直角三角形等腰直角三角形斜邊直線專題(韓)

..直角三角形、斜邊中線、等腰直角三角形專題一、直角三角形的性質(zhì)1．一塊直角三角板放在兩平行直線上，如圖，∠1+∠2=度．2．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC，求證：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF．3．如下圖，在△ABC中，CD，BE是兩條高，那么圖中與∠A相等的角有4．如圖，△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一點且BP=AC，Q是CF延長線上一點且CQ=AB，連接AP、AQ、QP，求證：△APQ是等腰直角三角形．二、含30°角的直角三角形的性質(zhì)5．在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點．假設(shè)BD=2，求AD的長6．如圖，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，假設(shè)PC=6，求PD的長7．如下圖，矩形ABCD中，AB=AD，E為BC上的一點，且AE=AD，求∠EDC的度數(shù)8．如圖，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的中點，DF⊥AB于點F，點E在BA的延長線上，且ED=EC，假設(shè)AE=2，求AF的長9．如下圖，∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的長10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求證：〔1〕CD=DE；〔2〕AC=BE；〔3〕BD=2CD；直角三角形斜邊中線問題11．如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，求證：△PMN為等邊三角形；12．銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是線段BC的中點，連接DM，EM．〔1〕假設(shè)DE=3，BC=8，求△DME的周長；〔2〕假設(shè)∠A=60°，求證：∠DME=60°；〔3〕假設(shè)BC2=2DE2，求∠A的度數(shù)．13．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點，EF=2，求AC的長14．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，求AM的最小值15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E為AB的中點，AD、CE相交于點F，求∠DFE等于多少16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB′，假設(shè)∠B=50°，求∠ACB′=．17．如圖，△ABC中，AB=AC，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC，假設(shè)DE=5，AE=8，求BC的長度．如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，又∠BED=90°．求證：AC=BD．19．：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是AB邊的中點，CH⊥AB于點H，CD平分∠ACB．〔1〕求證：∠1=∠2．〔2〕過點M作AB的垂線交CD延長線于E，求證：CM=EM；〔3〕△AEB是什么三角形？證明你的猜測．20．如圖，在△ABC中，延長CA到D，使BA=BD，延長BA到E，使CA=CE，設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點．求證：△PMN是等腰三角形．四、等腰直角三角形問題21．如圖，△ACB、△CDE為等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點，求證：AF⊥DF，AF=DF．22．等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取點F，使DF=DE，求證：CF平分∠DCB．23．如圖，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是線段AB中點，連接DM、CM、CD．假設(shè)C在直線OB上，試判斷△CDM的形狀．24．如圖①，點D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點M為EC的中點．〔1〕求證：△BMD為等腰直角三角形；〔2〕將圖①中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，那么〔1〕題中的結(jié)論"△BMD為等腰直角三角形〞是否仍然成立？請說明理由．25．：如圖△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且∠EDF=90°〔1〕求證：△DEF為等腰直角三角形；〔2〕求證：S四邊形AEDF=S△BDE+S△CDF；〔3〕如果點E運動到AB的延長線上，F(xiàn)在射線CA上且保持∠EDF=90°，△DEF還仍然是等腰直角三角形嗎？請畫圖說明理由．26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D．〔1〕如圖1，作∠ADB的角平分線DF交BE于點F，連接AF．求證：∠FAB=∠FBA；〔2〕如圖2，連接DE，點G與點D關(guān)于直線AC對稱，連接DG、EG①依據(jù)題意補全圖形；②用等式表示線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．27．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，DE⊥AB，垂足為點E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF、AF、AD，AD與CF交于點G．〔1〕求證：△ACD≌△CBF；〔2〕AD與CF的關(guān)系是；〔3〕求證：△ACF是等腰三角形；〔4〕△ACF可能是等邊三角形嗎？〔填"可能〞或"不可能〞〕．直角三角形斜邊中線等腰直角三角形專題參考答案與試題解析1．【解答】解：如圖，∠1=∠3，∠2=∠4〔對頂角相等〕，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案為：90．【點評】此題考察了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，對頂角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC，給出以下結(jié)論：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．其中正確的結(jié)論是〔〕A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根據(jù)等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD〔對頂角相等〕，∴∠AEF=∠AFE，故②正確；∵∠ABE=∠CBE，∴只有∠C=30°時∠EBC=∠C，故③錯誤；∵∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．應選C．【點評】此題考察了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如下圖，在△ABC中，CD，BE是兩條高，那么圖中與∠A相等的角的個數(shù)有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)條件CD，BE是兩條高可知：∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，再根據(jù)同角的余角相等即可得到答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDH=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，∴∠A=∠BHD=∠CHE，應選：B．【點評】此題主要考察了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直得到有哪些角互余．4．如圖，△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一點且BP=AC，Q是CF延長線上一點且CQ=AB，連接AP、AQ、QP，判斷△APQ的形狀．【分析】利用BE、CF都是△ABC的高，求證∠1=∠2，然后求證△ACQ≌△PBA，利用AQ=AP，AQ⊥AP，即可證明△APQ是等腰直角三角形．【解答】解：△APQ是等腰直角三角形．∵BE、CF都是△ABC的高，∴∠1+∠BAE=90°，∠2+∠CAF=90°〔同角〔可等角〕的余角相等〕∴∠1=∠2又∵AC=BP，CQ=AB，在△ACQ和△PBA中，∴△ACQ≌△PBA∴AQ=AP，∴∠CAQ=∠BPA=∠3+90°∴∠QAP=∠CAQ﹣∠3=90°∴AQ⊥AP∴△APQ是等腰直角三角形【點評】此題考察學生對全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的理解和掌握，難度不大，屬于根底題．5．〔2016秋?泰山區(qū)期中〕在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點．假設(shè)BD=2，那么AD的長是〔〕A．3 B．4 C．5 D．4.5【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，解答即可．【解答】解：∵∠ACB=60°，∠B=90°，∴∠A=30°，∵DE是斜邊AC的中垂線，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=30°，∵BD=2，∴AD=4，應選B【點評】此題考察的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．〔2016秋?大豐市月考〕如圖，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，假設(shè)PC=6，那么PD等于〔〕A．4 B．3 C．2 D．1【分析】過點P作PE⊥OB于E，根據(jù)兩直線平行，錯角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．【解答】解：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE=PC=3，∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3，應選B．【點評】此題考察了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個角的和的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．〔2015春?蘭溪市期末〕如下圖，矩形ABCD中，AB=AD，E為BC上的一點，且AE=AD，那么∠EDC的度數(shù)是〔〕A．30° B．75° C．45° D．15°【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，推出AE=2AB，得出∠AEB=30°=∠DAE，求出∠EDC的度數(shù)，即可求出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，∵AB=AD，E為BC上的一點，且AE=AD，∴AE=2AB，∴∠AEB=30°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=30°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=〔180°﹣∠EAD〕=75°，∵∠ADC=90°，∴∠EDC=90°﹣75°=15°，應選D．【點評】此題考察了矩形性質(zhì)，三角形的角和定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，解此題的關(guān)鍵是求出∠ABC和∠EBA的度數(shù)，題目比擬好，是一道綜合性比擬強的題目．8．〔2013春?校級期末〕如圖，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的中點，DF⊥AB于點F，點E在BA的延長線上，且ED=EC，假設(shè)AE=2，那么AF的長為〔〕A． B．2 C．+1 D．3【分析】過點E作EH∥AC交BC的延長線于H，證明△ABH是等邊三角形，求出CH，得到BD的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BF，計算即可．【解答】解：過點E作EH∥AC交BC的延長線于H，∴∠H=∠ACB=60°，又∠B=60°，∴△EBH是等邊三角形，∴EB=EH=BH，∴CH=AE=2，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠H，∴∠BED=∠HEC，在△BED和△HEC中，，∴△BED≌△HEC，∴BD=CH=2，∴BA=BC=4，BF=BD=1，∴AF=3．應選：D．【點評】此題考察的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形的三個角都是60°是解題的關(guān)鍵．9．〔2012春?古冶區(qū)校級期中〕如下圖，∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的長是〔〕A．2 B．3 C．1 D．1.5【分析】在Rt△AEC中，由于=，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，從而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性質(zhì)求出CD．【解答】解：在Rt△AEC中，∵=，∴∠1=∠2=30°，∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°，∴∠ACD=180°﹣30°×3=90°，∴CD=AD=2．應選A．【點評】此題利用了：〔1〕直角三角形的性質(zhì)；〔2〕三角形角和定理；〔3〕等邊對等角的性質(zhì)．10．〔2012秋?包河區(qū)期末〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，以下結(jié)論〔1〕CD=DE；〔2〕AC=BE；〔3〕BD=2CD；〔4〕DE=AC中，正確的有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，AC=BE，結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD=2CD，而AC和BD不一定相等，所以可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC=DE，∠ADC=∠ADE=60°，∴AD平分∠CDE，∴AC=AE，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2CD，在Rt△ADE中，DE=AE=AC，∴正確的有〔1〕、〔2〕、〔3〕，應選C．【點評】此題主要考察角平分線的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．11．〔2015秋?江陰市期中〕如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，那么以下結(jié)論：①PM=PN；②△PMN為等邊三角形；下面判斷正確是〔〕A．①正確 B．②正確 C．①②都正確 D．①②都不正確【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠A=30°，再根據(jù)三角形的角和定理求出∠B+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷②正確．【解答】解：①∵BM⊥AC于點M，⊥AB于點N，P為BC邊的中點，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正確；②∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，⊥AB于點N，∴∠ABM=∠A=30°，在△ABC中，∠B+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵點P是BC的中點，BM⊥AC，⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠B，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2〔∠B+∠CBM〕=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等邊三角形，正確；所以①②都正確．應選：C．【點評】此題主要考察了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是線段BC的中點，連接DM，EM．〔1〕假設(shè)DE=3，BC=8，求△DME的周長；〔2〕假設(shè)∠A=60°，求證：∠DME=60°；〔3〕假設(shè)BC2=2DE2，求∠A的度數(shù)．【分析】〔1〕根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；〔2〕根據(jù)三角形角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根據(jù)三角形角和定理求出即可；〔3〕求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度數(shù)，根據(jù)三角形的角和定理求出即可．【解答】解：〔1〕∵CD，BE分別是AB，AC邊上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是線段BC的中點，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周長是DE+EM+DM=3+4+4=11；〔2〕證明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是線段BC的中點，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；〔3〕解：過M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴〔2EM〕2=2〔2EN〕2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DME=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=〔180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC〕=135°，∴∠BAC=180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕=45°．【點評】此題考察了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的角和定理，解直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應用，能綜合運用性質(zhì)進展推理是解此題的關(guān)鍵，此題綜合性比擬強，有一定的難度，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．13．〔2014春?區(qū)校級期中〕如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點，EF=2，那么AC的長是〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連結(jié)AF．由AB=AD，F(xiàn)是BD的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AF⊥BD．再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC=2EF=4．【解答】解：如圖，連結(jié)AF．∵AB=AD，F(xiàn)是BD的中點，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中點，EF=2，∴AC=2EF=4．應選B．【點評】此題考察了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AF⊥BD是解題的關(guān)鍵．14．〔2011秋?堰市期末〕如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，那么AM的最小值為〔〕A．2 B．2.4 C．2.6 D．3【分析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，利用相似三角形對應邊成比例即可求得AP最短時的長，然后即可求出AM最短時的長．【解答】解：連結(jié)AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中點，∴AM=AP，根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，即AP⊥BC時，AP最短，同樣AM也最短，∴當AP⊥BC時，△ABP∽△CBA，∴=，∴=，∴AP最短時，AP=4.8∴當AM最短時，AM==2.4．應選B．【點評】此題主要考察學生對相似三角形判定與性質(zhì)、垂線段最短和直角三角形斜邊上的中線的理解和掌握，此題涉及到動點問題，有一定的拔高難度，屬于中檔題．15．〔2010?武隆縣模擬〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E為AB的中點，AD、CE相交于點F，∠DFE等于〔〕A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)得，∠BAC=70°，∠BAD=∠B，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出∠ECB=∠B，從而得出∠ACE，再由三角形的角和定理得∠AFC，根據(jù)對頂角相等求出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=20°，∴∠BAC=70°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=20°，∴∠DAC=50°，∵E為AB的中點，∴BE=CE，∴∠ECB=∠B=20°，∴∠ACE=70°，在△ACF中，∠ACF+∠AFC+∠FAC=180°，∴∠AFC=60°，∵∠DFE=∠AFC=60°〔對頂角相等〕，應選C．【點評】此題考察了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是根底知識要熟練掌握．16．〔2016?江岸區(qū)模擬〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB′，假設(shè)∠B=50°，那么∠ACB′=10°．【分析】根據(jù)三角形角和定理求出∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出∠BCD、∠DCA的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出∠B′CD的度數(shù)，計算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案為：10°．【點評】此題考察的是直角三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．17．〔2016秋?嵊州市期末〕如圖，△ABC中，AB=AC，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC，假設(shè)DE=5，AE=8，那么BC的長度為2．【分析】由BE⊥AC，D為AB中點，DE=5，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求得AB的長，然后由勾股定理求得BC的長．【解答】解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵D為AB中點，∴AB=2DE=2×5=10，∵AE=8，∴BE==6．∴BC===2，故答案為：2．【點評】此題考察了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半定理的應用是解此題的關(guān)鍵．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，又∠BED=90°．求證：AC=BD．【分析】連接EO，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO，BO=DO，即O為BD和AC的中點，在Rt△AEC中EO=AC，在Rt△EBD中，EO=BD，進而得到AC=BD，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可證出結(jié)論．【解答】證明：連接EO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，在Rt△EBD中，∵O為BD中點，∴EO=BD，在Rt△AEC中，∵O為AC中點，∴EO=AC，∴AC=BD．【點評】此題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．19．：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是AB邊的中點，CH⊥AB于點H，CD平分∠ACB．〔1〕求證：∠1=∠2．〔2〕過點M作AB的垂線交CD延長線于E，求證：CM=EM；〔3〕△AEB是什么三角形？證明你的猜測．【分析】〔1〕根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性質(zhì)得到∠CAB=∠ACM，由余角的性質(zhì)得到∠CAB=∠BCH，等量代換得到∠BCH=∠ACM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ACD=∠BCD，即可得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行線的性質(zhì)得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到結(jié)論；〔3〕根據(jù)CM=EMAM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到結(jié)論．【解答】證明：〔1〕Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵M是AB邊的中點，∴AM=CM=BM，∴∠CAB=∠ACM，∴∠CAB=90﹣∠ABC，∵CH⊥AB，∴∠BCH=90﹣∠ABC，∴∠CAB=∠BCH，∴∠BCH=∠ACM，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ACD﹣∠ACM=∠BCD﹣∠BCH，即∠1=∠2；〔2〕∵EM⊥AB，CH⊥AB，∴EM∥CH，∴∠HCD=∠MED，∵∠HCD=∠MCD，∴∠MCD=∠MED，∴CM=EM；〔3〕△AEB是等腰直角三角形，∵CM=EMAM=CM=BM，∴EM=AM=BM，∴△AEB是直角三角形，∵EM垂直平分AB，∴EA=EB，∴△AEB是等腰三角形，∴△AEB是等腰直角三角形．【點評】此題考察了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，延長CA到D，使BA=BD，延長BA到E，使CA=CE，設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點．求證：△PMN是等腰三角形．【分析】連接BM、，根據(jù)等腰三角形三線合一得到∠BMC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案．【解答】證明：連接BM、，∵BA=BD，DM=MA，∴BM⊥AD，∴∠BMC=90°，又BP=PC，∴MP=BC，同理，NP=BC，∴MP=NP，∴△PMN是等腰三角形．【點評】此題考察的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．21．如圖，△ACB、△CDE為等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點，求證：AF⊥DF，AF=DF．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根據(jù)等邊對等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】證明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點，∴AF=BF=AE，DF=BF=AE，∴AF=DF，∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥DF，綜上所述，AF⊥DF，AF=DF．【點評】此題考察了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取點F，使DF=DE，求證：CF平分∠DCB．【分析】延長FE交AC于點G，利用角平分線的性質(zhì)可知EG=ED，然后證明△CEG≌△FED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可求出∠ECF=∠BCF．【解答】解：延長FE交AC于點G，∵DE=DF，CD是斜邊AB上的高，∴∠DEF=45°，∵∠DCB=45°，∴EF∥BC，∴∠EFC=∠FCB，∠CGF=90°，∵AE平分∠CAB，∠CGF=∠BDC=90°，∴GE=DE，在△CGE與△FDE中，，∴△CGE≌△FDE〔ASA〕，∴CE=FE，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECF=∠BCF，∴CF平分∠DCB．【點評】此題考察等腰三角形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識點，綜合程度較高．23．如圖，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是線段AB中點，連接DM、CM、CD．假設(shè)C在直線OB上，試判斷△CDM的形狀．【分析】由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M為AB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，那么CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性質(zhì)得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，那么∠AMD﹣∠AMC=2〔∠MBD﹣∠MBC〕=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM為等腰直角三角形．【解答】解：△CDM為等腰直角三角形．理由如下：∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，而M為AB的中點，∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，∴∠AMD﹣∠AMC=2〔∠MBD﹣∠MBC〕=2∠OBD=90°，即∠CMD=90°，∵CM=DM，∴△CDM為等腰直角三角形．同理可得：第2個圖中△CDM為等腰直角三角形．【點評】此題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，靈活利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)是關(guān)鍵．24．〔2010?渝中區(qū)模擬〕如圖①，點D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點M為EC的中點．〔1〕求證：△BMD為等腰直角三角形；〔2〕將圖①中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，那么〔1〕題中的結(jié)論"△BMD為等腰直角三角形〞是否仍然成立？請說明理由．【分析】〔1〕根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可以證明∠BMD=90°，所以△BMD為等腰直角三角形；〔2〕延長DM交BC于N，先根據(jù)∠EDB=∠ABC=90°證明ED∥BC，然后根據(jù)兩直線平行，錯角相等求出∠DEM=∠M，從而證明△EDM與△MNC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DM=MN，然后即可證明BM⊥DM，且BM=DM．【解答】〔1〕證明：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，∴BM=EC=MC，∴∠MBC=∠MCB．∴∠BME=2∠BCM．〔2分〕同理可證：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD．∴∠BMD=2∠BCA=90°，〔4分〕∴BM=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．〔5分〕〔2〕〔1〕題中的結(jié)論仍然成立．理由：延長DM與BC交于點N，〔6分〕∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴∠EDB=∠CBD=90°，∴DE∥BC．∴∠DEM=∠M．又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，∴△EDM≌△MNC．〔8分〕∴DM=MN．DE=NC=AD．又AB=BC，∴AB﹣AD=BC﹣，∴BD=BN．∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．〔9分〕∵∠ABC=90°，∴BM=DN=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．〔10分〕【點評】此題主要考察了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵，難度中等．25．〔2011秋?昌平區(qū)校級期中〕：如圖△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且∠EDF=90°〔1〕求證：△DEF為等腰直角三角形；〔2〕求證：S四邊形AEDF=S△BDE+S△CDF；〔3〕如果點E運動到AB的延長線上，F(xiàn)在射線CA上且保持∠EDF=90°，△DEF還仍然是等腰直角三角形嗎？請畫圖說明理由．【分析】〔1〕連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，從而得到∠1=∠B，再根據(jù)同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用"AAS〞證明△BDE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=DF，從而得證；〔2〕同理求出△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形的面積相等即可得證；〔3〕依然成立，連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，∠CAD=45°，再根據(jù)等角的補角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用"AAS〞證明△BDE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=DF，從而得證．【解答】〔1〕證明：如圖，連接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∴∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF〔ASA〕，∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF為等腰直角三角形；〔2〕解：同理可證，△ADE≌△CDF，所以，S四邊形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF，即S四邊形AEDF=S△BDE+S△CDF；〔3〕解：仍然成立．如圖，連接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∵∠DAF=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°，∠DBE=180°﹣∠ABC=180°﹣45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF〔ASA〕，∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF為等腰直角三角形．【點評】此題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是