中考數(shù)學(xué)壓軸題(重疊面積問題)

leizi例1:在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=6cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點(diǎn)重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，t秒時(shí)梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米（1）當(dāng)t=4時(shí)，求S的值（2）當(dāng)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值25．（1）t＝4時(shí),Q與B重合，P與D重合，重合部分是＝例2：如圖，直線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于D．（1）當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化？并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？（3）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為，正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與的函數(shù)關(guān)系式并畫出該函BxyMBxyMCDOABxyOABxyOA解：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 則：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四邊形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8∴當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8；（2）根據(jù)題意得：S四邊形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4∴四邊形OCMD的面積是關(guān)于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x（0<x<4）的二次函數(shù)，并且當(dāng)x＝2，即當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4；（3）如圖10（2），當(dāng)時(shí)，；如圖10（3），當(dāng)時(shí)，；∴S與的函數(shù)的圖象如下圖所示：002·4··2·4S的函數(shù)關(guān)系式并畫出該函數(shù)的圖象．∴綜上所述，S的最大值是，此時(shí)t的值是。例6：如圖，已知直線交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形，過點(diǎn)的拋物線與直線另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）若正方形以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點(diǎn)落在軸上時(shí)停止．設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為，求關(guān)于滑行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍；（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)停止，求拋物線上兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積．備用圖備用圖（14分）（1）；…………………2分（2）設(shè)拋物線為，拋物線過，解得…………………2分∴．……………1分（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖1，圖1∵，圖1∴∴∴；……2分②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸上時(shí)，，圖2當(dāng)時(shí)，如圖2，圖2∴∴，∵，∴；…………（2分）③當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸上時(shí)，，當(dāng)時(shí)，如圖3，圖3∵，圖3∴，∵，∽∴，∴，∴=．……（2分）（解法不同的按踩分點(diǎn)給分）（4）∵,,∴………………（2分）==．……………（1分）圖圖4例7:如圖，已知直線與直線相交于點(diǎn)分別交軸于兩點(diǎn)．矩形的頂點(diǎn)分別在直線上，頂點(diǎn)都在軸上，且點(diǎn)與點(diǎn)重合．（1）求的面積；（2）求矩形的邊與的長；（3）若矩形從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸的反方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值范圍．（1）解：由得點(diǎn)坐標(biāo)為由得點(diǎn)坐標(biāo)為∴ （2分）由解得∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3分）∴ （4分）（2）解：∵點(diǎn)在上且∴點(diǎn)坐標(biāo)為 （5分）又∵點(diǎn)在上且∴點(diǎn)坐標(biāo)為全 （6分）∴ （7分）（3）解法一：當(dāng)時(shí)，如圖1，矩形與重疊部分為五邊形（時(shí)，為四邊形）．過作于，則AADBEORFxyyM（圖3）GCADBEOCFxyyG（圖1）RMADBEOCFxyyG（圖2）RM∴即∴∴即 （10分）（2013?玉林壓軸題）如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知A（﹣1，0）．（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；（3）將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．解答：解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線y=﹣（x﹣1）2+c上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．（2）△CDB為直角三角形．理由如下：由拋物線解析式，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．如答圖1所示，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N，則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC===；在Rt△CND中，由勾股定理得：CD===；在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD===．∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3，直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到，∴直線QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；設(shè)直線BD的解析式為y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：m=﹣2，n=6，∴y=﹣2x+6．連接CQ并延長，射線CQ交BD于點(diǎn)G，則G（，3）．在△COB向右平移的過程中：（I）當(dāng)0＜t≤時(shí)，如答圖2所示：設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F，則：，解得，∴F（3﹣t，2t）．S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=PE?PQ﹣PB?PK﹣BE?yF=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t?2t=t2+3t；（II）當(dāng)＜t＜3時(shí)，如答圖3所示：設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J．∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．直線BD解析式為y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，∴J（t，6﹣2t）．S=S△PBJ﹣S△PBK=PB?PJ﹣PB?PK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）2=t2﹣3t+．綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=．（2013?鄂州壓軸題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），線段M1N1平移至線段MN處（注：M1與M，N1與N分別為對應(yīng)點(diǎn)）．（1）若M（﹣2，5），請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．（2）在（1）問的條件下，點(diǎn)N在拋物線上，求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式．（3）在（2）問條件下，若拋物線頂點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)C（0，m）是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，線段EC與線段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．（4）在（3）問條件下，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)（即BP長為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時(shí)的△ABP面積的，求此時(shí)BP的長度．解答：解：（1）由于圖形平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)的平移規(guī)律相同，由點(diǎn)M到點(diǎn)M′可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)減5，縱坐標(biāo)加3，故點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．N（0，2）；（2）∵N（0，2）在拋物線y=x2+x+k上∴k=2∴拋物線的解析式為y=x2+x+2（3）∵y=x2+x+2=（x+2）2∴B（﹣2，0）、A（0，2）、E（﹣，1）∵CO：OF=2：∴CO=﹣m，F(xiàn)O=﹣m，BF=2+m∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=∴（2+m）（﹣m+1）=整理得：m2+m=0∴m=﹣1或0∵m＜0∴m=﹣1（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===∴∠ABO=30°，AB=2AO=4①當(dāng)∠BPE＞∠APE時(shí)，連接A1B則對折后如圖2，A1為對折后A的所落點(diǎn)，△EHP是重疊部分．∵E為AB中點(diǎn)，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S△EHP=S△ABP∴=S△EHP=S△BHP=S△ABP∴A1H=HP，EH=HB=1∴四邊形A1BPE為平行四邊形∴BP=A1E=AE=2即BP=2②當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意；③當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)．則對折后如圖3，A1為對折后A的所落點(diǎn)．△EHP是重疊部分∵E為AB中點(diǎn)，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S△EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP∴BH=HP，EH=HA1=1又∵BE=EA=2∴EHAP，∴AP=2在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．∴∠APB=90°，∴BP=，綜合①②③知：BP=2或；（2013浙江麗水12分）如圖1，點(diǎn)A是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（1）當(dāng)時(shí)，求CF的長；（2）①當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上？②設(shè)△BCE的面積為S，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，△CDF沿軸左右平移得到△C’D’F’，再將A，B，C’，D’為頂點(diǎn)的四邊形沿C’F’剪開，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，請直接寫出所有符合上述條件的點(diǎn)C’的坐標(biāo)。（2013浙江麗水12分）如圖1，點(diǎn)A是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（1）當(dāng)時(shí)，求CF的長；（2）①當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上？②設(shè)△BCE的面積為S，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，△CDF沿軸左右平移得到△C’D’F’，再將A，B，C’，D’為頂點(diǎn)的四邊形沿C’F’剪開，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，請直接寫出所有符合上述條件的點(diǎn)C’的坐標(biāo)。解：（1）當(dāng)時(shí)，OA=2，∵點(diǎn)B，∴OB=4．又∵，AB=2AC，可證RT?ABO∽RT?CAF．∴，即．（2）=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，∵RT?ABO∽RT?CAF，∴，AF=2，∴FD=2，．∵點(diǎn)C落在線段BD上，∴RT?CFD∽RT?BOD，∴，整理得，解得：，（舍去）．∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上．=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，CF=4，可得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）