜的．B.只有斜的沒有水平的．C.既有水平又有斜的．D.沒有水平也沒有斜的．70.y"+4y=cos2x的通解為y=______．71.設(shè)b＞a＞0，證明：72.設(shè)總體X的概率密度為

且X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．

(Ⅰ)確定常數(shù)a；

(Ⅱ)求λ的最大似然估計(jì)量；

(Ⅲ)判定(Ⅱ)中求出的估計(jì)量是否為λ的無(wú)偏估計(jì)量．73.設(shè)A是n階矩陣，r(A)=n-r．又Ax=b有α1，α2，…，αr，αr+1共r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)解．

證明Ax=b的任一解均可由α1，α2，…，αr，αr+1線性表出．74.兩個(gè)無(wú)窮小量比較的結(jié)果是______A.同階B.高階C.低階D.不確定75.設(shè)矩陣有一個(gè)特征值是3，求y，并求可逆矩陣P，使(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣。第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：C[考點(diǎn)]概率的基本性質(zhì)。[解析]由于ABA，ABB，根據(jù)概率的基本性質(zhì)，有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B)，從而，故選C項(xiàng)。2.參考答案：[證]因?yàn)锳，B為正交矩陣，所以

AAT=ATA=E，BBT=BTB=E．

于是

|(A+B)AT|=|AAT+BAT|=|E+BAT|

=|BBT+BAT|=|B(BT+AT)|=|B(A+B)T|，

即

|A+B||A|=|B||A+B|，(|A|-|B|)|A+B|=0．

因?yàn)閨A|/|B|=-1，所以|A|-|B|≠0，從而有|A+B|=0．[解析]A，B為正交矩陣，即AAT=ATA=E，BBT=BTB=E．3.參考答案：-14.參考答案：(-27,5)5.參考答案：[解析]6.參考答案：B[考點(diǎn)]正態(tài)分布

[解析]因?yàn)閄～N(μ，σ2)，所以F(a+μ)+F(μ-a)===1，選B。7.參考答案：C[解析]利用漸近線的下述定義求之：

若f(x)=c，則y=c為曲線y=f(x)的水平漸近線；

若f(x)=∞，則x=x0為曲線y=f(x)的鉛直漸近線；

若，，則y=ax+b為斜漸近線．

因?yàn)橛谑牵瑇=0是曲線的一條鉛直漸近線．

又因?yàn)椋?/p>

于是，y=x是曲線的一條斜漸近線．又因?yàn)?/p>

故曲線再無(wú)其他漸近線．由此可知C正確，其他結(jié)論均不正確．8.參考答案：D[解析]因?yàn)棣?(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無(wú)關(guān)解，

所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)為方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，

于是方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解為

C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)

即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，選D．9.參考答案：[解析]在等式A-1BA=6A+BA兩端右乘A-1，可得A-1B=6E+B，在該等式兩端左乘A，可得B=6A+AB，則有(E-A)B=6A，即B=6(E-A)-1A，且

所以10.參考答案：5

32[解析]因?yàn)閄～P(2)，所以E(X)=D(X)=2，

于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32．11.參考答案：C[解析]由于而

由定積分的性質(zhì)，可知

即K＞M＞N．故C選項(xiàng)正確．12.參考答案：B[解析]由函數(shù)y=f(x)的圖形知f(x)＞0，且曲線y=f(x)由單調(diào)減少變?yōu)閱握{(diào)增加而后再變?yōu)閱握{(diào)減少，從而，它的導(dǎo)函數(shù)的取值應(yīng)由負(fù)變正，并再由正變負(fù)，這表明f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖形不可能是A與C．

當(dāng)x＞0時(shí)y=f(x)的圖形是由凸變凹，對(duì)應(yīng)的y=f'(x)的圖形應(yīng)是由遞減到遞升．因此f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖形應(yīng)為B．故應(yīng)選B．13.參考答案：B(Y，p)，EX=0.6，DX=0.48．14.參考答案：D[解析]根據(jù)性質(zhì)F(+∞)=1，得正確答案為D．15.參考答案：解：由題意

代入方程中，得到f"(u)-f(u)=0，解得

f(u)=C1eu+C2e-u，其中C1，C2為任意常數(shù)。16.參考答案：[解]方程x+y+z=exy兩邊微分，得

dx+dy+dz=exy(ydx+xdy)，即dz=(yexy-1)dx+(xexy-1)dy，

故

因?yàn)榉匠剃P(guān)于x，y對(duì)稱，所以

所以17.參考答案：[解析]顯然，則．18.參考答案：19.參考答案：20.參考答案：21.參考答案：22.參考答案：[解]因?yàn)?X，Y)的所有可能取值為(0，3)，(1，1)，(2，1)，(3，3)，于是由二項(xiàng)概率公式易得

即(X，Y)的分布律為

[解析]顯然X的可能取值為0，1，2，3，而Y的可能取值為1，3，然后利用二項(xiàng)分布計(jì)算概率．23.參考答案：6[解析]可用下述結(jié)論觀察求出，也可利用n階無(wú)窮小定義求出．

當(dāng)f(x)連續(xù)且x→a時(shí)，f(x)是x→a的n階無(wú)窮小量，g(x)是x-a的m階無(wú)窮小量，則當(dāng)x→a時(shí)，必為x-a的n+1階無(wú)窮小量，必為x-a的(n+1)m階無(wú)窮小量．

解一

因sinx2是x-0=x的2階無(wú)窮小量，1-cosx～x2/2為x的2階無(wú)窮小量，則x→0時(shí)，為x的(2+1)×2=6階無(wú)窮小量，即n=6．

解二

因而n=6．24.參考答案：本題考查數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和，需要通過轉(zhuǎn)化成函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和后，再代值回去，是典型考研題．

記．其收斂區(qū)間均為(-1，1)．

所以25.參考答案：[解析]

26.參考答案：27.參考答案：C[解析]本題求A的相似矩陣．首先要清楚二次型的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，而實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，且與其特征值為主對(duì)角線上元素的對(duì)角矩陣相似；另外要清楚可對(duì)角化的矩陣的秩等于其非零特征值的個(gè)數(shù)(重根計(jì)重?cái)?shù))，那么問題便轉(zhuǎn)化為求矩陣A的特征值上來(lái)了．這是求抽象矩陣的特征值問題——見到n階矩陣A的多項(xiàng)式方程f(A)=O，就知A的特征方程為f(λ)=0.

解設(shè)λ是矩陣A的任意一個(gè)特征值，α是相應(yīng)的特征向量，即Aα=λα．用α右乘題設(shè)等式條件，得

A2α+Aα=0，

即有(λ2+λ)α=0．因α≠0，故有λ2+λ=0，從而λ=0或λ=-1．又由矩陣A的秩為2可知，矩陣A的特征值為0，-1，-1，實(shí)對(duì)稱矩陣A必與以它的特征值0，-1，-1為主對(duì)角線元素的對(duì)角矩陣相似．

注實(shí)對(duì)稱矩陣與以其特征值為主對(duì)角線元素的對(duì)角矩陣也是合同的．28.參考答案：29.參考答案：C[解析]二階矩陣A有兩個(gè)不同的特征值1和3，因此A～Λ=，那么只要和矩陣A有相同的特征值它就一定和Λ相似，也就一定與A相似．

(1)與(2)分別是上三角與下三角矩陣，特征值是1和3，所以它們均與A相似，又

可見(4)亦與A相似．而(3)與A不相似

相似的必要條件是有相同的特征值，故知(3)與A不相似．但特征值相同時(shí)，矩陣不一定相似．例如與．請(qǐng)?jiān)袤w會(huì)本題中為何說(shuō)與A有相同特征值就一定與矩陣A相似．30.參考答案：31.參考答案：A32.參考答案：[解]由得R=+∞，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-∞，+∞)．

33.參考答案：C[解析]因?yàn)棣?，α2，α3為線性無(wú)關(guān)向量增加分量所得的向量，所以α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，故C正確．34.參考答案：35.參考答案：D[解析]令，由，得f(x)在x=0處可導(dǎo)(也連續(xù))．

對(duì)任意的a≠0，因?yàn)椴淮嬖冢詅(x)在x=a處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，即x=0是f(x)唯一的連續(xù)點(diǎn)和可導(dǎo)點(diǎn)，A，B不對(duì)；

令顯然，因?yàn)?，所以f(x)在x=0處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，C不對(duì)；

因?yàn)閒(x)在x0處連續(xù)且在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，所以由微分中值定理有f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)或者，其中ξ介于x0與x之間，兩邊取極限得存在，即f(x)在x0處可導(dǎo)，且，選D．36.參考答案：37.參考答案：-138.參考答案：[解析]由題設(shè)可知由分部積分法得

(1)當(dāng)定積分中出現(xiàn)抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般借助微分的運(yùn)算法則f'(x)dx=df(x)，通過分部積分法計(jì)算。

(2)通過牛頓-萊布尼茨公式求不定積分就變成了求f(x)的原函數(shù)F(x)。39.參考答案：[解析]因?yàn)镕'(x)=3x2+18x+24=3(x2+6x+8)=3(x+2)(x+4)，

從而可列表如下：

由此可見函數(shù)F(x)的極大值為F(-4)=-16+k，要使極大值為負(fù)數(shù)必須且只需k＜16，即k取值的區(qū)間是(-∞，16)．40.參考答案：(1)f的矩陣表達(dá)式為

(2)二次型的矩陣陣為

A的特征方程為

由此得A的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=-6．對(duì)應(yīng)的特征向量為

對(duì)應(yīng)的單位特征向量為

由此可得正交矩陣

對(duì)二次型f作正交變換

則二次型f可以化為如下標(biāo)準(zhǔn)形

[解析]化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形常用兩種方法：正交變換法和配方法．但要注意的是用配方法得到的標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)不一定為二次型相應(yīng)矩陣的特征值．

[考點(diǎn)提示]這是二次型的一個(gè)常規(guī)題，注意不要出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤．41.參考答案：【證】右端不等式等價(jià)于證明

即

設(shè)則

又

故當(dāng)x＞0時(shí)，有

從而，當(dāng)x＞0時(shí)，f'(x)單調(diào)增，且當(dāng)x→+∞時(shí)，f'(x)趨于零，所以，當(dāng)x＞0時(shí)，f'(x)＜0．進(jìn)而知當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)單調(diào)減，且當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)趨于零，于是，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0．所以，對(duì)一切自然數(shù)n，恒有f(n)＞0，故有

從而右端不等式成立．

類似地，引入輔助函數(shù)

類似可證明：當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＜0，從而對(duì)一切自然數(shù)n，左端不等式成立．42.參考答案：D[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))．[解析]由題意，積分區(qū)域在直角坐標(biāo)系表示為

即是由與y軸圍成的圖形(如右圖)．它在極坐標(biāo)系表示為43.參考答案：[證明]設(shè)X～N(μ，σ2)，則

由于Y1和Y2相互獨(dú)立，可知E(Y1-Y2)=0．

由正態(tài)總體樣本方差的性質(zhì)，可知由于Y1，Y2，S2相互獨(dú)立，可見Y1-Y2與S2獨(dú)立．于是，由服從t分布隨機(jī)變量的結(jié)構(gòu)，易知

44.參考答案：[解]由，有

所以

令，原方程化為(1+u2)f"+2uf'=0．

這是關(guān)于f'的一階線性方程(或變量分離方程)，即

(1+u2)(f')'+2u(f')=0．

解得

再積分，得f(u)=C1arctanu+C2其中C1，C2為任意常數(shù)．45.參考答案：[解]因?yàn)閝1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2，

所以

C=35+40(q1+q2)=1395-8p1-2p2，

總利潤(rùn)函數(shù)

解方程組

這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，且只有一個(gè)駐點(diǎn)，故可知當(dāng)兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)分別為p1=80，p2=120時(shí)廠家可獲得最大利潤(rùn)，其值為

46.參考答案：(1)如圖7所示，當(dāng)f(x)單調(diào)增加時(shí)，在曲線上任取點(diǎn)A(a，f(a))，由題意得

即

兩邊對(duì)a求導(dǎo)得

3f(a)=2f(a)+2af'(a)

化簡(jiǎn)得

積分得

于是所求曲線方程為(其中c為任意不為零常數(shù)).

(2)如圖8所示，當(dāng)f(x)單調(diào)減少時(shí)，有

化簡(jiǎn)求導(dǎo)得

積分得

于是所求曲線方程為(c為任意不為零常數(shù))。47.參考答案：48.參考答案：D[解析]由條件知特征根為λ1=λ2=-1，特征方程為(λ-λ1)(λ-λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=ex為特解，代入得c=4，選D．49.參考答案：B50.參考答案：51.參考答案：[證]

首先證明：當(dāng)x＜x1或x＜xn都必有f(x)＜0．

用反證法，若存在x0＜x1其函數(shù)值f(x0)＞0，則由于，由極限保號(hào)定理，至少有一X＜x0，使f(X)＜0，于是在閉區(qū)間[X，x0]上函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(X)與f(x0)異號(hào)，由零點(diǎn)定理，方程f(x)=0在區(qū)間(X，x0)內(nèi)至少存在一個(gè)根，與題設(shè)條件矛盾，因而，當(dāng)x＜x1時(shí)f(x)＜0．同理可證當(dāng)x＞xn時(shí)也有f(x)＜0．

考慮f(x)在點(diǎn)x1處的左導(dǎo)數(shù)(點(diǎn)xn處的右導(dǎo)數(shù))

由于x1+Δx＜x1，所以f(x1+Δx)＜0，又Δx＜0，故f'-(x1)≥0．

又因f(x)處處可導(dǎo)，故f'(x1)≥0，

同理可證f'(xn)≤0．52.參考答案：53.參考答案：C54.參考答案：．

交換積分次序：

[注]為以a＞0為半徑在第一象限中的圓的面積，利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分是一種“技巧”．55.參考答案：D56.參考答案：57.參考答案：D[解析]A不對(duì)，如A的兩個(gè)特征值都是0，但r(A)=1；

B不對(duì)，因?yàn)锳～B不一定保證A，B可以對(duì)角化；

C不對(duì)，如A經(jīng)過有限次行變換化為經(jīng)過行變換不能化為

因?yàn)锳可以對(duì)角化，所以存在可逆矩陣P，使得于是r(A)=故選D．58.參考答案：59.參考答案：[解析]矩陣A的元素沒有給出，因此用伴隨矩陣、用初等行變換求逆的路均堵塞．應(yīng)當(dāng)考慮用定義法．

因?yàn)?A-E)(A+2E)-2E=A2+A-4E=0，

故

按定義知60.參考答案：B[解析]f(x)成為概率密度的充要條件是

(1)f(x)≥0；(2)

不難驗(yàn)證，A、B、C項(xiàng)都滿足這兩條充要條件．

由于a是常數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)，af(ax)≤0，條件(1)不成立．

或者當(dāng)a=0時(shí)，，條件(2)不成立．故只能選B．61.參考答案：解

令A(yù)1={抽取到甲廠產(chǎn)品}，A2={抽取到乙廠產(chǎn)品}，A3={抽取到丙廠產(chǎn)品}，B={抽取到次品}，P(A1)=0.6，P(A2)=0.25，P(A3)=0.15，

P(B|A1)=0.03，P(B|A2)=0.05，P(B|A3)=0.08，

由全概率公式得

P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.6×0.03+0.25×0.05+0.15×0.08=4.25%62.參考答案：[解析]化簡(jiǎn)矩陣方程，左乘A-1、右乘A有

于是B(2E-A)=6E

所以B=6(2E-A)-1=

二階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律：主對(duì)角線對(duì)調(diào)，副對(duì)角線變號(hào)，即

因此二階矩陣求逆用是簡(jiǎn)捷的．

對(duì)于分塊矩陣，要會(huì)用兩個(gè)公式

另外kA=[kaij]不要出錯(cuò)．不要與行列式性質(zhì)混淆．63.參考答案：C[解析]由于所求平面圖形在x軸上、下方各有一部分，其面積為這兩部分的面積之和，所以只要考察B、C兩個(gè)選項(xiàng)中的每一部分是否均為正即可，顯然C項(xiàng)正確。事實(shí)上，

64.參考答案：令，

即

于是原等式變?yōu)?/p>

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

f'(x)+f(x)=0，

特征方程λ+1=0，λ=-1，故f(x)=Ce-x(C為任意常數(shù))．65.參考答案：66.參考答案：解：對(duì)應(yīng)齊次方程y"+λy'=0的特征方程r2+λr=0的特征根為r=0或，r=-λ．

(1)當(dāng)λ≠0時(shí)，y"+λy'=0的通解為y=C1+C2e-λx．

設(shè)原方程的特解形式為y*=x(Ax+B)，代入原方程，比較同次冪項(xiàng)的系數(shù)，解得

故原方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)．

(2)當(dāng)λ=0時(shí)，y"=2x+1，積分兩次得方程的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù)．67.參考答案：解：曲線的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切線與x軸的交點(diǎn)為，故由切線、直線x=x0及x軸所圍成區(qū)域的面積為：=4，故f(x)滿足的方程為f2(x)=8f'(x)，此為可分離變量的微方程，即，

積分得，又由于f(0)=2，帶入可得C=-4，從而。[考點(diǎn)]微分方程的求解。68.參考答案：[解析]由f(x，y)的表達(dá)式知X與Y相互獨(dú)立，且關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣概率密度分別為

由此可知，當(dāng)x＞0時(shí)，由fX(x)＞0知69.參考答案：C[解析]

有一條水平漸近線(沿x→-∞方向)．又

所以又有一條沿x→+∞方向的斜漸近線．70.參考答案：sin2x+C1cos2x+C2sin2x，其中C1與C2是兩個(gè)任意常數(shù)．[解析]y"+4y=cos2x對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程是r2+4=0．它的兩個(gè)特征根為r1,2=±2i．

因此對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y=C1cos2x+C2sin2x．

又因±ωi=±2i是特征方程的根，所以，應(yīng)設(shè)非齊次方程的特解為

y*=x(Acos2x+Bsin2x)，

則(y*)'=x(-2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，

(y')"=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x．

將上