第40講 軌跡方程求解方法（原卷版）

10/10第40講軌跡方程求解方法【高考地位】求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的問題之一，是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎。這類題目把基本知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融為一體。因而也是歷年高考所要考查的重要內容之一。方法一直接法萬能模板內容使用場景可以直接列出等量關系式解題模板第一步根據(jù)已知條件及一些基本公式（兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線斜率公式等。）第二步根據(jù)公式直接列出動點滿足的等量關系式，從而得到軌跡方程。例1在平面直角坐標系中，動點與兩點的連線的斜率之積為，則點的軌跡方程為（）A.B.C.D.【變式演練1】（多選）（2021·廣東深圳·高三月考）已知的兩個頂點的坐標分別是，且所在直線的斜率之積等于且斜率之差等于，則正確的是（）A．當時，點的軌跡是雙曲線.B．當時，點在圓上運動.C．當時，點所在的橢圓的離心率隨著的增大而增大.D．無論n如何變化，點的運動軌跡是軸對稱圖形.例2設過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點．若＝2，且·＝1，則點P的軌跡方程是（）A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)【變式演練2】已知點M到點的距離比到點M到直線的距離小4；求點M的軌跡的方程；方法二定義法萬能模板內容使用場景軌跡符合某一基本軌跡的定義解題模板第一步根據(jù)已知條件判斷動點軌跡的條件符合哪個基本軌跡（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）第二步直接根據(jù)定義寫出動點的軌跡方程。例3已知兩圓，動圓在圓內部且和圓相內切，和圓相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）A.B.C.D.【變式演練1】已知點，直線，點是直線上動點，若過垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡是（）雙曲線B、拋物線C、橢圓D、圓例2已知定點F（3，0）和動點P（x，y），H為PF的中點，O為坐標原點，且滿足．求點P的軌跡方程；【變式演練2】（2021·寧波市北侖中學高三開學考試）已知定點，動點Q在圓O：上，PQ的垂直平分線交直線OQ于M點，若動點M的軌跡是雙曲線，則m的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5方法三相關點法（代入法）萬能模板內容使用場景動點依賴于已知曲線上的另一個動點運動解題模板第一步判斷動點隨著已知曲線上的一個動點的運動而運動第二步求出關系式第三步將點的坐標表達式代入已知曲線方程例4已知,分別在軸和軸上運動，為原點，,點的軌跡方程為（）.A.B.C.D.【變式演練1】【名師聯(lián)盟2020屆高三下學期5月聯(lián)考文科數(shù)學】已知，兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足，動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知過點的直線與曲線交于，兩點，問：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由.例5如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，M為CD的中點．（Ⅰ）求點M的軌跡方程；（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)，使，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；【變式演練2】已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的動點，則線段中點的軌跡方程是（）A.B.C.D.方法四參數(shù)法萬能模板內容使用場景動點的運動受另一個變量的制約時解題模板第一步引入?yún)?shù)，用此參數(shù)分別表示動點的橫縱坐標；第二步消去參數(shù)，得到關于的方程，即為所求軌跡方程。例6、已知過點的直線與圓相交于、兩點，若，則點的軌跡方程是（）A.B.C.D.【變式演練】（多選）（2021·肥城市教學研究中心）已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（）A．弦的中點軌跡是圓B．直線的交點在定圓上C．線段長的最大值為D．的最小值方法五交軌法萬能模板內容使用場景涉及到兩曲線的交點軌跡問題解題模板第一步解兩曲線方程組得到第二步消去動曲線中的參數(shù)。例7、【甘肅省武威第六中學2020屆高三下學期第六次診斷考試】已知拋物線：，過點的動直線與拋物線交于不同的兩點、，分別以、為切點作拋物線的切線、，直線、交于點.（1）求動點的軌跡方程；（2）求面積的最小值，并求出此時直線的方程.【變式演練】已知正方形的四個頂點分別為，，，，點，分別在線段，上運動，且，設與交于點，則點的軌跡方程是（）.A.B.C.D.【高考再現(xiàn)】1．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線3．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ））已知點A，B關于坐標原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．（2）是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．4．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ））已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.5、【2017課標II，理】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。求點P的軌跡方程；(2)設點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。6．【2016高考新課標3理數(shù)】已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．（I）若在線段上，是的中點，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.7、【2011年湖北高考理科第19題】（本小題滿分13分）如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.（Ⅰ）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄€的方程；（Ⅱ）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、.若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.【反饋練習】1．【河南省新鄉(xiāng)市2021屆高三第一次模擬考試數(shù)學（理科）】如圖，已知正方體的棱長為3，點在棱上，且，是側面內一動點，，則的最小值為（）A． B．C． D．2．（2021·全國高三專題練習（理））已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線3．（多選）（2021·江蘇南通·高三模擬預測）已知點A的坐標為，點B的坐標為，直線AP與BP相交于點P，且它們的斜率之積為非零常數(shù)m，那么下列說法中正確的有（）A．當時，點P的軌跡加上A，B兩點所形成的曲線是焦點在x軸上的橢圓B．當時，點P的軌跡加上A，B兩點所形成的曲線是圓心在原點的圓C．當時，點P的軌跡加上A，B兩點所形成的曲線是焦點在y軸上的橢圓D．當時，點P的軌跡加上A，B兩點所形成的曲線是焦點在x軸上的雙曲線4．（2021·浙江省普陀中學高三開學考試）如圖，設圓，現(xiàn)將半圓所在平面沿軸折起（坐標軸不動），使之與半平面成的二面角，若點為半圓上的動點，則點在半圓所在平面上的射影的軌跡方程為____．5．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為棱AB與上的點，且，則EF的中點P的軌跡為L，則L的長度為____________.6．（2021·重慶）在三棱錐中，，二面角的大小為，在側面內(含邊界)有一動點，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動點的軌跡的長度為__________．7．（2021·浙江高三模擬預測）已知為平面內一定點且，平面內的動點滿足：存在實數(shù)，使，若點的軌跡為平面圖形，則的面積為___________.8．（2021·山西高三三模（文））已知圓和圓，過點P（x，y）分別作的切線PA，PB，其中A，B為切點，且，則動點P的軌跡方程為___________．9．（2021·江蘇高三開學考試）若點A(－1，0)，B(1，0)，P滿足，則點P的軌跡C的方程為＝_______，設M，N是軌跡C與x軸的兩個交點，則△PMN面積的最大值為_______．10．【2020屆廣東省東莞市高三下學期4月模擬自測】在平面直角坐標系xOy中，已知圓，圓心，點E在直線上，點P滿足，，點P的軌跡為曲線M．（1）求曲線M的方程．（2）過點N的直線l分別交M于點A、B，交圓N于點C、D（自上而下），若、、成等差數(shù)列，求直線l的方程．11．【安徽省淮南市2020屆高三下學期第二次模擬考試】在平面直角坐標系中，動點到直線的距離與到定點的距離之比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線交軌跡于，兩點，線段的中垂線與交于點，與直線交于點，設直線的方程為，請用含的式子表示，并探究是否存在實數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.12．【2020屆廣東省汕頭市高三第二次模擬數(shù)學（理）】在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，已知是以為底邊，且邊平行于軸的等腰三角形.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知直線交軸于點，且與曲線相切于點，點在曲線上，且直線軸，點關于點的對稱點為點，試判斷點、、三點是否共線，并說明理由.13.【2020年浙江省名校高考預測沖刺卷】如圖，已知拋物線，直線交拋物線于，兩點，是拋物線外一點，連接，分別交拋物線于點，，且．（Ⅰ）若，求點的軌跡方程；（Ⅱ）若，求面積的最小值．14．【四川省雅安市2020屆高三第三次診斷】在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足直線MP與直線NP的斜率之積為.記動點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過點作直線與曲線C交于不同的兩點A，B，試問在x軸上是否存在定點Q，使得直線QA與直線QB恰好關于x軸對稱?若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.15．【甘肅省蘭州市第一中學2020屆高三沖刺模擬考試（三）】已知圓，圓，如圖，C1，C2分別交x軸正半軸于點E，A．射線OD分別交C1，C2于點B，D，動點P滿足直線BP與y軸垂直，直線DP與x軸垂直．

（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過點E作直線l交曲線C與點M，N，射線OH⊥l與點H，且交曲線C于點Q．問：的值是否是定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由．16．（2021·全國高三模擬預測）在平面直角坐標系中，，