概率統(tǒng)計講課稿第一章(第二節(jié))古典概率

1第一章隨機(jī)事件的概率第二節(jié)概率的定義及性質(zhì)1、古典概率的定義與計算；2、幾何概率的定義與計算；3、概率的公理化定義；。4、認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象的概率觀例。所謂隨機(jī)事件的概率,概括地說就是用來描述隨機(jī)事件出現(xiàn)(或發(fā)生)的可能性大小的數(shù)量指標(biāo).2其實(shí)概率的思想術(shù)語在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常出現(xiàn).對未來的不確定事件,我們經(jīng)說有把握、希望、機(jī)會有多大,高考上線率,各種升學(xué)率等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門學(xué)科。到目前為至，人們已發(fā)現(xiàn)了許數(shù)學(xué)上只能對簡單的隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行概率定義,復(fù)雜的隨機(jī)現(xiàn)象有待于研究.隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中既可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，似乎無什如果在相同的條件下，把一個試驗(yàn)重復(fù)做許多次，我們一定會發(fā)現(xiàn)，某些事件發(fā)生的次數(shù)多一些，3而另一些事件發(fā)生的次數(shù)少一些。表現(xiàn)出一定的規(guī)律性。例如買彩票時投注號碼，有極少一部分人能預(yù)次，毫無疑問，事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”比事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”發(fā)生的次數(shù)會多得多。那么，發(fā)生次數(shù)多的事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大一些，而發(fā)生次數(shù)少的事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性小一些。問題是：如何度量事件發(fā)生可能 (1)數(shù)P(A)的大小表示事件A發(fā)生(2)P(A)是事件A所固有的，不隨人們主觀意志而改變的一種度4那么數(shù)P(A)稱為事件A的概率。它是事件A發(fā)生可能性的度量。在本節(jié)中，我們首先介紹一類最簡單的概率模型，然后逐步引出如果試驗(yàn)E的樣本空間S只包Seee}，12n并且每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即P(e)=P(e)=^=P(e)，則稱這12n種試驗(yàn)為古典型隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱古5下面我們來討論古典概型中事件A的概率P(A)。考慮一個具體的例子：投擲一顆勻稱的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。易知S={e,e,^,e},126其中e表示出現(xiàn)i點(diǎn),i=1,2,^,6。i由于骰子是勻稱的，所以每個基本i考慮事件A={e,e,e}。因?yàn)槭录?46A包含的基本事件的個數(shù)等于基本事件總數(shù)的一半，并且每個基本事262件的個數(shù)除以基本事件總數(shù)所得的3=62件的個數(shù)除以基本事件總數(shù)所得的6定義2：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間S={e,e,^,e}，并且每個基本事件發(fā)12n12n即P(e)=P(e)=^=P(12n稱P(A)=P(A)==,A。即事件A的概率等于事件A所包含的基本事件的個數(shù)(它們的出A現(xiàn)對的出現(xiàn)有利,因此習(xí)慣上稱為AA的有利事件,或有利場合)與基本A概率的這種定義稱為概率的古典定義。這樣定義的概率稱為古典7n(3)若事件A,A,^,A互不相容，2m則(4)P(A)=1P(A),P(A)=1P(A).證：(1)因?yàn)槿我皇录嗀所包含故;(2)由于必然事件S包含了全部n個基本事件，所以n;8(3)設(shè)事件A含有k(0kn)iii個基本事件，由定義得in,P(A)=kii=1,2,^in,2miii=1i=1因此P(mA)==mki=mP(A),inni性質(zhì)(3)稱為概率的有限可加性。(4)因?yàn)锳與A互不相容,1=P(S)=P(A+A)=P(A)+P(A),所以P(A)=1P(A),P(A)=1P(A).9排列數(shù)記號Ak=Pk=n.(n1)^(n(k1)),nn全排列數(shù)記號PAnnn.(n1)^2.1,nn組合數(shù)記號Ck=A=Ann=n.(n1)^(n(k1)).nAkAk.Ankk!kknk求解古典概型問題的關(guān)鍵是弄清楚樣本空間中的基本事件的總數(shù)和對所求概率事件有利的基本事件個數(shù).在弄清楚基本事件個數(shù)的時侯,必須分清楚所研究的問題是組合問題還是排列問題.先掌握以下關(guān)于排列組合的知識.1.乘法原理設(shè)完成一件事有n個步驟,第一步有m種方法,第二步有m種方2n通過每一步驟,才算完成這件事,則完成這件事共有m.m.^.m種方法.2.加法原理設(shè)完成一件事有k類方法,每類分別有m,m,^,m種方法,而完成這k件事只需一種方法,則完成這件事可以有m+m+^+m種方法.12k3.不同元素的選排列從n個不同的元素中,無放回(1mn),稱為從n個不同的元素Am=n.(n1)^(nm+1)(或nn當(dāng)m=n時,稱n個不同的元素的全排列,共有An=P=n!=n.(n1)^2.1種.nn4.不同元素的重復(fù)排列從n個不同的元素中,有放回地取出m個元素排成一列,稱為重復(fù)排列,共有nm種.5.組合m(1mn)個元素組成一組(而不考慮元素間的次序),稱為一個組合,共有Cm種.且nnn1n16.不全相異元素的排列在n個元素中,有m類不同元素,每類各有k,k,^,k個,將這nm個元素排成一列,共有2m7.n個不同元素分為k組,各組元素數(shù)目分別為r,r,^,r的分法總12kn!r+r+^+r=n(r!.r!^r!),12k,因?yàn)镃Cr^Ck=n!(r!.r!^r!),1k12kk.如果k個組之間不分次序,則總數(shù)為n!(k!.r!.r!^r!).8.環(huán)排列m(1mn)個不同元素排成一個圓環(huán)排列,共有種.古典概率計算舉例3個白球。從中任取兩個，試求(1)取到兩個紅球的概率；(2)取到兩法為一基本事件，所有不同取法的總數(shù)就是基本事件總數(shù)。于是基本事件總數(shù)為C2。由于兩個紅球只能85=P(A)==!287=8!2“取到兩個同顏色球”意味著：或者“取到兩個紅球”或者“取到兩3由概率的有限可加性及定義得=+3=+=+3=+=.8N件次品。從中任意取n件，求恰好k恰有k件次品”,從M+N件產(chǎn)品中任意抽取n全部不同的抽取方法的總數(shù)即為基本事件總數(shù)。所以基本事件總數(shù)為Cn。由于所取k件次品必須在N件NM事件Ak故由概率的古典定義得M+N本不同的物理書和2本不同的英語書隨意地擺放在書架的同一層。試求(1)5本數(shù)學(xué)書沒有兩本放在一起的概率；(2)恰有3本數(shù)學(xué)書放放在一起”,共有P=A10=10!種，故基本事件總數(shù)10放現(xiàn)。首55一放在相鄰兩本非數(shù)學(xué)書之間和兩端的六個位置中的任A5意五個位置上，共有A5數(shù)學(xué)書沒有兩本放在一起的所有不同放法有P.A5種。即事56件A含有P.A5個基本事件。由56概率定義得PAPA21.65432=1;P109876!42A(2)恰有3本數(shù)學(xué)書放在一起書放在一起，另兩本不放在一起；放在一起。對于第一種情形，可以分兩步來實(shí)現(xiàn)。首先將5本非數(shù)學(xué)APP33本數(shù)學(xué)書固定一種5排列方式并將它們當(dāng)做一本和余下的2本數(shù)學(xué)書逐一放在相鄰的兩本非數(shù)學(xué)書之間和兩端的六個位置中的任意三個位置33P的3本數(shù)6學(xué)書有種不同的排列方P起的放法共有(PC3A3).P種。5563(PC3A2).PP種。故由加法原理知，55632恰有3本數(shù)學(xué)書放一起的所有不同556355632即事件B含有PC3(A3+A2P)P個基本事件。再由古典概率定義得55662件。再由古典概率定義得P(B)===5.P14下三冊)和7本其它書任意擺放在書架的同一層.求(1)三本概率書擺放在一起的概率;(2)恰兩本概率書擺放在一起序擺放在一起的概率.解次序擺放在一起”,(三本概率書放在一起作為一本和置).率書放在一起按上、中、下或下、中、上放在8個位置中的任一個位置).例5(1)某校一年級新生共1000人,設(shè)每人的生日是一年中的任何一天的可能性相同,問至少有一人的生日是元旦這一天的概率是年出生的,設(shè)每人在一年中任何一生月份各不相同的概率.解(1)設(shè)A=至少有一人的生日是元旦這一天,則A=沒有一人的生日是元旦這一天,天P(A)=(2)設(shè)B=此5人的出生月份各不相同,P(BP(B)=12A。例6設(shè)一袋中有n個白球和m個黑球,現(xiàn)在從中無放回接連抽取N個球,求第i次取時得黑球的概率(1iNn+m).解設(shè)A=“第i次取時得黑i顯然P(A)=m,把n個白球和m個黑球看作是各不相同,樣本空間考慮前N次摸球.那么,樣本點(diǎn)總數(shù)就是從n+m個球中任取N個球的排列數(shù),即AN,而n+mi其中第個位置上排黑球的排法是從iim個黑球中任取一個,排在第個位i置上,再從余下的n+m1個球中任取