三角函數(shù)間的關系

初中總復習二一．二次函數(shù)的應用1.用二次函數(shù)解決實際問題。建模：把問題中各個量用兩個變量來表示，并建立兩種量的二次函數(shù)關系，在求二次函數(shù)的最大（?。┲?，從而解決實際問題。注意:實際問題中，自變量的取值往往受到制約，不要忽略自變量的取值，要在允許取值的范圍內。2。建立平面直角坐標系，用二次函數(shù)圖像解決實際問題。注意：建立平面坐標系時，遵循“就簡避繁”的原則，這樣求解析式就比較方便。二：相似形1：相似形定義：具有相同性狀的圖形稱為相似圖形。2.。比例線段定義：在四條線段a、b、c、d中，如果________的比等于另外_________的比,即=(或a:b=c:d),那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段。注意：（1）、線段a、b、c、d成比例是有序的，表示=(或a:b=c:d);（2）、要統(tǒng)一四條線段的長度單位才能求他們的比。.黃金分割：在線段AB上，，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），如果________,那么線段AB被點C黃金分割，點Ｃ叫做線段ＡＢ的黃金分割點，ＡＣ與ＡＢ的比叫做黃金分割比，即＝________.注意：一條線段的黃金分割點有______個。3、比例的基本性質性質：基本性質：如果a:b=c:d(或=），那么ad=______;特別地，如果a:b=b:c(或=），那么b=_______.4、相似多邊形定義：對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。注意：僅對應邊成比例的兩個多邊形不一定相似，如菱形；僅對應邊角相等的兩個多邊形不一定相似，如矩形。B相似比：相似多邊形對應邊的比叫做__________.注意：相思比為1的兩個多邊形全等。ac性質：（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。（2）相似多邊形周長的比等于__________.(3)相似多邊形面積的比等于__________。CbA5、相似三角形定義：對應角________，對應邊_______的三角形叫做相似三角形。判定：（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或延長線）相交。所夠成的________與原三角形相似。（2）如果兩個三角形的三組對應的比__________，那么這兩個三角形相似。(3)如果兩個三角形的二組對應的比__________，并且相應的夾角______.那么這兩個三角形相似。(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應________,那么這兩個三角形相似。(5)如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊的比_________.那么這兩個三角形相似。注意：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形彼此相似。性質：（1）相似三角形的對應角__________,對應邊_______.(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于_________.(3)相似三角形周長的比等于____________.(4)相似三角形面積的比等于____________.注意：利用相似三角形的性質得到對應角相等或對應線段成比例時，要注意對應關系。相似性的應用1、相似性應用中的相關概念。視點與視角：觀察者眼睛的位置叫做視點，從視點出發(fā)經(jīng)過觀察點的射線叫做視線，兩條視線的夾角叫做視角。盲區(qū)：觀察者看不到的地方叫做盲區(qū)。2、相似三角形的應用應用：（1）幾何圖形的證明與計算，主要包括線段的數(shù)量關系、求線段的長度、圖形的面積大小等等，解決這類問題首先根據(jù)題中條件，尋找出相似的三角形，再利用相似三角形的性質來解答。（2）生活中與相似三角形有關的實際問題，如A利用投影、平行線、標桿等構造相似形求解問題：B測量底部可以到達的物體的高度;C測量底部不可以到達的物體的高度；D測量不可以到達對岸的河寬等。銳角三角函數(shù)1、銳角三角函數(shù)的概念定義：如圖所示，在RtABC中(1)銳角A的____________的比叫做A的正弦，記作sinA,即sinA==;(2)銳角A的____________的比叫做A的余弦，記作cosA,即cosA==;(3)銳角A的____________的比叫做A的正切，記作tanA,即tanA==;(4)銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的____________.注意：（1）、、三個比值的大小與RtABC的三邊的大小無關，只與銳角的大小有關，即當銳角A取固定值時，它的三個三角函數(shù)值也是固定的，且不可能取負值；（2）sinA是一個整體，它是三角函數(shù)的記寫符號，而不是sin與A的乘積，cosA,tanA也都是一樣。特殊角的三角函數(shù)函數(shù)值：方法：、、、、、、的角的正弦值是；分母為2，分子分別為，，，，，即0，，，，1，它們的余弦值的特點是；分母為2，分子分別為，，，，，即1，，，，0；只要用一個角的正弦值除以余弦值，便可得出它的正切值，取某角正切值的倒數(shù)，便可得出這個角的余切值；三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（1）當A為銳角時，0sinA1，0cosA1，tanA0；(2)一個銳角的正弦、正切值均隨著角度的增大而增大，而一個銳角的余弦隨著角度的增大而減??；（3）對于特殊角的三角函數(shù)值可以通過查表或利用計算器求得；反之，已知銳角的某種三角函數(shù)值，也可以通過查表或利用計算器求出此銳角的大小A讀數(shù)三角函數(shù)值SinA0cosA1tanA013、三角函數(shù)間的關系互余關系:sinA=cosA(--A)cosA=sin(--A);同角關系：（1）+=1（2）tanA=規(guī)律：（1）互余關系主要作用就是改變銳角三角形的名稱，把不同名的三角函數(shù)化為同名的三角函數(shù)；（2）同角關系主要作用就是已知銳角的某個三角函數(shù)值去求其他三個三角函數(shù)值，同時常用來證明某種關系。解直角三角形的應用1、解直角三角形的概念定義：在直角三角形中，除直角外，共有5個元素，即3條邊和2個銳角，由這些元素中的兩個已知元素（直角除外且其中至少有一條是邊），求出其余未知元素的過程叫做____________.2、直角三角形的解法A依據(jù)：如圖（1）三邊關系：___________;(2)兩銳角關系_________.Bc(3)邊與角關系：sinA=cosB=_________,cosA=sinB=__________.tanA=_______=____________.CaB一般方法：（1）已知斜邊和一直角邊（如斜邊c,直角邊a)解法一般是：由sinA=求A，進而求B=-A，b=;(2)已知斜邊和一銳角（如斜邊c，銳角A)其解法一般是：B=-A,a=csinA,b=CcosA;(3)已知兩直角邊（如直角邊a，銳角A），其解法一般是：B=-A，b=,c=;(4)已知兩直角邊（如直角邊a和b），其解法一般是：由tanA=求A，進而B=-A，C=.注意：（1）當已知條件或是待求量中有斜邊時，就用正弦或余弦求解；無斜邊時，應用正切；當所求元素中即可用乘法又可用除法時，則用乘法，不用除法；當原始數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)均可選擇時，盡量使用原始數(shù)據(jù)。（2）當已知直角三角形中線、高、角平分線、周長、面積等時，一般將這些元素化為三角形中的元素或元素間的關系式，再通過解直角三角形的基本方法進行求解。鉛垂涎3、解直角三角形的應用視線鉛垂涎應用：（1)仰角與俯角：在進行觀察時，仰角從下向上看，視線與水平線的夾角叫仰角，俯角水平線從上向下看，視線與水平線的夾角叫俯角。視線（2)坡度與坡角：坡角時破面與坡度i==tan平面所成的角；坡度是斜坡上兩點______與__________之比。常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，破面越陡。---------------坡角-----------L(3)方位角：方位角是指北或指南方向線與目標方向線所組的小于的水平角。北偏西北北偏東注意：（1）應用解直角三角形知識解決實際問題，關鍵在于將實際問題轉化為西東直角三角形這一數(shù)學問題。