分形維數(shù)的定義方式

分形維數(shù)的定義方式

1919年，數(shù)學(xué)家f.hausdorff提出了分?jǐn)?shù)維的概念，20世紀(jì)70年代，對(duì)分組維數(shù)性質(zhì)的研究引起了學(xué)術(shù)界的關(guān)注。1975年,美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特(B.B.Mardelbrot)出版了分形幾何學(xué)的第一部著作《分形、形、機(jī)遇和維數(shù)》,認(rèn)為分形集這類奇異集合的性質(zhì)不能用歐氏測(cè)度來(lái)刻劃,而維數(shù)恰是此類集合尺度變化下的不變量,并主張用維數(shù)來(lái)刻劃這類集合;于是提出了分形維數(shù)的概念,即刻劃分形集合性質(zhì)的維數(shù)叫分形維數(shù)。它來(lái)源于分?jǐn)?shù)維的概念,但由于現(xiàn)實(shí)的分形集往往從不同的側(cè)面體現(xiàn)出分形性,所以也就存在多種分形維數(shù)定義以及各自的測(cè)量方法。1分形維數(shù)1.1從文本n的角度計(jì)算先讓我們看一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)。根據(jù)相似性,如圖1把各圖形的邊長(zhǎng)2等分,當(dāng)然,線段是一半長(zhǎng)度的2個(gè)線段,正方形則是每邊為原來(lái)1/2的4個(gè)正方形,而立方體則是8個(gè)。也就是說(shuō),線段、正方形、立方體可被看成為分別由2、4、8個(gè)把全體分成1/2的相似形組成。2、4、8數(shù)字還可以寫成21、22、23,顯然這里的指數(shù)與其圖形的經(jīng)驗(yàn)維數(shù)相一致。推而廣之,若某圖形是由把全體縮小成1/a的b個(gè)相似形所組成,由于b=aD,則有D=logb/loga。(1)此D便是幾何圖形的維數(shù),由于它是通過相似變換得來(lái)的,所以此維數(shù)一般稱為相似維數(shù)。用Ds表示。顯然Ds不必一定是整數(shù),所有經(jīng)典分形集的維數(shù)都可由此式計(jì)算,如Cantor集。a=3,b=2,Ds=log2/log3=0.6309…。Koch曲線a=3,b=4,Ds=log4/log3=1.2618…。雖然相似維數(shù)是把經(jīng)驗(yàn)維數(shù)擴(kuò)大為非整數(shù)值的劃時(shí)代的量,但它的適用范圍畢竟是有限的。因?yàn)橹挥袊?yán)格相似性規(guī)則的分?jǐn)?shù)維圖形,才能定義為這個(gè)維數(shù),而實(shí)際上,大多數(shù)分形圖形都不是嚴(yán)格自相似的,如某些隨機(jī)圖形,為此有必要定義新的維數(shù)。1.2hausdorff維數(shù)/合公函數(shù)假定要考慮的圖形是d維歐幾里得空間Rd中的有界集合。用半徑為ε的d維球包覆其集合時(shí),假定N(ε)是球的個(gè)數(shù)的最小值。容量維數(shù)Dc可用下式來(lái)定義Dc≡limε→0logΝ(ε)log(1/ε)。(2)此定義與Hausdorff維數(shù)很相似()。在Hausdorff維數(shù)中,雖然把球的大小作為比ε還小的任意球,但如果把它限定在1個(gè)大小為特珠情況下則為容量維數(shù)。DC雖常與DH相一致,但有時(shí)也取不同的值,一般的關(guān)系是DC≥DH。(3)維數(shù)的Hausdorff定義和容量定義,在數(shù)學(xué)上都是很嚴(yán)密的。但要廣泛用于自然科學(xué),有時(shí)也有不適之處。比方說(shuō),不論哪個(gè)定義都把包覆球的半徑的極限考慮為0,這在實(shí)際測(cè)定中是不能達(dá)到的。所以有必要將維數(shù)定義改成更實(shí)用一些的。1.3小盒子尺寸的影響容量維數(shù)的定義,提示了一種測(cè)量分形的方法。取邊長(zhǎng)為ε的小盒子,把分形覆蓋起來(lái)。由于分形內(nèi)部有各種層次的空洞和縫隙,有些小盒子會(huì)是空的。數(shù)有多少盒子不是空的,把這個(gè)數(shù)目記為N(ε)。然后縮小盒子的尺寸ε,所數(shù)得的N(ε)自然要增大。根據(jù)前面的定義,只要在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上畫出lnN(ε)對(duì)lnε的曲線,其直線部分的斜率就是此分形對(duì)象的盒子孫維數(shù)D0。這種看起來(lái)很簡(jiǎn)便的“數(shù)盒子”方法,有著理論和實(shí)踐兩方面的局限性。對(duì)于實(shí)際計(jì)算,只有分維小于二維或在二維附近,而相空間維數(shù)也不高時(shí),它才是可行的;維數(shù)增高后,計(jì)算量迅速上升,以致很難得到收斂的結(jié)果。從理論上看,一個(gè)小盒子不管是包含了分形的一個(gè)點(diǎn)或是一批點(diǎn),都算是非空的,可在N(ε)中占有一席之地,這就完全不能反映分形內(nèi)部的不均勻性。不過分維的定義就是如此;只有修改維數(shù)的定義,才能改進(jìn)描述的細(xì)致程度。1.4信息維數(shù)di讓我們把小盒子編號(hào)。如果知道分形中的點(diǎn)落入第i只盒子的概率是Pi,那就可以寫出用尺寸為ε的盒子進(jìn)行測(cè)算所得的信息量。Ι=-Ν(ε)∑i=1ΡilnΡi。然后就可以用I代替N(c),定義“信息維數(shù)”Di:Di=limε→0Ν(ε)∑i=1ΡilnΡilnε。(4)假如落入每只盒子的概率都相同,即Pi=1/N(ε),求和記號(hào)下面的每一項(xiàng)都和編號(hào)I無(wú)關(guān),則I=lnN(ε),于是就回到了前面盒子維數(shù)D0的定義,一般說(shuō)來(lái)d≤D1≤D0(5)信息維數(shù)不是新概念。早在20世紀(jì)50年代匈牙利數(shù)學(xué)家瑞奈(A.Renyi)就從概率論角度建立了上面的定義,不過當(dāng)時(shí)沒有把它和分形聯(lián)系起來(lái)。從計(jì)算角度看,信息維數(shù)Dl的算法比盒子維數(shù)D0還要費(fèi)事一些(要先求Pi),因而也是不切合實(shí)際的。1.5空間平均參數(shù)的定義關(guān)聯(lián)函數(shù)是最基本的統(tǒng)計(jì)量之一,從這一函數(shù)型也可求得分形維數(shù)。如果把在空間隨機(jī)分布的某量坐標(biāo)X處中的密度記為ρ(x),則關(guān)聯(lián)函數(shù)C(ε)可用下式定義C(ε)≡<ρ(x)ρ(x+ε)>。(6)這里<…>表示平均。根據(jù)情況,平均可以是全體平均,也可以是空間平均。如果分布各個(gè)方向均等,只能用兩點(diǎn)間的距離ε=∣ε∣的函數(shù)來(lái)表示關(guān)聯(lián)函數(shù)。如果關(guān)聯(lián)函數(shù)是冪型,則兩點(diǎn)間的距離便不存在特征長(zhǎng)度,關(guān)聯(lián)總是以同樣比例衰減。假如關(guān)系為C(ε)∝ε-а,(7)則有а=d-D。(8)式中:d——空間維數(shù);D——分形維數(shù)。1983年,P.Grassberger和J.Procassia給出了關(guān)聯(lián)維數(shù)的定義:D2=limε→0lnC(ε)lnε。(9)式中C(ε)=1Ν2Ν∑i?j=1Η(ε-∣xi-xj∣)。(10)1.6羅必塔法取極限參數(shù)H.G.E.Hentschel等提出了廣義維數(shù)的概念,其定義是Dq=-limε→0Sq(ε)lnε。(11)式中Sq(ε)=11-qln[Ν(ε)∑i=1Ρiq](12)是q階Renyi信息,Dq叫作q階廣義維數(shù),有時(shí)也叫Renyi信息維數(shù)。式(11)與式(12)中的q取正負(fù)整數(shù)。顯然,當(dāng)q=0時(shí),可證Dq|q=0=D0;當(dāng)q=1時(shí),利用羅必塔法取極限可得D1=limε→0Dq;且Dq|q=2=D2,即q=2時(shí),廣義維數(shù)Dq就是關(guān)鍵維數(shù)D2。2基本組成維數(shù)測(cè)量的方法2.1求各點(diǎn)的分形維數(shù)這是基于盒子維數(shù)和信息維數(shù)的定義設(shè)計(jì)的一種測(cè)量分形維數(shù)的方法。即用圓和球、線段和正方形、立方體等具有特征長(zhǎng)度的基本圖形去近似分形圖形的一種方法。例如,用長(zhǎng)度為ε的線段集合近似圖2海岸線的復(fù)雜曲線。做法如下:首先把曲線的一端作為起點(diǎn),然后以此點(diǎn)為中心畫一個(gè)半徑為ε的圓,把此圓與曲線最初相交點(diǎn)和起點(diǎn)用直線連接起來(lái),把此交點(diǎn)重新看作起點(diǎn),以后反復(fù)進(jìn)行同樣的操作。像這樣用長(zhǎng)度ε的折線去近似海岸線時(shí),把必要的線段總數(shù)作為N(ε)。若基準(zhǔn)長(zhǎng)度ε變小,則N(ε)增加。如果在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上畫出lnN(ε)對(duì)lnε的曲線有直線部分,其斜率就是此海岸線的分形維數(shù)。與此相似,把空間分割成邊長(zhǎng)為ε的細(xì)胞,然后來(lái)數(shù)所要考慮的形狀中的那部分所含的細(xì)胞數(shù)N(ε)。例如求平面上點(diǎn)的分布的分形維數(shù),首先,用間隔為ε的格子把平面分割成邊長(zhǎng)為ε的正方形,而且,數(shù)出在此平面上至少包含一個(gè)點(diǎn)的正方形個(gè)數(shù),并把此數(shù)記為N(ε)(見圖3)。如果對(duì)ε進(jìn)行各種變化時(shí),當(dāng)N(ε)∝ε-D(13)的關(guān)系得到滿足,這些點(diǎn)的分布即為D維數(shù)。這一方法不僅適用于點(diǎn)分布和曲線形狀,而且還可以解析像河流這種含有大量分岔的圖形,所以是個(gè)利用價(jià)值較高的方法。若把這一方法引進(jìn)信息量的量度,便可得到分形的信息維數(shù),這是對(duì)概率點(diǎn)分布有效的方法。2.2關(guān)于分形維數(shù)的測(cè)定這是根據(jù)分形維數(shù)具有非整數(shù)維數(shù)的測(cè)度性質(zhì)來(lái)設(shè)計(jì)求維數(shù)的一種方法。若把立方體一邊的長(zhǎng)度擴(kuò)大到2倍,那么2維測(cè)度的表面積即為22倍,3維測(cè)度的體積即為23倍。因此,若把單位長(zhǎng)度擴(kuò)大到2倍,并假定它能成為具有2D倍的量,那么此量也可稱之為D維數(shù)的。一般若假定長(zhǎng)度為L(zhǎng),面積為S,體積為V時(shí),則可得出如下關(guān)系式L∝S1/2∝V1/3。(14)這一關(guān)系式的意義是,若把L擴(kuò)大到k倍,那么S1/2和V1/3也都擴(kuò)大到k倍。若把具有D維度的量假定為X,則可把(14)式變成一般公式L∝S1/2∝V1/3∝X1/D。(14’)于是我們可以利用這個(gè)關(guān)系式很容易求出某些分形對(duì)象的維數(shù)。例如在測(cè)定島嶼海岸線的分形維數(shù)時(shí),假定面積為S,海岸線長(zhǎng)度為X。因島的面積明顯具有2維測(cè)度,所以根據(jù)S1/2∝X1/D即可求得海岸線的分形維數(shù)D。因?yàn)橐昘的維數(shù)為未知數(shù),所以需要一定的技巧。最便利和常用的方法是使空間量子化,把面積S和長(zhǎng)度X都作為自然數(shù)。首先,盡量用細(xì)格子把所考慮的平面分割成小正方形的集合體。然后把那些既使包含一小點(diǎn)島的正方形涂黑(圖4)。把黑正方形的個(gè)數(shù)記為SN,把與白正方形相接的黑正方形的個(gè)數(shù)記為XN。如果單位正方形的大小足夠小的話,則可以為S∝SN,X∝XN是成立的。對(duì)許多不同面積的島可用同一方法去求出SN和XN,如果存在能夠滿足下式的D,SΝ1/2∝XΝ1/D。(15)那么海岸線的分形維數(shù)就是D。此時(shí)單位正方形的大小越小誤差也就越小,與用粗視化方法最不同之處是,不變化單位正方形的大小,而預(yù)先盡量把它固定得小一點(diǎn)。此問題也可以換一種方式來(lái)求?？紤]部分長(zhǎng)海岸線的一部分時(shí),所要調(diào)查的該段海岸線兩端的直線距離L和海岸線長(zhǎng)度XN的關(guān)系。若把所要調(diào)查的海岸線部分的大小進(jìn)行各種變化,則可得到大量L和XN的組合。此時(shí),在L與XN之間,如果下述關(guān)系式成立L∝XΝ1/D,(16)這個(gè)D也同樣是海岸線的分形維數(shù)。2.3維數(shù)y1,y2,y3,此方法是依據(jù)關(guān)聯(lián)維數(shù)的定義設(shè)計(jì)的,多用于對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理?？紤]實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的一個(gè)數(shù)據(jù)序列x1,x2,x3,…,xi,…xi是第i時(shí)刻測(cè)得的值。例如,第i秒時(shí)布朗粒子的模座標(biāo)。由于不知道實(shí)際的相空間維數(shù)有多高,我們先用這些數(shù)據(jù)支起一個(gè)m維的空間。造這個(gè)m維的“嵌入空間”的辦法很多。例如取m=10,把x1,x2,x3,…x10作為十維空間中的一個(gè)矢量y1。然后右移一步,把x2,x3,x4,…x11作為十維空間中的第二個(gè)矢量y2。這樣構(gòu)造出一大批矢量y1,y2,y3,…yk。現(xiàn)在隨便給定一個(gè)數(shù)ε,然后檢查一遍有多少對(duì)點(diǎn)(y1,yj)之間的距離小于ε,把距離小于ε的“點(diǎn)對(duì)”中所占比例記作C(ε)。用計(jì)算機(jī)很容昌從原始數(shù)據(jù)中算出c(ε)。如果ε取得太大,當(dāng)然一切“點(diǎn)對(duì)”的距離都不會(huì)超過它,因?yàn)?C(ε)=l,取對(duì)數(shù)后有l(wèi)nC(ε)=0。這樣的ε當(dāng)然反映不了系統(tǒng)的內(nèi)部性質(zhì)。適當(dāng)縮小ε,可能在一段ε區(qū)內(nèi)有C(ε)=εγ。(16’)和分形維數(shù)的定義相比,可見γ是一種維數(shù)。實(shí)際上γ是對(duì)關(guān)聯(lián)維數(shù)D2的很好逼近。如果ε取得太小,實(shí)驗(yàn)中一切偶然噪聲便會(huì)表現(xiàn)出來(lái)。由于噪聲在任何一維上都起作用,m維空間中就會(huì)測(cè)得γ=m。這樣,我們看到實(shí)際系統(tǒng)的尺度變換,在大小兩頭受到限制。ε太大時(shí),γ=0;ε太小時(shí),γ=m,都與所研究的系統(tǒng)的本質(zhì)沒有關(guān)系。只有中間C(ε)=εγ的一段,才對(duì)應(yīng)無(wú)標(biāo)度區(qū)。有沒有無(wú)標(biāo)度區(qū),不取決于主觀愿望,而決定于客觀事實(shí)。上述維數(shù)測(cè)量方法的好處在于:只要對(duì)一批m值畫出lnC(ε)-lnε曲線,看看是否在斜率等于0和m的兩段直線之間還有一段斜率γ介于0和m之間的直線,它就自動(dòng)指出無(wú)標(biāo)度區(qū)的范圍,并且表明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的噪聲背景有多大(大致相當(dāng)斜率以γ變到m處的ε值)。如果斜率直接從0變到m,往往是嵌入空間的維數(shù)m選得不夠大。如果調(diào)整m之后還看不到無(wú)標(biāo)度區(qū),則證明分形維數(shù)不存在。2.4設(shè)計(jì)函數(shù)的p月面照片上的各種不同大小的月坑,如果只看照片,比例尺是完全看不出來(lái)的,也就是說(shuō)月坑的大小分布并沒有特征長(zhǎng)度。考慮這種大小分布時(shí),從其分布函數(shù)的類型即可求得分形堆數(shù)。把月坑直徑記為ε,把直徑大于ε的月坑存在概率記為P(ε)。若把直徑的分布密度記為P(s),則有P(ε)=∫∝εP(s)ds。(17)若想變換比例尺而分布類型不變,對(duì)任意的λ>0,P(ε)∝P(λε)(18)必須成立。能常滿足(18)式的ε函數(shù)型,只限于下面的冪型P(ε)∝ε-D。(19)當(dāng)考慮用粗視化看不見小于ε的月坑時(shí),則能看見月坑的數(shù)目與P(ε)成比例。變換粗視化程度,在看不見小于2ε的月坑時(shí),能看見的月坑數(shù)與P(2ε)成比例,此數(shù)是用大小ε粗視化時(shí)的2-D倍。一般若把用大小ε粗視化時(shí)看見的個(gè)數(shù)假定為N(ε),因N(ε)與P(ε)成比例,這里出現(xiàn)的D則與用粗視化的分形維數(shù)的定義(13)相一致。2.5截止頻率的計(jì)算根據(jù)觀測(cè)對(duì)空間或時(shí)間的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行調(diào)查時(shí),往往可以較簡(jiǎn)單地得出用波數(shù)分解變動(dòng)的波譜。而從波譜的角度看,所謂改變觀測(cè)的粗視化程度就是改善截止頻率fc。這里所說(shuō)的截止頻率,是指把較此更細(xì)的振動(dòng)成分舍去的界限頻率。因此,如果說(shuō)某變動(dòng)是分形,那么也就等于說(shuō)既使變換截止頻率fc也不改變波譜的形狀。具有這種性質(zhì)的