全等三角形復(fù)習(xí)專(zhuān)題

學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考⑶圖形別離法從復(fù)雜的圖形中，找出全等三角形的對(duì)應(yīng)部分是較困難的，這時(shí)可把要證全等的兩個(gè)三角形從圖形⑵已知兩角對(duì)應(yīng)相等⑶圖形別離法從復(fù)雜的圖形中，找出全等三角形的對(duì)應(yīng)部分是較困難的，這時(shí)可把要證全等的兩個(gè)三角形從圖形⑵已知兩角對(duì)應(yīng)相等思路1:找出已知兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“ASA''全等三角形總結(jié)A.考點(diǎn)精析、重點(diǎn)突破、學(xué)法點(diǎn)撥“全等四解”全等三角形是初中平面幾何的重要內(nèi)容，它為解決線(xiàn)段以及角的相等問(wèn)題提供了重要工具，也為以后的學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ)，因此要學(xué)好平面幾何，必須重視全等三角形的學(xué)習(xí).那么怎樣才能學(xué)好它呢？本文談四點(diǎn)意見(jiàn)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.組成全等三角形的基本圖形大致有以下幾種：①平移型，如圖中的兩種圖形屬于平移型，它們可看成是由圖形隨某一組對(duì)應(yīng)邊在同一直線(xiàn)上移動(dòng)所構(gòu)成的，故該對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段之和或差得到；②對(duì)稱(chēng)型，如下列圖中的四種圖形屬于對(duì)稱(chēng)型，它們的特征是可沿某一直線(xiàn)對(duì)折，直線(xiàn)兩旁的部分能完全重合〔軸對(duì)稱(chēng)圖形〕，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；③旋轉(zhuǎn)型.如圖中的兩種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型，它們可看成是以三角形的某一頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的,故一般有一對(duì)相等的角隱含在對(duì)頂角或某些角的和或差中.一、從“對(duì)應(yīng)”看全等三角形在說(shuō)明三角形全等時(shí)，需要找出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，那么，如何正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角呢？下面介紹三種方法，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.⑴字母順序確定法由于在表示兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常是把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，所以可以利用字母的順序確定對(duì)應(yīng)元素.⑵圖形特征確定法①有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊.如下左圖，4ADB和AADC全等，則AD一定是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊.②有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，如上中圖，AABD和4ACE全等，NDAB和NEAC是對(duì)應(yīng)角.③有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角.如上右圖，4ABE和4CDF全等，則N1和N2是對(duì)應(yīng)角.④兩個(gè)全等三角形的最大的邊〔角〕是對(duì)應(yīng)邊〔角〕；最小的邊〔角〕是對(duì)應(yīng)邊〔角〕.中別離出來(lái)，用不同顏色標(biāo)出或另畫(huà)，圖形簡(jiǎn)單了就容易找出對(duì)應(yīng)元素.例如圖，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，AC=MC=AM,BC=NC=BN,ZACM=ZNCB=60°，請(qǐng)說(shuō)明：BM=AN.B.中考?？碱}型與解題方法技巧一、證明三角形全等的思路常用三角形全等證明線(xiàn)段、角相等，判定三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL.可以看出，判定三角形全等一般需要三個(gè)條件，為了讓你掌握這種思路，請(qǐng)結(jié)合口訣學(xué)習(xí)：讀已知，做標(biāo)記，分析起來(lái)省力氣；尋隱含，看仔細(xì)，發(fā)現(xiàn)圖中隱藏點(diǎn)；想欠缺，要聯(lián)系，五個(gè)判定需牢記.⑴已知兩邊對(duì)應(yīng)相等思路：找已知兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想到“SAS”例1如圖，0P是NAOC和NBOD的平分線(xiàn),OA=OC,OB=0D.求證:AB=CD.

例2如圖，已知在AABC中，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，D為EF延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，ZA=ZACD,CD與AE相等嗎？說(shuō)明理由，思路2：找已知一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想"AAS"例3如圖，已知N1=N2,ZC=ZD,AC與BD相等嗎？為什么？⑶已知一邊及某一鄰角對(duì)應(yīng)相等思路1:找已知角的另?鄰邊對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“SAS”.例4如圖6-32,點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線(xiàn)上，AD=CB,ZA=ZC,AE=CF.請(qǐng)問(wèn)NB=ND嗎？為什么？思路2：找已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“ASA”.例5如圖，AC和BD相交于點(diǎn)E,AB〃CD,BE=DE.AB與CD相等嗎？說(shuō)明理由.思路3：找已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“AAS”.例6如圖，已知AB=CD,DE±AC,BF±AC,垂足分別為E、F,ZB=ZD,請(qǐng)問(wèn)AF=CE嗎？為什么？(4)已知一邊與其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等思路：找另一角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“AAS”.例7AD與BC相交于0,構(gòu)成如下圖圖形，已知NC=ND,A0=B0,請(qǐng)問(wèn)△AOC04BOD嗎？為什么？常利用三角形全等證明兩線(xiàn)段相等，在證明一條線(xiàn)段等于另外兩條線(xiàn)段的和時(shí)，常用到“截長(zhǎng)法”與“補(bǔ)短”法.⑴截長(zhǎng)法所謂截長(zhǎng)法，就是在長(zhǎng)線(xiàn)段上截取一段，使截取的線(xiàn)段等于兩條短線(xiàn)段中的一條線(xiàn)段，然后證明剩下的線(xiàn)段等于兩條短線(xiàn)段中的另一條線(xiàn)段.例8如圖，AC=BC,ZACB=90°，AD平分NCAB.求證：AC+CD=AB.C⑵補(bǔ)短法所謂補(bǔ)短法，就是延長(zhǎng)兩條短線(xiàn)段中的一條線(xiàn)段，使延長(zhǎng)的部分等于兩條短線(xiàn)段中的另一條線(xiàn)段，再證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段等于長(zhǎng)線(xiàn)段.仍以上面例題為例.欲證AC+CD=AB,可延長(zhǎng)AC到E,使CE二CD,連結(jié)DE,設(shè)法證明AB二AE即可.如注：由以上兩種證法不難看出，無(wú)論是“截長(zhǎng)法”還是“補(bǔ)短法”，都是通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形和等腰三角形，并借助它們的相關(guān)知識(shí)到達(dá)證明的目的.希望同學(xué)們把這兩種方法掌握好.三、“測(cè)量妙法”之“全等”全等三角形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用十分廣泛，下面就如何利用三角形全等解決生活中的測(cè)量問(wèn)題舉例說(shuō)明.例9如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，由于條件限制無(wú)法直接測(cè)量，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)設(shè)計(jì)二種測(cè)量方案,并說(shuō)明這樣做的道理.

用同樣的方法可以測(cè)量底部不可以直接測(cè)量的小山的寬度、古塔的底面直徑等.例10有一河流，河的兩岸有兩棵樹(shù)A、B,假設(shè)A、B之間的距離即為河寬，現(xiàn)有假設(shè)干標(biāo)桿及卷尺,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案測(cè)量河寬AB,并說(shuō)明道理.例13如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC.求證：NA二ND.DAA⑵證明兩線(xiàn)段的和差等于另一條線(xiàn)段基本思路：證明兩線(xiàn)段和或差等于另一條線(xiàn)段，常利用全等等“手段”將要證明的兩線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到同一線(xiàn)段上，然后再根據(jù)具體情況確定和或差，例14如圖，已知：4ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是過(guò)A的一條直線(xiàn)，且B、C在AE的異側(cè).BDXAE于D,CELAE于E求證：BD=DE+CE.例n拿破侖曾在作戰(zhàn)過(guò)程中用一種巧妙的方法測(cè)量河寬，當(dāng)時(shí)法軍和俄軍在萊茵河的兩岸作戰(zhàn)，法軍要使炮彈準(zhǔn)確地落到對(duì)面的河岸上，就必須知道河有多寬，如何測(cè)量呢，要在平時(shí)可以過(guò)河測(cè)量，而當(dāng)時(shí)雙方對(duì)陣，不可能這樣做.拿破侖是這樣做的：如圖，先站直身體，調(diào)整頭上的軍帽的帽舌，使他的視線(xiàn)最遠(yuǎn)處恰好落在河對(duì)岸c處.然后保持頭部的位置不變〔即保證人的視角不變〕，全身向左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)或者后轉(zhuǎn)，哪個(gè)方向的地面比較平坦，便于測(cè)出距離，就轉(zhuǎn)向哪個(gè)方向，再找出從帽舌下望去的最遠(yuǎn)的點(diǎn)D,從測(cè)量人站立的位置B到點(diǎn)D的距離就是河寬.你能說(shuō)明理由嗎？從上述幾何題可以得出，當(dāng)我們遇到不能直接測(cè)量某條線(xiàn)段長(zhǎng)度的問(wèn)題時(shí)，可以利用全等三角形，把需要測(cè)量的線(xiàn)段轉(zhuǎn)換成為可以測(cè)量的線(xiàn)段，再進(jìn)行測(cè)量，從而解決問(wèn)題.四、“全等三角形”用武之地全等三角形的性質(zhì)作用巨大，應(yīng)用廣泛.下面分類(lèi)說(shuō)明“全等三角形”之“用武之地”.⑴證明線(xiàn)段或角相等基本思路：先根據(jù)已知條件證明線(xiàn)段或角所在的兩個(gè)三角形全等，然后再利用全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”證明線(xiàn)段或角相等.例12已知：如圖，D是AABC的邊AB上一點(diǎn)，AB〃FC,DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE.求證：AE=CE.例15如圖，已知：AD〃BC,Zl=2,Z3=Z4,直線(xiàn)DC過(guò)點(diǎn)E交AD于D,交BC于點(diǎn)C.求證：AD+BC=AB.(3)證明線(xiàn)段的不等基本思路：利用已知條件中的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)可以構(gòu)造全等三角形，從而將相關(guān)線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形里面，進(jìn)而利用“三角形兩邊之和大于第三邊”使問(wèn)題獲得解決.例16如圖，點(diǎn)P是^ABC的角平分線(xiàn)AD上任意一點(diǎn)，AB〉A(chǔ)C.求證:AB-AC>PB-PC.⑷證明面積相等基本思路：由于全等三角形面積相等，因此可先我出圖中的全等三角形的面積，再確定要求的三角形面積和已求出的全等三角形的面積之間的關(guān)系即可.例17已知：如圖，NCAB:/DBA,AC=BD.求證：（1）AD=BC；（2）S，,“=S，八.NAOCABOD五、全等變換話(huà)全等我們把只改變圖形的位置，而不改變其形狀、大小的圖形變換叫做全等變換.全等變換包括平移變換、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換三種方式.全等變換前后的兩個(gè)圖形全等，具有全等圖形的所有性質(zhì).利用全等變換，可以為研究幾何圖形提供思路.⑴判斷圖形變換方式例18如圖AA6C2AA6C,通過(guò)怎樣的全等變換，可以使它們重合？

例21如圖，AABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，假設(shè)NB=30°,ZC=40°.問(wèn)：（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的△AB'C'的頂點(diǎn)B'與原AABC的頂點(diǎn)C和A在同一直線(xiàn)上?⑵再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，C、A、C在同一直線(xiàn)上？〔原AABC是指開(kāi)始時(shí)的位置〕六、三角形中添加輔助線(xiàn)的技巧⑴倍長(zhǎng)中線(xiàn)法本法常用于題目條件中有中線(xiàn)，且結(jié)論不易直接證明的題目.例22如圖，已知AD為AABC的中線(xiàn)，試說(shuō)明AB+AO2AD.⑵判斷線(xiàn)段的數(shù)量和位置關(guān)系例19如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AF=^-AB.已知△ABE04ADF,指出圖中線(xiàn)段BE和DF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑵翻折、旋轉(zhuǎn)法例23如圖D是等邊4ABC外一點(diǎn)，且NADB=60°.試說(shuō)明AD=BD+DC.⑶求角的大小例20如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿AE翻折，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，如果NBAF=60°,則NDAE為多少度？

⑶添線(xiàn)構(gòu)成特殊三角形法〔等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、全等三角形〕例24如圖，在4ABC中，NB=60°,AD、CE分別為NBAC、NACB的角平分線(xiàn).試說(shuō)明AE+CD=AC.A邊的長(zhǎng).七、“慧眼識(shí)圖形”一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)全等三角形的相互位置關(guān)系無(wú)論怎樣變化，總離不開(kāi)“轉(zhuǎn)、移、翻”這三種基本形式，如下圖:平移型:翻轉(zhuǎn)型:旋轉(zhuǎn)型:例2已知從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線(xiàn)，將多邊形分成三角形的個(gè)數(shù)恰好等于該多邊形所有對(duì)角線(xiàn)條數(shù)，求多邊形內(nèi)角和.例3如下圖，在AABC中，ZB=ZC,D是BC邊上盼一點(diǎn)，ZBAD=20°,E是AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE,且NADE二NAED,求NEDC的度數(shù).,4.熟悉判斷兩個(gè)三角形全等的基本思路例25如圖，已知AB=AC,ZBAC=ZDAE,ZABD=ZACE,請(qǐng)你說(shuō)明BD=CE的道理..構(gòu)造基本圖形同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，常遇到已知條件與結(jié)論無(wú)法直接聯(lián)系的情況，這就需要構(gòu)造出基本圖形來(lái)創(chuàng)造條件，為說(shuō)明結(jié)論服務(wù).例26如圖，已知AB二CD,AC=DB,試說(shuō)明NB二NC的理由.C.數(shù)學(xué)思想方法與中考能力要求一、方程思想例1如圖，假設(shè)等腰三角形中，一腰上的中線(xiàn)把它的周長(zhǎng)分為15cm和6cm的兩部分，求該三角形各二、轉(zhuǎn)化思想例4一個(gè)零件的形狀如下圖，規(guī)定NA=90°,NB和NC分別是32°和21°,檢驗(yàn)工人量得NBDC=149°,就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)