【高中數(shù)學(xué)】直線的點(diǎn)斜式方程學(xué)案 2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.推導(dǎo)并掌握直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程.2.能正確利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式公式求直線方程.3.體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)解析式的關(guān)系.自主預(yù)習(xí)1.直線的點(diǎn)斜式方程名稱點(diǎn)斜式方程已知條件直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率為k示意圖方程形式

適用條件

2.直線在y軸上的截距定義:直線l與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的.

符號:.

3.直線的斜截式方程名稱斜截式方程已知條件斜率k和直線在y軸上的截距b示意圖方程形式

適用條件

課堂探究問題1:在平面直角坐標(biāo)系中給定一個點(diǎn)P(x0,y0)和斜率k就能唯一確定一條直線,則直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)與點(diǎn)P0的坐標(biāo)(x0,y0)和斜率k之間的關(guān)系是,變形可得.

問題2:由推導(dǎo)過程可知,因點(diǎn)P的任意性,直線上每一個點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足關(guān)系式,反過來是否有滿足關(guān)系式的每一個點(diǎn)都在直線上?直線的點(diǎn)斜式方程:方程由直線上一個定點(diǎn)(x0,y0)及該直線的斜率k確定,我們把它叫做直線的點(diǎn)斜式方程,簡稱點(diǎn)斜式.

追問1:直線的點(diǎn)斜式方程能表示所有的直線嗎?名稱已知條件示意圖方程適用范圍點(diǎn)斜式追問2:當(dāng)直線的斜率不存在,即傾斜角為90°時,直線的圖象形式與直線的方程是怎樣的呢?【學(xué)以致用】例1直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(-2,3),且傾斜角α=45°,求直線l的點(diǎn)斜式方程,并畫出直線l.變式訓(xùn)練已知直線l的點(diǎn)斜式方程為y+2=x-1,那么此直線的斜率是,傾斜角是.

問題3:當(dāng)直線過y軸上一點(diǎn)P0(0,b),且斜率為k時,請試著寫出該直線的點(diǎn)斜式方程.直線的斜截式方程:方程由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定,我們把方程y=kx+b叫做直線的斜截式方程,簡稱斜截式.

追問:斜截式方程的截距是距離嗎?【學(xué)以致用】例2已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.試討論:(1)l1∥l2的條件是什么?(2)l1⊥l2的條件是什么?當(dāng)堂專練1.過點(diǎn)(-3,2),傾斜角為60°的直線方程為()A.y+2=3(x-3)B.y-2=33(x+C.y-2=3(x+3)D.y+2=33(x+2.直線y=ax-1a的圖象可能是(3.若直線y-2m=m(x-1)與y=x-1垂直,則直線y-2m=m(x-1)過點(diǎn)()A.(-1,2) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2)4.與直線y=2x+1垂直,且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是()A.y=12x+4 B.y=2x+C.y=-2x+4 D.y=-12x+5.直線l1:y=k1x+b1與l2:y=k2x+b2的位置關(guān)系如圖所示,則有()A.k1<k2,且b1<b2 B.k1<k2,且b1>b2C.k1>k2,且b1>b2 D.k1>k2,且b1<b26.如果直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,-1),且它的傾斜角是直線y=x+2的傾斜角的2倍,那么直線l的方程是.

7.已知過點(diǎn)A(-2,m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-1nx-1n.若l1∥l2,l2⊥l3,則m+n的值為8.若直線l1:y=3x+2a與直線l2:y=(a2+2a)x+2平行,則a=.

9.求傾斜角是直線y=-3x+1的傾斜角的14,且分別滿足下列條件的直線方程(1)經(jīng)過點(diǎn)(3,-1);(2)在y軸上的截距是-5.10.求經(jīng)過點(diǎn)(3,4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.11.求經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2)并且和x軸的正半軸、y軸的正半軸所圍成的三角形的面積是1的直線方程.參考答案自主預(yù)習(xí)1.y-y0=k(x-x0)斜率存在2.截距可正,可負(fù),也可為零3.y=kx+b斜率存在課堂探究問題1:k=y-y0x-x0問題2:若點(diǎn)P1(x1,y1)的坐標(biāo)x1,y1滿足關(guān)系式y(tǒng)-y0=k(x-x0),則y1-y0=k(x1-x0).(1)當(dāng)x1=x0時,y1=y0,這時點(diǎn)P1與P0重合,顯然有點(diǎn)P1在直線l上;(2)當(dāng)x1≠x0時,有k=y1-y0x1-x0,這表明過點(diǎn)P1因?yàn)閘,l1的斜率都為k且都過點(diǎn)P0,所以它們重合.所以,點(diǎn)P1在直線l上.直線的點(diǎn)斜式方程:y-y0=k(x-x0)追問1:點(diǎn)斜式應(yīng)用的前提是直線的斜率存在,若斜率不存在,則不能應(yīng)用此式.名稱已知條件示意圖方程適用范圍點(diǎn)P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直線追問2:l與x軸垂直,傾斜角為90°,斜率k不存在,此時直線l與y軸平行或重合,不能用點(diǎn)斜式求方程,又因?yàn)檫@時直線l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0,所以有x-x0=0,即x=x0.例1解∵k=tan45°=1,∴y-3=x-2.取x=-1,則y=4,過P0,P1兩點(diǎn)的直線即為所求,如圖所示.變式訓(xùn)練145°問題3:y-b=k(x-0),即y=kx+b.直線的斜截式方程:y=kx+b追問:不是,截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).例2(1)l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1與l2重合?k1=k2,b1=b2;(2)l1⊥l2?k1k2=-1.當(dāng)堂專練1.C解析因?yàn)橹本€的傾斜角為60°,所以其斜率k=tan60°=3,由直線方程的點(diǎn)斜式可得方程為y-2=3(x+3).2.B解析由y=ax-1a可知,斜率和截距必須異號,故B正確3.C解析由兩直線垂直得m=-1,把m=-1代入y-2m=m(x-1)得過點(diǎn)(1,-2).故選C.4.D解析因?yàn)樗笾本€與y=2x+1垂直,所以設(shè)直線方程為y=-12x+b.又因?yàn)橹本€在y軸上的截距為4,所以直線的方程為y=-12x+5.A解析設(shè)直線l1,l2的傾斜角分別為α1,α2.由題圖可知90°<α1<α2<180°,所以k1<k2,又b1<0,b2>0,所以b1<b2.故選A.6.x=1解析直線y=x+2的傾斜角是45°,從而直線l的傾斜角是90°,其斜率k不存在,直線l的方程是x=1.7.-10解析∵l1∥l2,∴kAB=4-mm+2=-2,又∵l2⊥l3,∴-1n×(-2)=-1,解得n=-∴m+n=-10.8.-3解析因?yàn)閘1∥l2,所以a2+2a=3,且2a≠2,解得a=-3,所以a=-3時兩直線平行.9.解∵直線y=-3x+1的斜率k=-3,∴其傾斜角α=120°.由題意,得所求直線的傾斜角α1=14α=30°故所求直線的斜率k1=tan30°=33(1)∵所求直線經(jīng)過點(diǎn)(3,-1),斜率為33∴所求直線方程是y+1=33(x-3)(2)∵所求直線的斜率是33,在y軸上的截距為-∴所求直線的方程為y=33x-510.解設(shè)所求直線的方程為y=kx+b,由題意知k≠0,所以直線在x軸上的截距為-bk,由題意知-bk又因?yàn)橹本€過(3,4),所以4=3k+b,所以-解得b故所求的直線方程為4x-3y=