教師資格證-（高中）數(shù)學(xué)-章節(jié)練習(xí)題-第一章-專業(yè)知識(shí)-第一節(jié)-數(shù)與代數(shù)

教師資格證-（高中）數(shù)學(xué)-章節(jié)練習(xí)題-第一章專業(yè)知識(shí)-第一節(jié)數(shù)與代數(shù)[單選題]1.A.30oB.45oC.60oD.75o參考答案：A參考解析：特殊角的三角函數(shù)值sin30=1/2如在一個(gè)直角三角形中，如果A角對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。那么這個(gè)A就等于30度。[單選題]2.共有()。A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)參考答案：A參考解析：[單選題]3.A.B.C.D.參考答案：C參考解析：[單選題]4.A.a-bB.c-bC.a(1-b)D.c-a參考答案：B參考解析：[單選題]5.設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，a，β分別為A對(duì)應(yīng)于λ1，λ2的特征向量，則a，β()。A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.正交D.平行參考答案：B參考解析：λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，α與β是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，根據(jù)征值的性質(zhì)：屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，所以有α與β是線性無關(guān)。選項(xiàng)（C）對(duì)應(yīng)分量成比例，即線性相關(guān)，排除（A）（C），由于特征向量不可能是零向量，排除（D）。故選擇：B[單選題]6.設(shè)4階矩陣A與B僅有第3行不同，且|A|=1，|B|=2，則|A+B|=()。A.3B.6C.12D.24參考答案：A參考解析：根據(jù)行列式展開定理，對(duì)矩陣A和B分別展開。記C=A+B，根據(jù)題意，知行列式|A|，|B|，[單選題]7.A.A=1B.A≠1C.A=2D.A≠2參考答案：B參考解析：1≠0，所以λ≠1。[單選題]8.已知x的多項(xiàng)式則該多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為()。A.-4B.0C.1D.4參考答案：A參考解析：[單選題]9.A.B.C.D.參考答案：D參考解析：[單選題]10.A.充分必要條件B.充分而非必要條件C.必要而非充分條件D.既不充分也非必要條件參考答案：B參考解析：[單選題]11.設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()。A.A-1+B-1B.A+BC.A(A.B)-1BD.(A+B)-1參考答案：C參考解析：[單選題]12.設(shè)4階行列式D=4，且D的每列元素之和均為2，則A21+A22+A23+A24()。A.1B.2C.3D.4參考答案：B參考解析：[單選題]13.組線性相關(guān)的是()。A.a1，a2，a3B.a1，a2，a4C.a1，a3，a4D.a2，a3，a4參考答案：C參考解析：[單選題]14.設(shè)a1，a2，a3是三維向量，則對(duì)任意常數(shù)k，ι，向量組a1+ka3，a2+ιa3線性無關(guān)是向量組a1，a2，a3線性無關(guān)的()。A.必要非充分條件B.充分非必要條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件參考答案：A參考解析：[單選題]15.A.x=(a，a，-a)，a∈RB.x=(2a，a，-3a)，a∈RC.x=(a，-a，a)，a∈RD.x=(-2a，3a，a)，a∈R參考答案：A參考解析：程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，x=(a，a，-a)，a∈R，即得所求。[單選題]16.A.B.C.D.參考答案：B參考解析：P1A表示互換矩陣A的第一、二行，矩陣B表示矩陣A先互換第一、二行，然后將互換的[單選題]17.A.t=6時(shí)，P的秩必為1B.t=6時(shí)，P的秩必為2C.t≠6時(shí)，P的秩必為1D.t≠6時(shí)，P的秩必為2參考答案：C參考解析：因?yàn)镻，Q均為三階非零矩陣且PQ=0，所以r(Q)+r(P)≤3，且P≠0，如果t≠6時(shí)，r(Q)=2，P的秩必為1；當(dāng)t=6時(shí)，r(Q)=1，r(P)≤2。[單選題]18.于()。A.1B.-1C.2D.-2參考答案：D參考解析：已知線性方程組是非齊次的，方程組有解，則系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，由此可以求出k。[單選題]19.A.ACB.ABCC.AB-BCD.AC+BC參考答案：B參考解析：兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相同。矩陣加減要求矩陣要具有相同的行數(shù)和列數(shù)。所以矩陣A和C不能相乘，A錯(cuò)；AB為3×3維的矩陣，BC為2×3維的矩陣，二者不能做減法運(yùn)算，所以C項(xiàng)錯(cuò)；同理D項(xiàng)也錯(cuò)。選項(xiàng)B滿足要求。[單選題]20.A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無窮間斷點(diǎn)D.連續(xù)點(diǎn)參考答案：A參考解析：[單選題]21.設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同特征值，a，β分別為A對(duì)應(yīng)于λ1，λ2的特征向量，則a，β()A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.正交D.平行參考答案：B參考解析：屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。故選B。[單選題]22.設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，則下面說法正確的是()A.若A.b=A.-B.，a⊥bB.若a⊥b，則A.b=A.-B.C若A.b=A.-B.，存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λbD.若存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，則A.b=A.-B.參考答案：C參考解析：利用排除法可得選項(xiàng)C是正確的，∵|a+b|=|a|-|b|，則a，b共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。選項(xiàng)A：|a+b|=|a|-|b|時(shí)，a，b可為異向的共線向量；選項(xiàng)B：若a⊥b，比如在正方形里，|a+b|=|a|-|b|不成立；選項(xiàng)D：若存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，a，b可為同向的共線向量，此時(shí)顯然|a+b|=|a|-|b|不成立。[單選題]23.設(shè)a1=(1，2，3，1)T，a2=(3，4，7，-1)T，a3=(2，6，a，6)T，a4=(0，1，3，a)T，那么a=8是a1，a2，a3，a4線性相關(guān)的()A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件參考答案：B參考解析：[單選題]24.A.λ=5，μ=1B.λ=1，μ=5C.λ=-5，μ=1D.λ=-1，μ=5參考答案：A參考解析：且r(A)=2，所以λ+3=8，μ-5=-4，即λ=5，μ=1，故選A。[單選題]25.A.x=(a，a，-a)，a≠0B.x=(2a，a，-3a)，a≠0C.x=(a，-a，a)，a≠0D.x=(-2a，3a，a)，a≠0參考答案：A參考解析：對(duì)A=4求相應(yīng)的線性方程組(λE-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，有程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1，1，-1)，則對(duì)應(yīng)特征值4的特征向量為x=(a，a，-a)，a≠0。[單選題]26.A.B.C.(-∞，1)D.參考答案：B參考解析：[單選題]27.若集合Ω={1，2}，則線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件為()。A.a?Ω，d?ΩB.a?Ω，d∈ΩC.a∈Ω，d?ΩD.a∈Ω，d∈Ω參考答案：D參考解析：線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件：r(A)=r(A，b)<3。由r(A)=r(A，b<3知，a=1或2，d=1或2，即a∈Ω，d∈Ω。故本題選D。[單選題]28.如果方陣A與對(duì)角矩陣相似，則A100=()。A.EB.A.C-ED.100E參考答案：A參考解析：A與對(duì)角矩陣相似，則存在一個(gè)可逆矩陣P，有A=[單選題]29.設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，α，β分別為A對(duì)應(yīng)于λ1，λ2的特征向量，則α，β()。A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.正交D.平行參考答案：B參考解析：屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。[單選題]30.已知三維向量空間的一組基為α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)，則向量β=(2，0，0)在此基底下的坐標(biāo)是()。A.(2，0，0)B.(1，1，-1)C.(1，0，-1)D.(0，0，0)參考答案：B參考解析：設(shè)β=(2，0，0)在此基底下的坐標(biāo)是(x1，x2，x3)，[單選題]31.已知方程組有無窮多解，則有()。A.λ=0B.λ=1C.λ=-1D.λ≠1參考答案：B參考解析：因?yàn)榉驱R次線性方程組有無窮多解的充要條件是其系數(shù)矩陣的秩等于其增廣矩陣的故本題選B。[單選題]32.設(shè)二次型正定，則實(shí)數(shù)a的取值應(yīng)滿足()。A.a>9B.-3C.3≤a≤9D.a≤-3參考答案：B參考解析：因?yàn)槎涡投?，所以A是正定矩陣，則A的所有順序主子式應(yīng)都大于0，即有2>0，可得a的取值范圍是-3[單選題]33.()。A.不定二次型B.半正定二次型C.半負(fù)定二次型D.正定二次型參考答案：A參考解析：根據(jù)二次型的性質(zhì)，當(dāng)對(duì)稱矩陣的順序主子式都大于0時(shí)，為正定二次型；順序主子式大于等于0時(shí)，為半正定二次型；所有奇數(shù)階順序主子式小于0，所有偶數(shù)階順序主子式大于0時(shí)，為負(fù)定二次型；所有奇數(shù)階順序主子式小于或等于0，所有偶數(shù)階順序主子式大于或等于0時(shí)，為半負(fù)定二次型。本題中，[單選題]34.已知R3中的一個(gè)基為α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T，α3=(0，1，1)T則向量α=(2，0，0)T在基α1，α2，α3，下的坐標(biāo)是()。A.(-1，1，1)TB.(1，-1，1)TC.(1，1，-1)TD.(1，1，1)T參考答案：C參考解析：設(shè)向量α在基α1，α2，α3下的坐標(biāo)為(x，y，z)T，即α=xα1+yα2+zα3，解得[單選題]35.設(shè)三階方陣A的特征值為1，2，-3，則|A2-3A-E|的值為()。A.135B.153C.-6D.0參考答案：B參考解析：由矩陣特征值的性質(zhì)可知，如果λ是矩陣A的一個(gè)特征值，則λ2是A2的特征值，kλ是kA的特征值，λ-1是A—E的特征值。所以矩陣A2-3A-E的特征值為λ2-3λ-1(λ=1，2，-3)，即為-3，-3，17。因?yàn)榫仃嚨男辛惺降扔诰仃囁刑卣髦档某朔e，所以|A2—3A—E|=(-3)×(-3)×17=153。[單選題]36.已知向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，則下列命題正確的是()。A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性無關(guān)B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1線性無關(guān)C.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1線性無關(guān)D.α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1線性無關(guān)參考答案：D參考解析：[單選題]37.矩陣B滿足ABA*=2BA*+E，其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則|B|=()。A.B.C.D.參考答案：B參考解析：由題意可知，|A|=3，則A*A=AA*=3E。在等式ABA*=2BA*+E兩邊同時(shí)右乘A，[單選題]38.已知線性方程組AX=Kβ1+β2有解，其中則K等于()。A.1B.-1C.2D.-2參考答案：D參考解析：已知線性方程組有解，則其系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。將AX=Kβ1+β2的增廣矩陣化成行階梯形矩陣，[單選題]39.設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)…(x-2019)，則方程f′(x)=0有()個(gè)實(shí)根。A.2017B.2018C.2019D.2020參考答案：B參考解析：由題意得，f(x)的全部零點(diǎn)為x=1，x=2，…，x=2019，由羅爾定理可知，x1∈(1，2)有f'(x1)=0,x2∈(2,3)有f'(x2)=0,…，x2018∈(2018,2019)有f'(x2018)=0,又f'(x)是2018次多項(xiàng)式,所以f'(x)至多有2018個(gè)實(shí)根,則f'(x)=0的全部實(shí)根為x1，x2，...,x2018。故本題選B。[單選題]40.設(shè)A是m×n矩陣，非齊次線性方程組Ax=b有解的充分條件是()。A.r(A)=mB.A的行向量組線性相關(guān)C.r(A)=nD.A的列向量組線性相關(guān)參考答案：A參考解析：非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。由系數(shù)矩陣A是m×n矩陣知，增廣矩陣[單選題]41.A.1B.-2C.-1D.1或-2參考答案：D參考解析：因?yàn)橄蛄喀潦茿-1的特征向量，所以α也是A的特征向量，則存在一個(gè)常數(shù)λ，有Aα=[單選題]42.已知2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D等于()。A.1B.0C.a2D.-a2參考答案：B參考解析：[單選題]43.設(shè)A是秩為n-1的n階矩陣，α1與α2是方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，則Ax=0的通解必定是()。A.α1+α2B.kα1C.k(α1+α2)D.k(α1-α2)參考答案：D參考解析：通解中必有任意常數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為n-r(A)，所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)非零向量構(gòu)成。由題意無法確定α1是不是零向量，所以kα1可能為零向量，排除B。對(duì)于α1+α2，當(dāng)α1=-α2時(shí)，α1+α2=0(即α1≠α2并不能保證α1+α2≠0)，排除C；而α1≠α2α1-α2≠O。故本題選D。[單選題]44.A*是A的伴隨矩陣，若r(A*)=1，則a=()。A.3B.2C.1D.1或3參考答案：D參考解析：對(duì)矩陣A作初等變換，有易見，當(dāng)a=1或3時(shí)，均有r(A)=3。故本題選D。[單選題]45.設(shè)α1，α2，α3是三維向量空間R3的一個(gè)基，則由基α1，α2，α3到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的過渡矩陣為()。A.B.C.D.參考答案：A參考解析：[單選題]46.是正定二次型，則t的取值范圍是()。A.(-1，1)B.(-1，0)C.(-，0)D.(-，1)參考答案：C參考解析：[單選題]47.三元一次方程組所代表的三個(gè)平面的位置關(guān)系為()。A.B.C.D.參考答案：C參考解析：所以三個(gè)平面兩兩相交，圍成一個(gè)三棱柱。故本題選C。[單選題]48.設(shè)有非零向量a，b，c，若a·b=0，a×c=0，則b·c=()。A.0B.-1C.1D.3參考答案：A參考解析：已知a·b=0，a×c=0.所以b與a垂直，c與a共線，又由于a是非零向量，所以b與c垂直，于是b·c=0。故本題選A。[單選題]49.有限小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)的關(guān)系是()。A.對(duì)立關(guān)系B.從屬關(guān)系C.交叉關(guān)系D.矛盾關(guān)系參考答案：A參考解析：有限小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)的關(guān)系是對(duì)立關(guān)系，因?yàn)樗鼈儩M足下列三個(gè)條件：①屬于同一個(gè)屬概念，即小數(shù)；②外延之和小于屬概念的外延，即存在既不是有限小數(shù)又不是無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)；③外延沒有重合的部分，即不存在既是有限小數(shù)又是無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)。[單選題]50.若非齊次線性方程組有無窮多解，則λ=()。A.4B.3C.2D.1參考答案：C參考解析：題中非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為，對(duì)作初等行變換化成階梯形矩陣得，。顯然，若方程組有無窮多解，則有2λ一4=2-λ=0，λ=2。故本題選C。[單選題]51.下列關(guān)于有理數(shù)系說法錯(cuò)誤的是()。A.有理數(shù)系具有連續(xù)性B.有理數(shù)系具有稠密性C.正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D.有理數(shù)的除法(除數(shù)不為0)具有封閉性參考答案：A參考解析：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)a，b(設(shè)a，所以有理數(shù)系具有稠密性，B項(xiàng)說法正確；C項(xiàng)是有理數(shù)的定義，說法正確；任意兩個(gè)有理數(shù)的商(除數(shù)不為0)仍然是有理數(shù)，即有理數(shù)的除法(除數(shù)不為0)具有封閉性，D項(xiàng)說法正確。A項(xiàng)說法錯(cuò)誤，因?yàn)樵谟欣頂?shù)系內(nèi)存在不收斂的柯西數(shù)列，例如，取近似到小數(shù)點(diǎn)后第n位的近似數(shù)組成一個(gè)數(shù)列，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，則這個(gè)數(shù)列是柯西數(shù)列，且每一項(xiàng)都是有理數(shù)，但其在有理數(shù)系內(nèi)不存在極限(在實(shí)數(shù)系內(nèi)存在極限)：[單選題]52.向量α1=(1，-1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(2，1，5，10)T，α4=(1，-1，2.0)T的極大線性無關(guān)組為()。A.α1，α2，α4B.α1，α2，α3C.α2，α3，α4D.α1，α2，α3，α4參考答案：A參考解析：對(duì)以α1，α2，α3，α4為列向量組的矩陣A進(jìn)行初等行變換化成階梯形矩陣：A=。由此可知，α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組。故本題選A。[單選題]53.若直線ι滿足：①經(jīng)過原點(diǎn)；②垂直于直線；③平行于平面π：2x+3y+4z+5=0，則直線ι的方程是()。A.B.C.D.參考答案：A參考解析：由題意可知，向量m=(1，2，3)是直線z’的方向向量；向量n=(2，3，4)是平面π的法向量。因?yàn)橹本€ι與直線ι’垂直，與平面π平行，所以直線ι的方向向量與向量m，n都垂直，于是向量m×就是直線ι的方向向量，再結(jié)合直線ι經(jīng)過原點(diǎn)可得，直線ι的。故本題選A。[單選題]54.點(diǎn)A(4，-3，1)在平面π：x+2y-z-3=0上的投影是()。A.(5，-1，0)B.(5，1，0)C.(-5，1，0)D.(5，-1，1)參考答案：A參考解析：根據(jù)平面仃的方程可知，向量(1，2，-1)是平面π的法向量，于是過點(diǎn)A且垂直于平，將直線的參數(shù)方程代入平面方程得，(4+t)+2(-3+2t)-(1-t)-3=0，解得t=1。因此，點(diǎn)A(4，-3，1)在平面π上的投影為(4+1，-3+2，1-1)=(5，-1，0)。故本題選A。[單選題]55.若β=(2，1，t)T可由α1=(1，3，1)T，α2=(-1，2，4)T，α3=(-2，1，5)T線性表出，則t=()。A.-2B.-3C.1D.2參考答案：B參考解析：若β可以由向量組線性表出，則線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=β有解。對(duì)線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=β的增廣矩陣五作初等行變換化成階梯形矩陣：，要使方程組有解，則需令t+3=0，即t=-3。故本題選B。[單選題]56.A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.既不合同也不相似參考答案：B參考解析：分別計(jì)算矩陣A和矩陣B的特征值可得，A的特征值為1(二重)，-1；B的特征值為3(二重)，-1。由于A與B的特征值不同，所以A與B不相似，但由A，B的特征值可知，(同階矩陣)A與B的秩和正、負(fù)慣性指數(shù)相等，所以A與B合同。故本題選B。[單選題]57.A.1B.2C.3D.4參考答案：A參考解析：故本題選A。[問答題]1.設(shè)a1=(1，-1，2，4)，a2=(0，3，1，2)，a3=(3，0，7，14)，a4=(1，-1，2，0)，a5=(2，1，5，6)。(1)證明a1，a2線性無關(guān)；(2)把a(bǔ)1，a2擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組。參考答案：無參考解析：[問答題]2.用克拉默法則解方程組：參考答案：無參考解析：[問答題]3.求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。參考答案：無參考解析：[問答題]4.求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并用它表示出全部解。參考答案：無參考解析：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等變換，有[問答題]5.無窮多組解時(shí)，求出一般解。參考答案：無參考解析：對(duì)此線性方程組的系數(shù)矩陣A的增廣矩陣進(jìn)行初等變換如下：[問答題]6.參考答案：無參考解析：[問答題]7.設(shè)矩陣求矩陣M的逆矩陣M-1。參考答案：無參考解析：下面用兩種方法求矩陣M的逆矩陣。[問答題]8.求通過直線且與平面x+y+z-1=0垂直的平面方程。參考答案：無參考解析：[問答題]9.求過點(diǎn)(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又與直線方程。參考答案：無參考解析：(方法一)所求直線記為2，由題意可知，與平面3x-4y+z-8=0平行的平面系方程為3x-4y+z+k=0，又直線ι過點(diǎn)(1，(方法二)設(shè)過點(diǎn)(1，0，4)且與平面3x-4y+z-8=0平行的平面為π1，所求直線ι在仃π1內(nèi)，根據(jù)平行平面的關(guān)系易得，π1的一般方程為3x-4y+z-7=0。平面π2過點(diǎn)(-1，3，0)和點(diǎn)(1，0，4)，且與向量s=(1，1，2)平行，設(shè)π2上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，則向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有(s，u，v)=[問答題]10.設(shè)ε1，ε2，ε3，ε4為數(shù)域P上4維線性空間V的一個(gè)基，V的一個(gè)線性變換σ在這個(gè)基下的矩陣為，求σ的核σ-1(0)與σ的秩。參考答案：無參考解析：σ-1(O)={X|σ(X)=0}，又σ在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩陣為A，所以σ-1(0)為齊次線性方程組AX=0的解[問答題]11.已知向量組(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它們的秩分別為r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)。參考答案：無參考解析：[問答題]12.設(shè)三階矩陣A=(α1，α2，α3)有三個(gè)不同的特征值，且α3=α1+2α2。(1)證明：r(A)=2；(2)若β=α1+α2+α3，求方程組Ax=β的通解。參考答案：無參考解析：(1)證明：設(shè)矩陣A的特征值為λ1，λ2，λ3(λ1≠λ2≠λ3)，則存在可逆矩陣P使得A=P-1diag(λ1，λ2，λ3)P，所以r(A)=r(diag(λ1，λ2，λ3))，因?yàn)棣?≠λ2≠λ3，所以r(diag(λ1，λ2，λ3))≥2，即r(A)≥2，又α3=α1+2α2，也就是α1，α2，α3線性相關(guān)，所以r(A)<3。因此r(A)=2。(2)因?yàn)閞(A)=2，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)非零解向量，由于α1+2α2-α3=0，[問答題]13.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的屬于λ1的一個(gè)特征向量。記B=A5-4A3+E，其中E為3階單位矩陣，求B的全部特征值與特徊向量。參考答案：無參考解析：B的特征向量。B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關(guān)系得到，所以B的全部特征值為-2，1，1。由前述可知，α1是矩陣B的屬于特征值-2的特征向量，而A為實(shí)對(duì)稱矩陣，于是根據(jù)B與A的關(guān)系可以知道B也是實(shí)對(duì)稱矩陣，而實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同的特征值的特征向量正交，故可設(shè)B的屬于1的特征向量為(x1，x2，x3)T，所以有方程x1-x2+x3=0，求得B的屬于1的特征向量為β2=(-1，0，1)T，β3=(1，1，0)T。因而，矩陣B屬于特征值-2的特征向量是k1(1，-1，1)T，其中k1是不為零的任意常數(shù)。矩陣B屬于特征值1的特征向量是k2(-1，0，1)T+k3(1，1，0)T，其中k2，k3是不為零的任意常數(shù)。[問答題]14.討論a取何值時(shí)，下述線性方程組有唯一解?有無窮多解?無解?參考答案：無參考解析：當(dāng)(2+a)(1-a)=0且1-a≠0，即a=-2時(shí)，線性方程組對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣的秩r(A)≠r()，此時(shí)線性方程組無解：當(dāng)(2+a)(1-a)=0且1-a=0，即a=1時(shí)，r(A)=r()<3，此時(shí)線性方程組有無窮多解；當(dāng)(2+a)(1-a)≠0，即n≠1且a≠-2時(shí)，r(A)=r()=3，此時(shí)線性方程組有唯一解。[問答題]15.求過直線且平行于2軸的平面方程。參考答案：無參考解析：過直線z的平面束方程為λ(2x-4y+z-1)+μ(x+3y+5z)=0，整理得，(2λ+μ)x+(-4λ+3μ)y+(λ+5μ)z-λ=0(λ，μ不全為0)。因?yàn)樗笃矫媾c礴由平行，所以于是λ=-5μ≠0，代入平面束方程化簡(jiǎn)得，所求平面方程為9x-23y-5=0。[問答題]16.求到平面4x-2y-4z-5=0的距離等于2的點(diǎn)的軌跡方程。參考答案：無參考解析：[問答題]17.設(shè)α1，α2，α3線性無關(guān)，證明α1+α2，α2+α3，α1+α3線性無關(guān)。參考答案：無參考解析：[問答題]18.求過點(diǎn)(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又與直線x+1=y-3=相交的直線的方程。參考答案：無參考解析：(方法一)設(shè)所求直線為ι，由題意可知，與平面3x-4y+z-8=0平行的平面束方程為3x-4y+z+k=0，又直線ι(方法二)設(shè)過點(diǎn)(1，0，4)且與平面3x-4y+z-8=0平行的平面為π1，所求直線ι在π1內(nèi)，根據(jù)平行平面的關(guān)系易得，π1的一般方程為3x-4y+z-7=0。直線。過點(diǎn)(-1，3，0)，且一個(gè)方向向量為s=(1，1，2)，又平面π1的一個(gè)法向量為n=(3，-4，1)，因?yàn)閟n≠0，所以直線與π1相交，所以直線ι與直線所確定的平面π2與π1相交，相交直線即為ι。平面π2過點(diǎn)(-1，3，0)和點(diǎn)(1，0，4)，且與向量s=(1，1，2)平行，設(shè)π2上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，則向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有(s，u，v)=[問答題]19.參考答案：無參考解析：[問答題]20.參考答案：無參考解析：因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為[問答題]21.參考答案：無參考解析：[問答題]22.(1)求矩陣A的全部特征值和特征向量；(3分)(2)A是否相似于對(duì)角陣，若是，寫出與其相似的對(duì)角陣，并求一可逆矩陣T，使T-1AT為對(duì)角陣；(4分)參考答案：無參考解析：(1)由矩陣A的特征多項(xiàng)式[問答題]23.(1)試求a的值；(3分)(2)求正交矩陣Q，使QTAQ為對(duì)角矩陣。(7分)參考答案：無參考解析：(1)對(duì)線性方程組AX=β的增廣矩陣作初等行變換，有[問答題]24.(1)計(jì)算行列式|A|；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，方程組Ax=b有無窮多解，并求其通解。參考答案：無參考解析：(1)(2)對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換可得要使原線性方程組有無窮多解，則有r(A，b)=r(A)<4，所以有1-a4=0且-a-a2=0，即a=-1。可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(1，1，1，1)T，非齊次線性方程組的特解為(0，-1，0，0)T，故其通解為(0，-1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k為任意常數(shù)。[問答題]25.設(shè)當(dāng)a，b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC-CA=B，并求所有矩陣C。參考答案：無參考解析：由題意可知矩陣C為2×2階矩陣，故可設(shè)求