2023年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納(全國(guó)通用版)：專題03 手拉手模型（從全等到相似）（原卷版）

專題03手拉手模型（從全等到相似）全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解讀】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（等腰）（等邊）（等腰直角）公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得。1．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.圖1

圖22．（2022·黑龍江·中考真題）和都是等邊三角形．(1)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接BD，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A重合），有（或）成立；請(qǐng)證明．(2)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．3．（2022·吉林·九年級(jí)期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，此時(shí)，成立．（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說明理由；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．模型2.手拉手模型（旋轉(zhuǎn)相似模型）【模型解讀與圖示】旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.1．（2022·四川達(dá)州·中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．3．（2022·山東·東營(yíng)市一模）【提出問題】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．（2022·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)期末）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且．?dāng)?shù)學(xué)思考：(1)在圖1中，的值為；(2)圖1中△ABC保持不動(dòng)，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，連接BD，CE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；(3)拓展探究：在圖2中，延長(zhǎng)BD，分別交AC，CE于點(diǎn)F，P，連接AP，得到圖3，探究∠APE與∠ABC之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)若將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖4的位置，連接BD，CE，延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，BP交AC于點(diǎn)F，則（3）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出∠APE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系．課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長(zhǎng)線上，且AP的長(zhǎng)為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．（2022·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖②，當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OB=4，ON=3，請(qǐng)直接寫出線段BN的長(zhǎng)．4．（2022·山西朔州·九年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)課上老師出了這樣一道題：如圖1，在中，，求的長(zhǎng)．(1)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，勤奮小組經(jīng)過思考后，發(fā)現(xiàn)：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，利用直角三角形的性質(zhì)即可求解，請(qǐng)你根據(jù)勤奮小組的思路，求的長(zhǎng)；(2)探究拓展：如圖3，縝密小組的同學(xué)在勤奮小組的啟發(fā)下，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，連接，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，請(qǐng)你判斷四邊形的形狀并證明；(3)奇異小組的同學(xué)把圖3中的繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接，發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)度在不斷變化，直接寫出的最大值和最小值．5．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長(zhǎng)AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結(jié)果）6．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的中點(diǎn)，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關(guān)系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng)；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出EC的長(zhǎng)．7．（2022·廣東·惠州一中八年級(jí)期中）為等邊三角形，，于點(diǎn)．為線段上一點(diǎn)，．以為邊在直線右側(cè)構(gòu)造等邊．連結(jié)，為的中點(diǎn)．（1）如圖1，與交于點(diǎn)，①連結(jié)，求線段的長(zhǎng)；②連結(jié)，求的大?。?）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．為線段的中點(diǎn)．連結(jié)、．當(dāng)時(shí)，猜想的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論．8．（2022?新鄉(xiāng)中考模擬）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，請(qǐng)?zhí)剿鹘獯鹣铝袉栴}．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，點(diǎn)D，E分別在CA，AB上，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是，直線CD與BE的夾角為；【類比探究】（2）如圖2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則CD與BE之間是否滿足（1）中的數(shù)量關(guān)系？說明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若m＝2，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，D三點(diǎn)共線．請(qǐng)直接寫出CD的長(zhǎng)．9．（2022?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．10．（2022?長(zhǎng)垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，連接BE，EC．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若α＝60°，則∠EBA＝，AD與EB的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出∠EBA的度數(shù)及AD與EB的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點(diǎn)，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點(diǎn)O為正方形DEFG的中心，若OA＝，請(qǐng)直接寫出線段EF的長(zhǎng)度．11．（2022·山西·壽陽縣教研室九年級(jí)期末）問題情境：如圖1所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DEBC，在圖1中將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖3，請(qǐng)解答下列問題：(1)猜想證明：若AB=AC，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________．②在圖3中，猜想∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)拓展應(yīng)用：其他條件不變，若AB=AC，按上述操作方法，得到圖4，請(qǐng)你繼續(xù)探究：∠MAN