理工編微積分上課后習(xí)題答案

aaxayaz),bbxbybz為實(shí)數(shù)ab(axbx,ayby,azbzaa(ax,ay,az給定點(diǎn)A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2 AB{x2x1,y2y1,z2z1 例.設(shè)向 AB8i9j12k,其中A的坐為217求B的坐標(biāo) B的坐標(biāo)就是OB的坐標(biāo)OBOAAB=(2,-1,7)+(8,9,-12)=(10,8,-即B的坐標(biāo)為108-(ax,ay,az b(b,

,b) bxbbxbyaybza b b bx

例.已知兩 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)及實(shí)數(shù)在ABMAMMB解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y,z),如圖所 AM AMOM MBOB 1OMOA(OBOM 1

(OAOBB (x,y,z)

(x1x2,y1y2,z1z2 例.A(x1y1z1B(x2y2z2及實(shí)數(shù)在AB直線上求一點(diǎn)M,使AMMB (x,y,z)

(x1x2,y1y2,z1z2MB當(dāng)1時(shí),點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)于是 中點(diǎn) ,xx1,2

yy1 ,2,

2BM已知點(diǎn)A(7,－4,－4)和點(diǎn)B(－2,－1,2向量aaAOB的角平分線，且|a

| 6,求a.解: |OA| |OB|

7,4,

––→ { {,,

→ ––→

1,7, 6 2OA1→1a 6{

{ 9} , 66 , 66

a,b

O

作OAaOBb

=∠AOB

≤)

a,

A

(a,b)

(b

) B(0,

可在0和間任取向量與坐標(biāo)軸的夾角:向量與坐標(biāo)軸正方向的夾角x,yz)0

,,r

zozoryxcos rcos rcos rcos2cos2cos2cos2cos r

cos r

zzro 與r同方向的單位向量 r

(cos,cos,cos 是前者的兩倍，且|a|=2，求此向量的坐標(biāo) 設(shè)此向量的方向角為,,.由題意2 2 (02又 cos2cos2cos22cos2cos221, cos2cos22a a可 或 于

→cos0,cos0,cos cos ,cos ,cos 例. 設(shè)向量a與x軸及y軸的夾角相等,而與z軸的夾角是前者的兩倍，且|a|=2，求此向量的坐標(biāo).解 于

cos0,cos0,cos cos ,cos ,cos a因此→a或

a|a|(cos,cos,cos)(0,0,a→ 2,a向量acaA和終點(diǎn)分別作與c所在直線垂直的平面與直線交 在數(shù),使稱是向量a在向量上的投影

c性質(zhì) (a)|a|cos(a,cc 性質(zhì)

(a

c c 性質(zhì) (a)(a) 3579、1011設(shè)a1,a2,b1, abab

b1

第六第六的直線移動(dòng),位移為s,則力F所做的功為W

s

MWF向量a與WF ab|a||b| (內(nèi)積a0時(shí)aabaPrjaaaaaab為兩個(gè)非零向量ab a交換律abb (a)ba(b)(ab分配律abcacb事實(shí)上c0時(shí)當(dāng)c0

Prj

b) c

a

b cc

Prjca

cPrjcbacb設(shè)aaxi jazk,bbxi jbzk,ab(axi jazk)(bxi jbzkiijjkk ijjkkiabaxbxaybyazbzb2b2當(dāng)a,b為非零向量時(shí),由于ab bb2b2a2a2cos aa2a2

axbxaybyazbzaabaxbxaybyazbz例設(shè)3，5,當(dāng)實(shí)數(shù)k

時(shí), baabbaab 已知a{1,1,4}，b{1,2,2}，求ab；（2）a與b的夾角；（3）a在b上的投影 ab111(2)(4)2cos1

axbxaybya2a2xy2azb2xy2bz

4 a

|Prj

Prj

a

|b例

(a,b)3

,a

4,求向量

例在xoy面上求一單位向量與向量

4i

c 垂直 3 設(shè)所求向量為b（x,y,,因?yàn)樵趚oy面上,故z 由已知得a

4x3y|b|2x2y2解得x3y4或x3y45

3

或(53

4, , 引例.點(diǎn)電荷在磁場中的受力情帶電量為+qv

q

BsinF

F vB vF 定義向 的向量積為ca||||||||||b|

ca

且 c

ab|a

|表示

cacaa的平行四邊形的面積aaa,b為非零向量,則ab a∥運(yùn)算 abb分配律abcacb結(jié)合律ababab設(shè)aaxiayjazk bbxibyjxab(aiajak)(bx

i

j

iijjkkijk jki kijjik kji ikj(aybz azby)i axbz)j(axby aybxab(aybzazby)i(azbxaxbz)(axbyaybx)aaxazjaak abax ay 求與

3i2j4kbij2k都垂a直的單位向量 cab

10j5k102cijk31102cijk3114c.k c.k 2 j 5|c5

求以

|a 3,|

,b)

- 面積A=

2b

-3b

3ab

||a| a| 36