土木工程識圖投影的基本知識

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正投影原理第1頁，共124頁。本章主要內(nèi)容投影基本知識點的投影直線的投影平面的投影投影變換本章內(nèi)容投影基本知識點的投影直線的投影平面的投影投影變換第2頁，共124頁。3.1投影基本知識3.1.1

投影的概念與分類在制圖中，把光源稱為投影中心，光線稱為投射線，光線的射向稱為投射方向，落影的平面（如地面、墻面等）稱為投影面，影子的輪廓稱為投影，用投影表示物體的形狀和大小的方法稱為投影法，用投影法畫出的物體圖形稱為投影圖，如圖3.1所示。第3頁，共124頁。投影分中心投影和平行投影兩大類。

由一點放射的投射線所產(chǎn)生的投影稱為中心投影，如圖3.2（a）

，由相互平行的投射線所產(chǎn)生的投影稱為平行投影。

平行投射線傾斜于投影面的稱為斜投影，如圖

3.2（b）；平行投射線垂直于投影面的稱為正投影，如圖3.2（c）。

用正投影法繪制出的圖形稱為正投影圖，如圖

3.3所示。第4頁，共124頁。圖3.2

投影法第5頁，共124頁。圖3.3

正投影圖第6頁，共124頁。3.1.2

工程中常用的四種圖示法第7頁，共124頁。透視投影圖圖3.4是按中心投影法畫出的透視投影圖，只需一個投影面。優(yōu)點：圖形逼真，直觀性強。缺點：作圖復(fù)雜，形體的尺寸不能直接在圖中度量，故不能作為施工依據(jù)，僅用于建筑

設(shè)計方案的比較及工藝美術(shù)和宣傳廣告畫等。圖3.4

形體的透視投影圖第8頁，共124頁。

圖3.5所示是軸測投影圖（也稱立體圖），它是平行投影的一種，畫圖時只需一個投影面。優(yōu)點：立體感強，非常直觀

缺點：作圖較繁，表面形狀在圖中往往失真，度量性差，只能作為工程上的輔助圖樣。第9頁，共124頁。3.1.2.2

軸測投影圖圖3.5

形體的軸測投影圖第10頁，共124頁。

采用相互垂直的兩個或兩個以上的投影面，按正投影方法在每個投影面上分別獲得同一物體的正投影，然后按規(guī)則展開在一個平面上，便得到物體的多面

正投影圖，如圖3.6所示。

優(yōu)點是作圖較其他圖示法簡便，便于度量，工程上應(yīng)用最廣，但缺乏立體感。第11頁，共124頁。3.1.2.3正投影圖圖3.6形體的正投影圖第12頁，共124頁。標(biāo)高投影是一種帶有數(shù)字標(biāo)記的單面正投影。

在建筑工程上，常用它來表示地面的形狀，作圖時，用一組等距離的水平面切割地面，其交線為等高線。將不同高程的等高線投影在水平的投影面上，并注出各等高線的高程，即為等高線圖，也稱標(biāo)高投影圖，如圖3.7所示。第13頁，共124頁。3.1.2.4

標(biāo)高投影圖圖3.7

標(biāo)高投影圖第14頁，共124頁。3.1.3

三面正投影圖第15頁，共124頁。三投影面體系的建立

圖3.8中空間四個不同形狀的物體，它們在同一個投影面上的正投影卻是相同的。

通常，采用三個相互垂直的平面作為投影面，構(gòu)成三投影面體系，如圖3.9所示。

水平位置的平面稱作水平投影面；與水平投影面垂直相交呈正立位置的平面稱為正立投影面；位于右側(cè)與H、V面均垂直相交的平面稱為側(cè)立投影面。圖3.9三投影面的建立圖3.8

物體的一個正投影不能確定其空間的形狀第16頁，共124頁。

將物體置于H面之上，V面之前，W面之左的空間，如圖3.10，按箭頭所指的投影方向分別向三個投影面作正投影。由上往下在H面上得到的投影稱為水平投影圖（簡稱平面圖）由前往后在V面上得到的投影稱作正立投影圖（簡稱正面圖）

由左往右在W面上得到的投影稱作側(cè)立投影圖（簡稱側(cè)面圖）第17頁，共124頁。3.1.3.2

三面正投影的形成圖3.10

投影圖的形成第18頁，共124頁。

為了把空間三個投影面上所得到的投影畫在一個平面上，需將三個相互垂直的投影面展開攤平成為一個平面。即V面保持不動，H面繞OX軸向下翻轉(zhuǎn)

90°，W面繞OZ軸向右翻轉(zhuǎn)90°，使它們與V面處在同一平面上，如圖3.11（a）。

在初學(xué)投影作圖時，最好將投影軸保留，并用細(xì)實線畫出，如圖3.11（b）。第19頁，共124頁。3.1.3.3三個投影面的展開圖3.11投影面展開第20頁，共124頁?？臻g形體都有長、寬、高三個方向的尺度。

如一個四棱柱，當(dāng)它的正面確定之后，其左右兩個側(cè)面之間的垂直距離稱為長度；前后兩個側(cè)面之間的垂直距離稱為寬度；上下兩個平面之間的垂直距離稱為高度，如圖3.12。三面正投影圖具有下述投影規(guī)律：第21頁，共124頁。3.1.3.4

三面正投影圖的投影規(guī)律(1)投影對應(yīng)規(guī)律第22頁，共124頁。投影對應(yīng)規(guī)律是指各投影圖之間在量度方向上的相互對應(yīng)。正面、平面長對正（等長）；正面、側(cè)面高平齊（等高）；平面、側(cè)面寬相等（等寬）。(2)方位對應(yīng)規(guī)律第23頁，共124頁。方位對應(yīng)規(guī)律是指各投影圖之間在方向位置上相互對應(yīng)。在三面投影圖中，每個投影圖各反映其中四個方位的情況，即：平面圖反映物體的左右和前后；正面圖反映物體的左右和上下；側(cè)面圖反映物體的前后和上下，如圖3.13所示。圖3.12

形體的長、寬、高第24頁，共124頁。圖3.13

投影圖與物體的方位關(guān)系第25頁，共124頁。作圖方法與步聚先畫出水平和垂直十字相交線表示投影軸，如圖3.14(a)根據(jù)“三等”關(guān)系：正面圖和平面圖的各個相應(yīng)部分用鉛垂線對正(等長)；正面圖和側(cè)面圖的各個相應(yīng)部分用水平線拉齊(等高)，如圖3.14（b）；利用平面圖和側(cè)面圖的等寬關(guān)系，從O點作一條向右下斜的45°線，然后在平面圖上向右引水平線，與45°線相交后再向上引鉛垂線，把平面圖中的寬度反映到側(cè)面投影中去，如圖3.14（c）。第26頁，共124頁。3.1.3.5

三面正投影圖的畫法圖3.14

三面正投影圖畫圖步驟第27頁，共124頁。(2)三面正投影圖中的點、線、面符號第28頁，共124頁。為了作圖準(zhǔn)確和便于校核，作圖時可把所畫物體上的點、線、面用符號來標(biāo)注（圖3.15）。一般規(guī)定空間物體上的點用大寫字母A、B、C、D…，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ…表示，面用P、Q、R…表示。點或面的投影用相應(yīng)的小寫字母表示。直線不另注符號，用直線兩端點的符號表示，如AB直線的正面投影是a′b′。圖3.15正投影圖中常用的符號第29頁，共124頁。3.2點的投影3.2.1

點的三面投影

將空間點A置于三投影面體系中，自A點分別向三個投影面作垂線（即投射線），三個垂足就是點A在三個投影面上的投影。如圖3.16。

用細(xì)實線將點的相鄰?fù)队斑B起來，如aa′、aa″稱為投影連線。

水平投影a與側(cè)面投影a″不能直接相連，作圖時常以圖3.16(c)所示的借助斜角線或圓弧來實現(xiàn)這個聯(lián)系。第30頁，共124頁。圖3.16

點的三面投影第31頁，共124頁。3.2.2

點的投影規(guī)律第32頁，共124頁。

點的正面投影a′和水平投影a的連線必垂直于X軸，即aa′⊥OX；

點的正面投影a′與側(cè)面投影a″的連線必垂直于

Z軸，即a′a″⊥OZ；

點的水平投影a到OX軸的距離等于其側(cè)面投影

a″到OZ軸的距離，即aax=a″az；點在任何投影面上的投影仍然是點[例3.1]已知點A的兩面投影a′、a，求作點A的側(cè)面投影a″。[解]根據(jù)點的投影規(guī)律，a″的求作方法如圖3.17所示。圖3.17

已知點的兩投影作第三投影第33頁，共124頁。3.2.3

點的坐標(biāo)

把三投影面體系看作空間直角坐標(biāo)系，投影軸

OX、OY、OZ相當(dāng)于坐標(biāo)軸X、Y、Z軸，投影面H、V、W相當(dāng)于坐標(biāo)平面，投影軸原點O相當(dāng)于坐標(biāo)系原點。

如圖3.19（a）所示，空間一點到三投影面的距離，就是該點的三個坐標(biāo)（用小寫字母x、y、z表示）。

利用點的坐標(biāo)就能較容易地求作點的投影及確定空間點的位置，如圖3.19(b)。第34頁，共124頁。圖3.19

點的坐標(biāo)第35頁，共124頁。[例3.2]已知點A的坐標(biāo)x=18,y=10,z=15，即A（18，10，15），求作點A的三面投影圖。[解]作法見圖3.20。圖3.20

根據(jù)點的坐標(biāo)作投影圖第36頁，共124頁。

當(dāng)點在某一投影面上時，它的坐標(biāo)必有一個為零，三個投影中必有兩個投影位于投影軸上；

當(dāng)點在某一投影軸上時，它的坐標(biāo)必有兩個為零，三個投影中必有兩個投影位于投影軸上，另一個投影則與坐標(biāo)原點重合；當(dāng)點在坐標(biāo)原點上時，它的三個坐標(biāo)均為零。第37頁，共124頁。特殊位置的點：[例3.3]已知點B的坐標(biāo)x=20，y=0，z=10，即B（20，0，10），求作點B的三面投影圖。第38頁，共124頁。[解]作法見圖3.21。圖3.21

根據(jù)坐標(biāo)求點的三面投影第39頁，共124頁。3.2.4

兩點的相對位置第40頁，共124頁。

空間兩點的相對位置可以用三面正投影圖來標(biāo)定；反之，根據(jù)點的投影也可以判斷出空間兩點的相對位置。

在三面投影中，規(guī)定：OX軸向左、OY軸向前、

OZ軸向上為三條軸的正方向。

在投影圖中，x坐標(biāo)可確定點在三投影面體系中的左右位置，y坐標(biāo)可確定點的前后位置，z坐標(biāo)可確定點的上下位置。[例3.4]試判斷C、D兩點的相對位置。[解]如圖3.22。圖3.22

判別兩點的相對位置第41頁，共124頁。3.2.5重影點及可見性

如果兩點位于同一投射線上，則此兩點在相應(yīng)投影面上的投影必重疊，重疊的投影稱為重影，重影的空間兩點稱為重影點。

如圖3.23中，A、B是位于同一投射線上的兩點，它們在

H面上的投影a和b相重疊。

A在H面上為可見點，點B為不可見點。圖3.23

重影點第42頁，共124頁。[例3.5]已知點C的三面投影如圖3.24（a）

，且點D在點C的正第43頁，共124頁。右方5mm ，點B在點C的正下方10mm，求作D、B兩點的投影，并判別重影點的可見性。[解]d″與c″重合，如圖3.24（b）。兩點的水平投影b、c重合，如圖3.24（c）。c″可見，d″不可見，d″加上括號以示區(qū)別。從上向下投影時，c可見，b不可見，不可見的投影b加括號以示區(qū)別。圖3.24

求作點的投影并判別可見性第44頁，共124頁。3.2.6

點的輔助投影第45頁，共124頁。

為了解決某一問題，有目的地在某基本投影面上適當(dāng)?shù)牡胤皆O(shè)立一個與之垂直的投影面，借以輔助解題，這種投影面稱為輔助投影面。輔助投影面上的投影，稱為輔助投影。點的輔助投影如圖3.25和圖3.26。圖3.25點的輔助投影（一）第46頁，共124頁。圖3.26

點的輔助投影（二）第47頁，共124頁。3.3直線的投影直線的投影規(guī)律真實性：直線平行于投影面時，其投影仍為直線，并且反映實長，這種性質(zhì)稱為真實性，如圖3.27（a）。積聚性：直線垂直于投影面時，其投影積聚為一點，這種性質(zhì)稱為積聚性，如圖3.27（b）。收縮性：直線傾斜于投影面時，其投影仍是直線，但長度縮短，不反映實長，這種性質(zhì)稱為收縮性，如圖

3.27(c)。第48頁，共124頁。圖3.27

直線的投影第49頁，共124頁。3.3.2

直線的三面投影首先作出直線上兩端點在三個投影面上的各個投影，然后分別連接這兩個端點的同面投影即為該直線的投影，如圖3.28所示。圖3.28

作直線的三面正投影圖（投影面的傾斜線）第50頁，共124頁。3.3.3

各種位置直線及投影特性第51頁，共124頁。

空間直線按其相對于三個投影面的不同位置關(guān)系可分為三種：投影面平行線、投影面垂直線和投影面傾斜線。

前兩種稱為特殊位置直線，后一種稱為一般位置直線。3.3.3.1

投影面平行線第52頁，共124頁。定義：指平行于一個投影面，而傾斜于另外兩個投影面的直線。分類及投影圖：投影面平行線可分為：正平線水平線側(cè)平線這三種平行線的投影圖如表3.1所示。投影特性：第53頁，共124頁。·直線在所平行的投影面上的投影反映實長，并且該投影與投影軸的夾角(α、β、γ)等于直線對其他兩個投影面的傾角?！ぶ本€在另外兩個投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，但其投影長度縮短。平行線空間位置的判別：一斜兩直線，定是平行線；斜線在哪面，平行哪個面。表3.1

投影面平行線名稱水平線正平線側(cè)平線直觀圖投影圖第54頁，共124頁。3.3.3.2

投影面垂直線第55頁，共124頁。定義：指垂直于一個投影面，而平行于另外兩個投影面的直線。分類及投影圖：投影面垂直線可分為：正垂線鉛垂線側(cè)垂線這三種垂直線的投影圖如表3.2所示。投影特性：直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點。直線在另外兩個投影面上的投影同時平行于一條相應(yīng)的投影軸且均反映實長。垂直線空間位置的判別：一點兩直線，定是垂直線；點在哪個面，垂直哪個面。第56頁，共124頁。表3.2

投影面垂直線名稱鉛垂線正垂線側(cè)垂線直觀圖投影圖第57頁，共124頁。3.3.3.3一般位置線定義：與三個投影面均傾斜的直線，稱為一般位置線。投影圖：一般位置線在H、V、W三個投影面上的投影如圖3.28所示。投影特性：·直線的三個投影仍為直線，但不反映實長；·直線的各個投影都傾斜于投影軸一般位置線的判別：三個投影三個斜，定是一般位置線。第58頁，共124頁。圖3.28

作直線的三面正投影圖（投影面的傾斜線）第59頁，共124頁。3.3.4

直線上點的投影特性

點在直線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影上，并且符合點的投影規(guī)律，如圖3.29中的K點。

若直線上的點分線段成比例，則該點的各投影也相應(yīng)分線段的同面投影成相同的比例。在圖3.29中，K點把直線AB分為AK、KB兩段，則有：第60頁，共124頁。圖3.29直線上的點第61頁，共124頁。[例3.6]已知直線AB的投影ab及a′b′，如圖3.30(a)，求作直線上一點C的投影，使AC∶CB=3∶2。[解]圖3.30

利用定比性作直線上點的投影第62頁，共124頁。[例3.7]已知側(cè)平線AB的V、H投影及線上一點K的V面投影k′，試求點K的H投影，如圖3.31(a)。[解]圖3.31求作直線上點的投影第63頁，共124頁。[例3.8]已知側(cè)平線CD和點E的H、V面投影，試判斷點E是否在直線CD上，如圖3.32。[解]圖3.32

判斷點是否在直線上第64頁，共124頁。3.3.5

兩直線的相對位置第65頁，共124頁。

空間兩直線有三種不同的相對位置，即相交、平行和交叉。

兩相交直線或兩平行直線都在同一平面上，所以它們都稱為共面線。兩交叉直線不在同一平面上，所以稱為異面線。兩直線相交時，如圖3.33的AB和CD，它們的交點E既是AB線上的一點，又是CD線上的一點。3.3.5.1

兩相交直線圖3.33

兩相交直線的投影第66頁，共124頁。[例3.9]給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成整個H投影。[解]作圖步聚如圖3.34。圖3.34

求四邊形的H投影第67頁，共124頁。根據(jù)平行投影的特性可知，兩平行直線在同一投影面上的投影相互平行。如圖3.35所示。3.3.5.2

兩平行直線圖3.35

兩平行直線的投影第68頁，共124頁。[例3.10]給出平行四邊形ABCD的兩邊AB和AC的投影，試完成ABCD的投影。[解]作圖步驟如圖3.36所示。圖3.36

作平行四邊形的投影第69頁，共124頁。兩交叉直線既不平行，也不相交。

雖然兩交叉直線的某一同面投影有時可能平行，但所有同面投影不可能同時都相互平行。

兩交叉直線的同面投影也可能相交，但這個交點只不過是兩直線的一對重影點的重合投影。例如圖3.37。兩交叉直線有一個可見性問題。第70頁，共124頁。3.3.5.3

兩交叉直線圖3.37

兩交叉直線第71頁，共124頁。[例3.11]給出一個三棱錐各側(cè)棱的V、H投影，試判斷輪廓線內(nèi)的兩條交叉?zhèn)壤獾目梢娦?。[解]如圖3.38所示。圖3.38

三棱錐的可見性問題第72頁，共124頁。兩直線的夾角，其投影有下列三種情況：當(dāng)兩直線都平行于某投影面時，其夾角在該投影面上的投影反映實形。當(dāng)兩直線都不平行于某投影面時，其夾角在該投影面上的投影一般不反映實形。當(dāng)兩直線中有一直線平行于某投影面時，如果夾角是直角，則它在該投影面上的投影仍然是直角。

如圖3.39所示，直線AB垂直于BC，其中AB是水平線。兩交叉直線也有相互垂直的。第73頁，共124頁。3.3.5.4

兩相互垂直直線圖3.39

兩相互垂直的直線第74頁，共124頁。[例3.12]求點A到水平線BC的距離（圖3.40）。[解]圖3.40

求一點到水平線的距離第75頁，共124頁。3.4平面的投影平面表示法平面是廣闊無邊的，它在空間的位置可用下列的幾何元素來確定和表示。不在同一直線的三個點，例如圖3.41(a)的點A、B、C。一直線和線外一點，例如圖3.41(b)的點A和直線BC。兩相交直線，例如圖3.41(c)的直線AB和AC。兩平行直線，例如圖3.41(d)的直線AB和CD。平面圖形，例如圖3.41(e)的△ABC。第76頁，共124頁。圖3.41

平面的表示法第77頁，共124頁。平面的投影規(guī)律第78頁，共124頁。真實性平面平行于投影面時，其投影仍為一個平面，且反映該平面的實際形狀，這種性質(zhì)稱為真實性，如圖

3.42(a)。積聚性平面垂直于投影面時，其投影積聚為一直線，這種性質(zhì)稱為積聚性，如圖3.42(b)。收縮性平面傾斜于投影面時，其投影為不反映實形且縮小了的類似形線框，這種性質(zhì)稱為收縮性，如圖

3.42(c)。圖3.42

平面的投影第79頁，共124頁。3.4.3

平面的三面投影第80頁，共124頁。

平面通常是由點、線或線、線所圍成。因此，求作平面的投影，實質(zhì)上也是求作點和線的投影。

如圖3.43，空間一平面△ABC，若將其三個頂點A、B、C的投影作出，再將各同面投影連接起來，即為三角形ABC平面的投影。圖3.43

一般位置平面第81頁，共124頁。3.4.4各種位置平面及投影特性第82頁，共124頁。

空間平面按其相對三個投影面的不同位置關(guān)系可分為三種，即投影面平行面、投影面垂直面和投影面傾斜面。

前兩種稱為特殊位置平面，后一種稱為一般位置平面。3.4.4.1

投影面平行面第83頁，共124頁。定義：指平行于一個投影面，同時垂直于另外兩個投影面的平面。分類及投影圖：投影面平行線可分為：正平面水平面?zhèn)绕矫孢@三種平行面的投影圖如表3.3所示。投影特性：平面在所平行的投影面上的投影反映實形。平面在另外兩個投影面上的投影積聚成直線，且分別平行于相應(yīng)的投影軸。平行面空間位置的判別：一框兩直線，定是平行面；框在哪個面，平行哪個面。第84頁，共124頁。表3.3

投影面平行面名稱水平面正平面?zhèn)绕矫嬷庇^圖投影圖第85頁，共124頁。3.4.4.2

投影面垂直面第86頁，共124頁。定義：指垂直于一個投影面，同時傾斜于另外兩個投影面的平面。分類及投影圖：投影面平行線可分為：正垂面鉛垂面?zhèn)却姑孢@三種垂直面的投影圖如表3.4所示。投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影，積聚成一條傾斜于投影軸的直線，且此直線與投影軸之間的夾角等于空間平面對另外兩個投影面的傾角。平面在與它傾斜的兩個投影面上的投影為縮小了的類似線框

。平行面空間位置的判別：兩框一斜線，定是垂直面；斜線在哪面，垂直哪個面。第87頁，共124頁。表3.4

投影面垂直面名稱鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嬷庇^圖投影圖第88頁，共124頁。3.4.4.3

一般位置面定義：與三個投影面均傾斜的平面，稱為一般位置面。投影圖：一般位置面的三個投影都呈傾斜位置，如圖3.43所示。投影特性：平面的三個投影既沒有積聚性，也不反映實形，而是原平面圖形的類似形。一般位置線的判別：三個投影三個框，定是一般位置面。第89頁，共124頁。[例3.13]試判斷圖3.44所示的立體表面上平面、直線的空間位置。[解]圖3.44

立體表面平面、直線的空間位置第90頁，共124頁。3.4.5

平面上的直線與點第91頁，共124頁。平面上的直線一直線若通過平面內(nèi)的兩點，則此直線必位于該平面上，由此可知，平面上直線的投影，必定是過平面上兩已知點的同面投影的連線。平面上的點若點在直線上，直線在平面上，則點必定在平面上。在平面上取點、取線在平面上取點，首先要在平面上取線。而在平面上取線，又離不開在平面上取點。[例3.14]已知一平行四邊形ABCD和K點的兩面投影，試判斷K點是否在平面上，如圖3.45(a)。[解]圖3.45

點和平面相對位置判斷第92頁，共124頁。[例3.15]已知四邊形ABCD，求作過A點且在該平面上的一條水平線。[解]如圖3.46所示。圖3.46求作平面上水平線的投影第93頁，共124頁。[例3.16]已知三角形ABC及其上一點K的正面投影k′，如圖3.47（a），求作K點的水平投影k。[解]圖3.47

作平面上點的投影第94頁，共124頁。[例3.17]已知五邊形ABCDE的Ｖ面投影及一邊AB的H面投影，并知AC為正平線，試完成其Ｈ面投影（如圖

3.48(a)）。[解]圖3.48第95頁，共124頁。作平面的投影3.4.6

平面上的特殊直線第96頁，共124頁。平面上的投影面平行線常用的有平面上的正平線和水平線。

要在一般面ABC上作一條正平線，可根據(jù)正平線的H投影是水平的這個投影特點，先在ABC

的水平投影上作一任意水平線，作為所求正平線的H投影，然后作出它的V投影，如圖3.49所示。

在ABC上作水平線，也要抓住它的V投影一定水平的投影特點，作圖步驟如圖3.49所示。圖3.49

面上作正平線和水平線第97頁，共124頁。平面上的最大斜度線第98頁，共124頁。

平面上對某投影面的最大斜度線，就是在該面上對該投影面傾角最大的一條直線。它必然垂直于平面上平行于該投影面的所有直線，包括該平面與該投影面的交線（跡線）。

如圖3.50(a)所示，平面P上的直線AB，是平面

P上對H面傾角最大的直線。

要作△ABC對H面的最大斜度線，如圖3.50(b)所示。

圖3.50(c)中AG垂直于正平線BF，所以它就是面上對V面的最大斜度線。圖3.50作面上的最大斜度線第99頁，共124頁。3.5投影變換3.5.1

概述求兩平行線的距離問題如圖3.51(a)所示。

當(dāng)兩平行管道AB和CD都垂直于同一投影面時，如圖3.51(b)

。當(dāng)兩平行線都平行于同一投影面時，如圖3.51(c)當(dāng)兩平行線都是一般位置線時，如圖3.51(d)

利用某些方法，使原來對投影面處于一般位置的空間幾何元素，變換為對投影面處于特殊位置或其他有利于解決問題的位置，稱為投影變換。第100頁，共124頁。圖3.51

兩平行線的距離第101頁，共124頁。3.5.2換面法第102頁，共124頁。

采用換面法時，令空間元素保持不動，通過設(shè)立輔助投影面建立新的投影面體系，使空間元素在新投影面體系中處在有利于解題的位置。

通過更換一次投影面（簡稱一次換面）可以解決如下問題：①

把一般線變?yōu)樾峦队懊娴钠叫芯€(圖3.52(a)

)，解決了求線段的實長和對另一投影面的傾角問題。第103頁，共124頁。②

把投影面平行線變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本€（圖

3.52(b)），可以解決一點到一投影面平行線的距離和兩根平行的投影面平行線的距離等問題。③

把一般面變?yōu)樾峦队懊娴拇怪泵?圖3.52(c))，解決了平面對投影面的傾角、一點到一平面的距離、兩平行面間的距離、直線與一般面的交點和兩平面交線等問題。第104頁，共124頁。③

把投影面垂直面變?yōu)樾峦队懊娴钠叫忻妫▓D3.52(d)），解決了求投影面垂直面的實形問題。圖3.52

一次換面法第105頁，共124頁。

總結(jié)上述一次換面的經(jīng)驗可知，在設(shè)立新投影面時，必須注意：新投影面必須設(shè)立在使空間元素有利于解題的位置。新投影面必須垂直于原有投影面體系中的一個投影面，使新投影面和與它垂直的那個原投影面組成一個新投影面體系，才能應(yīng)用正投影規(guī)律作出空間元素的新投影。第106頁，共124頁。

新投影面設(shè)立的正確與否，對于解題是否簡捷，甚至解題是否可能，都是個關(guān)鍵問題。

為求圖3.51（d）所示兩平行線的距離，可考慮設(shè)置一平面Q垂直于平行線AB和CD（圖

3.53）。

AB是V—H體系的一般線，垂直于AB的平面

Q，在V—H體系中也必然是一般面（圖

3.54）。第107頁，共124頁。

一般線AB要變換為投影面垂直線，必須經(jīng)過二次換面。如圖3.55所示。

要把一般面變換為新投影面的平行面，也要經(jīng)過二次換面才能完成。如圖3.56所示。

所謂二次換面，實質(zhì)上就是進行兩次“一次換面”。

現(xiàn)以處于V—H投影面體系中的點A為例，說明一次換面的作圖方法，如圖3.57所示。第10