中考數學提升練習專題(十二)與圓的切線有關的計算與證明

專題提升(十二)與圓的切線有關的計算與證明類型之一與切線的性質有關的計算或證明【經典母題】如圖Z12－1，⊙O的切線PC交直徑AB的延長線于點P，C為切點，若∠P＝30°，⊙O的半徑為1，則PB的長為__1__．圖Z12－1經典母題答圖【解析】如答圖，連結OC.∵PC為⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圓的切線，可得切線垂直于過切點的半徑；(2)已知圓的切線，常作過切點的半徑，得到切線與半徑垂直．【中考變形】[2017·天津]已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，∠ABT＝50°，BT交⊙O于點C，E是AB上一點，延長CE交⊙O于點D.(1)如圖Z12－2①，求∠T和∠CDB的大?。?2)如圖②，當BE＝BC時，求∠CDO的大小．圖Z12－2解：(1)如答圖①，連結AC，∵AT是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；中考變形答圖①中考變形答圖②(2)如答圖②，連結AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考預測】[2017·宿遷]如圖Z12－3，AB與⊙O相切于點B，BC為⊙O的弦，OC⊥OA，OA與BC相交于點P.(1)求證：AP＝AB；(2)若OB＝4，AB＝3，求線段BP的長．圖Z12－3中考預測答圖解：(1)證明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答圖，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝eq\r(32＋42)＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.在Rt△POC中，PC＝eq\r(OC2＋OP2)＝2eq\r(5)，∵eq\f(1,2)PC·OH＝eq\f(1,2)OC·OP，∴OH＝eq\f(OP·OC,PC)＝eq\f(4\r(5),5)，∴CH＝eq\r(OC2－OH2)＝eq\f(8\r(5),5)，∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝eq\f(16\r(5),5)，∴BP＝BC－PC＝eq\f(16\r(5),5)－2eq\r(5)＝eq\f(6\r(5),5).類型之二與切線的判定有關的計算或證明【經典母題】已知：如圖Z12－4，A是⊙O外一點，AO的延長線交⊙O于點C，點B在圓上，且AB＝BC，∠A＝30°，求證：直線AB是⊙O的切線．圖Z12－4經典母題答圖證明：如答圖，連結OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵OB為⊙O半徑，∴AB是⊙O的切線．【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法“作半徑，證垂直”或者“作垂直，證半徑”．【中考變形】1．[2016·黃石]如圖Z12－5，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上(異于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．圖Z12－5中考變形1答圖解：(1)∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)證明：如答圖，連結OC，∵AC是∠DAB的平分線，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直線CD是⊙O的切線．2．[2017·南充]如圖Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，E為BC的中點，連結DE并延長交AC的延長線點F.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直徑的長．圖Z12－6中考變形2答圖【解析】(1)連結OD，欲證DE是⊙O的切線，需證OD⊥DE，即需證∠ODE＝90°，而∠ACB＝90°，連結CD，根據“等邊對等角”可知∠ODE＝∠OCE＝90°，從而得證；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立關于半徑的方程求解．解：(1)證明：如答圖，連結OD，CD.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E為BC的中點，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切線；(2)設⊙O的半徑為x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直徑為6.【中考預測】如圖Z12－7，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC.(1)求證：DE與⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝eq\r(10)，求⊙O的半徑．圖Z12－7中考預測答圖解：(1)證明：如答圖，連結OD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；(2)如答圖，連結BD，過點D作DH⊥BF于點H.∵DE與⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵