彈性力學(xué)主要內(nèi)容

1、彈性力學(xué)的研究對象、內(nèi)容及范圍彈性力學(xué)是研究在外界因素（外力、溫度變化）的影響下，處于彈性階段的物體所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變及位移。彈性力學(xué)的研究對象為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼等。2、彈性力學(xué)的基本假設(shè)（即滿足什么樣條件的物體是我們在彈性力學(xué)中要研究的）（1）均勻性假設(shè)即物體是由同一種材料所組成的，在物體內(nèi)任何部分的材料性質(zhì)都是相同的。（用處：物體的彈性參數(shù)，如彈性模量E,不會隨位置坐標(biāo)的變化而變化）（2）連續(xù)性假設(shè)即物體的內(nèi)部被連續(xù)的介質(zhì)所充滿，沒有任何孔隙存在。（用處：彈性體的所用物理量均可用連續(xù)的函數(shù)去表示）（3）完全彈性假設(shè)即當(dāng)我們撤掉作用于物體的外力后，物體可以恢復(fù)到原狀，沒有任何的殘余變形；應(yīng)力（激勵(lì)）與應(yīng)變（響應(yīng)）之間呈正比關(guān)系。（用處：可以使用線性虎克定律來表示應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）（4）各向同性假設(shè)即物體內(nèi)任意一點(diǎn)處，在各個(gè)方向都表現(xiàn)出相同的材料性質(zhì)。（用處：物體的彈性參數(shù)可以取為常數(shù)）（5）小變形假設(shè)即在外力的作用下，物體所產(chǎn)生的位移和形變都是微小

的。（用處：可以在某些方程的推導(dǎo)中略去位移和形變的高階微量）3、彈性力學(xué)的基本量表1直角坐標(biāo)表示的各種基本量情況基本量空間問題平面問題量綱正負(fù)號規(guī)定未知正應(yīng)力xyzxy[力/長度-2]正面以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?/p>

量剪應(yīng)力T、T、1xyyzzxTxy［力/長度-2］負(fù)面以坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎?。正?yīng)變￡、￡、8xyz￡、￡xy無量綱線段伸長為正剪應(yīng)變Y、Y、丫xyyzzxYxy無量綱角度減小為正位移u、v、wu、v［長度］沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎阎矿w力f、f、fxyzf、fxy［力/長度-3］沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎媪、f、/xyzf、fxy［力/長度-2］沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?、兩類平面問題的概念（1）平面應(yīng)力問題（應(yīng)力是平面的；變形是空間的）如圖所示薄板，其z方向的尺寸比其他兩個(gè)方向上的尺寸小得多；外力和體力都平行于板面，并且沿著板的厚度沒有變化，這樣的問題稱為平面應(yīng)力問題。（2）平面應(yīng)變問題若物體在z方向的尺寸比在其他兩個(gè)方向上的尺寸大得多，如圖所示很長的壩體，外力及體力沿著z方向沒有變化，則這類問題稱為平面應(yīng)變問題。（3）兩類平面問題的一些特征空間問題的基本未知量共有8個(gè)，每個(gè)基本未知量僅僅是坐標(biāo)（x,y）的函數(shù)。表2兩類平面問題的一些特征名稱平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題未知量已知量未知量已知量位移u、vw主0u、vw=0應(yīng)變￡、￡、YxyxyY二Y二0yzzx￡+Q)zExy￡、￡、YxyxyY二Y=￡二0yzzxz應(yīng)力a、a、txyxyt=t=a=0yzzxza、a、txyxyt=t=0yzzxa=p（a+a）zxy外力體力、面力的作用面平行于xOy平面；外力沿板厚均勻分布體力、面力的作用面平行于xOy平面；外力沿z軸無變化形狀z向尺寸遠(yuǎn)小于板面尺寸（等厚度薄板）z向尺寸遠(yuǎn)大于xOy平面內(nèi)的尺寸（等截面長柱體）5、平面問題的基本方程平面問題的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）幾何方程；（3）物理方程平面問題的基本量有8個(gè)，分別是：3個(gè)應(yīng)力分量：c、a、t；xyxy3個(gè)形變分量：￡、￡、7;xyxy2個(gè)位移分量：u、v（1）平衡方程平衡方程描述的是體力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系TOC\o"1-5"\h\zda5t5tda一X+yx+f=0;xy+y+f=0dxdyxdxdyy上述平衡方程對于平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題均適用（2）幾何方程幾何方程描述的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系dudvdvdu￡=；￡=；Y=+-xdxydyxydxdy3）物理方程物理方程描述的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系平面應(yīng)力問題的物理方程為：平面應(yīng)變問題的物理方程為：S=—(^-UC)xExys-i&uC]xE(x1—uy丿s-_LCr-uc)yEyxs-1—u2&—uc]yE(y1—ux丿Y/Gxyxy(6、平面問題的邊界條件Y/Gxyxyf彈性力學(xué)問題的邊界條件，簡單的說就是用來描述彈性體邊界上所受的外部作用。這個(gè)外部作用可以是面力的作用，也可以是對位移的約束，也可以是兩者的綜合作用。因此對于彈性體的每一條邊而言，其邊界條件為如下三種類型的其中一種：(1)位移邊界條件若在彈性體的全部邊界s上給定了位移分量u和v,則位移邊界條件為：2)應(yīng)力邊界條件f，則應(yīng)力邊界條件為:y若在彈性體的全部邊界sf，則應(yīng)力邊界條件為:yxl?G)+m)-fxsxysxl?C)+m)—fxysysy混合邊界條件若在彈性體的部分邊界上s給定了位移分量u和V，另外一部分邊界s上給12定了面力分量f、f，則混合邊界條件為：xy在s上：u—u；V—V1

S2上:l?G)S2上:l?G)+m)=xsxysxysys4)圣維南原理及其對邊界條件的簡化對于彈性體的邊界而言，如果能在所有的邊界上都可以找到精確滿足以上三種類型之一的邊界條件是最好不過的情況了。因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候我們就可以通過求解基本方程來了解彈性體中任意位置處的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。但是對于具體的問題來說，要想使得每條邊上的邊界條件得到完全滿足是非常困難的。邊界條件得不到完全的滿足，就意味著我們得不到彈性體內(nèi)任意位置處的精確解。既然得不到任意位置處的精確解，那么就要考慮是否能在彈性體內(nèi)部的大部分區(qū)域獲得精確的結(jié)果。為實(shí)現(xiàn)這一目的，人們需要找到一種方法去處理不能完全滿足邊界條件的彈性體邊界。而法國學(xué)者圣維南，就是成功找到了處理方法之一的牛人。圣維南所提出的處理方法，是針對應(yīng)力邊界條件的。他于1855年提出了這樣一種說法：如果將分布在物體的某個(gè)小部分邊界上的面力，替換為與原來的面力分布方式不同但是靜力等效的另外一種面力，那么，由于進(jìn)行了這種替換而在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的影響，只局限于這一小部分邊界附近的局部區(qū)域，對于遠(yuǎn)離這一小部分邊界的區(qū)域，替換所產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì)。7、平面問題中的應(yīng)力分析(1)過彈性體中某點(diǎn)的任一斜截面(該斜截面的法線方向與x軸夾角的余弦為l；與y軸夾角的余弦為m)上的正應(yīng)力j、剪應(yīng)力t的計(jì)算公式:NNj=12-c+m2-c+2-1-m-tNxyxyt=1-m-Cj—j2—m2)-tNyxxy(2)彈性體中任一點(diǎn)處的主應(yīng)力j和j可由下式求得:12

c1cxc+cxy2土(3)主應(yīng)力c1和cc+cxy2土(3)主應(yīng)力c1212TOC\o"1-5"\h\zC-CTTtga=—1x；tga=xy=—xy1T2C—CC—Cxy2y1x（C的方向與C的方向互相垂直）12二、平面問題的直角坐標(biāo)解答前面我們主要建立了平面問題的基本方程。對于平面問題而言，基本方程包括2個(gè)平衡方程、3個(gè)幾何方程和3個(gè)物理方程。這8個(gè)方程對應(yīng)著8個(gè)未知量（3個(gè)應(yīng)力分量：b、b、工；3個(gè)應(yīng)變分量：&、&、丫;2個(gè)位移分xyxyxyxy量：u、v）。彈性力學(xué)要解決的平面問題，簡單說就是研究在不同的邊界條件下如何求解這8個(gè)未知量。本部分就是研究在平面直角坐標(biāo)系下，求解這8個(gè)未知量的方法?！就ǔ５那蠼夥椒ā浚w力是坐標(biāo)的函數(shù)）1、按位移求解平面問題（位移法）[詳見書p33圖2-19]位移法的解題思想：以位移分量（u,v）作為基本未知量，由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求解出位移分量。位移分量求出來之后，利用幾何方程求出形變分量，進(jìn)而將形變分量代入物理方程求出應(yīng)力分量。按位移法求解平面問題（平面應(yīng)力問題），位移分量（u,v）必須滿足下列全部條件：1）1）用位移表示的平衡方程22dy22dxdy丿+f=0

yE|d2u*1—pd2u*1+pd2v1—p2(dx2“Q2v1—pd2V1+pd2U

-++22dx22dxdy丿2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件

E1—|LX2xE1—|LXE1—|LX2xE1—|LX2m?佇+卩色丿+1?

{SySx丿巳佇+色'2{SxSy丿3）位移邊界條件(u)=u；(v)二vss總結(jié)：按照位移法求解平面應(yīng)力問題，就是要使得位移分量（u,v）滿足（1）總結(jié)：中的平衡方程，同時(shí)還要在邊界上滿足邊界條件（視具體的邊界而定需要滿足應(yīng)力邊界or位移邊界or兩者兼有）。在求出位移分量以后，即可利用幾何方程求出形變分量，進(jìn)而利用變換后的物理方程（應(yīng)力用應(yīng)變表示）求出應(yīng)力分量當(dāng)問題為平面應(yīng)變問題時(shí)，注意應(yīng)將上述方程中的ETE；RT丄1—卩21—JL1位移法求解平面問題的實(shí)質(zhì)，就是求解滿足上述平衡方程和邊界條件的位移分量U、V,然后利用求解出的位移分量去求解形變分量（幾何方程）和應(yīng)力分量（物理方程）。2、按應(yīng)力求解平面問題（應(yīng)力法）[詳見書p37圖2-21]應(yīng)力法的解題思想：以應(yīng)力分量GQT）作為基本未知量，由一些只包含xy,xy應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求解出應(yīng)力分量,再利用物理方程求出形變分量,進(jìn)而利用幾何方程求出位移分量。按應(yīng)力求解平面問題（平面應(yīng)力問題），應(yīng)力分量GQT）必須滿足下列xy,xy全部條件：（1）平衡方程

2）相容方程fi2fix2亦5tx2）相容方程fi2fix2亦5tx+yx+f=0dxdyx5t亦xy+y+f=0fixdyyfi2'+fiy2丿(j+Q)=-(1+卩)xyffifxJfixfif)3）應(yīng)力邊界條件(lp+m-t(m-jyxyyxs+l-xyyxs+l-t)=xys應(yīng)力法求解平面問題的實(shí)質(zhì)，就是求解滿足上述平衡方程、相容方程及邊界條件的應(yīng)力分量，然后利用求解出來的應(yīng)力分量去求解形變分量（物理方程和位移分量（幾何方程）。【特殊的應(yīng)力法】對于單連體問題而言在常體力情況下，利用應(yīng)力法求解平面問題時(shí)可以使求解方法得到簡化）之前我們討論的體力是坐標(biāo)的函數(shù)，即構(gòu)成彈性體的若干個(gè)微小單元體所受到的體力不是相同的。非常體力情況下體力分量是分別關(guān)于x、y的函數(shù)（fxfy）。y1、常體力情況：構(gòu)成彈性體的若干個(gè)微小單元體所受到的體力均相同。常體力情況下，體力分量是兩個(gè)常數(shù)（X,Y）2、在常體力情況下可以對問題進(jìn)行簡化的依據(jù)常體力情況下，應(yīng)力的相容方程為：匕+工怡+J=—(1+G崖+空、0(Qx2dy2丿xydxdy丿即：￡+工比+J=0即：TOC\o"1-5"\h\z(dx2dy2丿xy那么現(xiàn)在對于問題的求解就轉(zhuǎn)化為求解下列方程的解：平衡方程：_x+yx+f=0dxdyxdTdaxy+y+f=0dxdyy相容方程：［工+鼻(a+a)=0(dx2dy2丿xy應(yīng)力邊界條件：(l-a+m-t)=X；(m-a+1-t)=Yxyxsyxys上述方程中均不含有彈性參數(shù)(E、卩),對于平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題均適用。3、常體力情況下可以做哪些簡化、針對任一彈性體所求解出來的應(yīng)力分量，適用于具有同樣邊界并且受同樣外力的其他材料的物體。(因?yàn)榻Y(jié)果與材料的彈性參數(shù)無關(guān))、針對平面應(yīng)力問題所求出的應(yīng)力分量，也同樣適用于邊界相同、外力相同的平面應(yīng)變問題。(因?yàn)榻Y(jié)果與彈性參數(shù)無關(guān)，所以無需進(jìn)行E和卩的替換)、對于應(yīng)力邊值問題，可以將彈性體所受體力的作用改換為面力的作用，以便于解答問題或試驗(yàn)量測，從而為試驗(yàn)應(yīng)力分析提供方便。、可將原來所要求解的三個(gè)未知的應(yīng)力分量的問題轉(zhuǎn)化只求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)即可。

4、常體力情況下利用應(yīng)力函數(shù)求解平面問題在按應(yīng)力求解平面應(yīng)力邊值問題時(shí)，只需求出一個(gè)滿足應(yīng)力函數(shù)相容方程的應(yīng)力函數(shù)即可【見下①】。在求出應(yīng)力函數(shù)e(x,y)后，即可利用應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系求解出應(yīng)力分量【見下②】，注意求解出的應(yīng)力分量要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件【見下③】，對于多連體問題，還要滿足位移的單值條件。應(yīng)力函數(shù)^(x,y)需要滿足的相容方程為：S2S2S2￥+Sx2Sy2丿申(x,y)=0或?qū)懽鱒4(p=0應(yīng)力函數(shù)^(x,y)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為:s2(p(x,y)。b=—X-xTOC\o"1-5"\h\zxsy2s2(p(x,y)Fb=—Y-yySx2S2(p(x,y)t=——xySxSy③由上述關(guān)系式求出的應(yīng)力分量要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件為：(P+m-t)=Xxyxs(mP+1-t)=Yyxys引入應(yīng)力函數(shù)后，就可以將應(yīng)力法中所要求解的三個(gè)方程轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)關(guān)于應(yīng)力函數(shù)的相容方程即可，即使得問題得到了簡化。5、求解應(yīng)力函數(shù)的方法——逆解法與半逆解法既然使用應(yīng)力函數(shù)可以使得問題得到較大程度的簡化，那么如何求解這個(gè)應(yīng)力函數(shù)呢？我們說有兩種求解應(yīng)力函數(shù)的方法：逆解法與版逆解法。(1)逆解法的求解步驟：首先找出滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；由應(yīng)力函數(shù)求解出應(yīng)力分量在給定邊界的形狀（邊界方程）下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件，由應(yīng)力反推出面力。從而得出在此組面力下，其解答就是上述應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力。（2）半逆解法的求解步驟：根據(jù)邊界形狀和受力情況，假設(shè)出部分（或全部）應(yīng)力分量的形式；根據(jù)應(yīng)力分量和應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系，由給出的部分的應(yīng)力分量推求出應(yīng)力函數(shù)；驗(yàn)證推求出的應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程；如不滿足，則重新回到①；如滿足，則根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求出其余的應(yīng)力分量；驗(yàn)證全部應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力邊界條件（對于多連體問題，還需要滿足位移的單值條件），如果不滿足，則重新回到①；如滿足，則得到問題的解答。三、平面問題的極坐標(biāo)解答平面極坐標(biāo)問題的研究思路與平面直角坐標(biāo)系一樣，也是研究如何求解8個(gè)基本未知量的求解方法。但是由于坐標(biāo)系的變化（由（X、y）T（r>9）），因此在平面問題中的8個(gè)基本未知量在極坐標(biāo)系中表示為：3個(gè)應(yīng)力分量：b、rb、工；3個(gè)形變分量：￡、￡、Y；2個(gè)位移分量：U、Uo9r9r9r9r9平面極坐標(biāo)問題也有平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩種類型。平面應(yīng)力：如圓環(huán)、圓盤等；平面應(yīng)變：如圓筒（半平面體視具體情況分析而定）求解這8個(gè)基本未知量的方程（即基本方程）為：1）平衡方程：亦15tq1）平衡方程：亦15tq-q匚+0^+——r+f—0drr50rr1dqdt2t++r0+/—0r50drr02）幾何方程：du￡—事；rdr1duu￡—0+r0r50r1duduuY—r+0—0-用r50drr3）物理方程（平面應(yīng)力問題）Er陽0）；Er陽0）；E0平面應(yīng)變問題中的物理方程：將ET求解上述8個(gè)方程的方法我們僅介紹了應(yīng)力函數(shù)方法（體力為零的條件下）。與平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力函數(shù)法一樣，在極坐標(biāo)系中，我們需要找出一個(gè)應(yīng)力函數(shù)申（廠,0）,然后根據(jù)極坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系得到應(yīng)力分量及相應(yīng)的位移。當(dāng)然,這里的應(yīng)力函數(shù)也不是隨便取一個(gè)就可以,它仍然要滿足相容方程。在極坐標(biāo)下,應(yīng)力函數(shù)所要滿足的相容方程為：工+d2?1d?t——+￡+丄條］r0rdrd0r2d2?1d?t——+r0rdrd0r250應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：1d2?1d*q—+rr2d02rdrd2?q——L0dr2

求解出來的應(yīng)力分量，同樣需要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（對于多連體比如說圓筒，還要滿足位移的單值條件）。在極坐標(biāo)系中，常見的應(yīng)力邊界有：b=已知的（徑向）面力分量；T=已知的剪切面力分量rr0或b=已知的（環(huán)向）面力分量；T=已知的剪切面力分量9rO對于具體的問題，要根據(jù)所建立的坐標(biāo)系來寫出應(yīng)力邊界條件。特殊的情況：軸對稱問題在軸對稱問題中，應(yīng)力分量是軸對稱的，形變分量是軸對稱的；但是位移分量不一定是軸對稱的。在彈性體不存在剛體位移或存在軸對稱約束的情況下，位移分量也是軸對稱的。軸對稱問題的應(yīng)力函數(shù)：申二Alnr+Br2lnr+Cr2+D軸對稱問題的應(yīng)力分量：b=A+B(1+2lnr)+2Crr2b=-A+B(3+2lnr)+2COr2T=T=0rOOr軸對稱問題相應(yīng)的位移(平面應(yīng)力問題)：4BrO4BrOE+Hr-IsinO+KcosO丄-(1+2(1—p)Br(lnr—1)+(1-3p)Br+2(1-^)Cr+1cosO+KsinOE\_r_如果是多連體問題，由于位移需要滿足單值條件，故B=0；如果位移也是軸對稱的，則有B=H=I=K=0。接觸問題：接觸類型：4種（參見書P103）對于兩個(gè)彈性體相互接觸的問題，要注意對于不同的彈性體有不同的彈性參數(shù)e和卩，以及不同的待定常數(shù)A、B、C、H、I、K。對于接觸問題，要注意在接觸面上還有連續(xù)條件，即力和位移都是連續(xù)的。四、空間問題的基本理論1、基本方