數(shù)學(xué)蘇教版必修4導(dǎo)學(xué)案1.2.1任意角的三角函數(shù)

1.2.1任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．記住任意角的三角函數(shù)的定義，了解三角函數(shù)線．2．掌握三角函數(shù)值在各象限的符號．3．會用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦與正切.重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值在各象限的符號．難點(diǎn)：用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦與正切.1．三角函數(shù)的定義如圖：P(x，y)，OP＝r，一般地，對任意角α，我們規(guī)定：(1)比值eq\f(y,r)叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝eq\f(y,r)；(2)比值eq\f(x,r)叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝eq\f(x,r)；(3)比值eq\f(y,x)(x≠0)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x).預(yù)習(xí)交流1三角函數(shù)值的大小與P點(diǎn)位置的選取有關(guān)系嗎？提示：三角函數(shù)值是比值，是一個實(shí)數(shù)，這個實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．2．三角函數(shù)值在各象限的符號正弦函數(shù)值的符號與y的符號相同，余弦函數(shù)值的符號與x的符號相同．此符號規(guī)律可用口訣：“一全正、二正弦、三兩切、四余弦”來記憶(只記函數(shù)值為正的情況，“一、二、三、四”指象限)．預(yù)習(xí)交流2三角函數(shù)值在各象限的符號由什么來確定？提示：由三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)值在各象限的符號由角α終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y的正負(fù)來確定．3．有向線段與三角函數(shù)線(1)有向線段：規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段叫做有向線段．類似地，把規(guī)定了正方向的直線稱為有向直線．若有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行，根據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反，分別把它的長度添上正號或負(fù)號．這樣所得的數(shù)，叫做有向線段的數(shù)量，記為AB.(2)三角函數(shù)線：如圖，把有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)線．當(dāng)角α在不同象限時，其三角函數(shù)線見課本第13頁圖128.當(dāng)角α的終邊在x軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點(diǎn)；當(dāng)角α的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點(diǎn)，正切線不存在．預(yù)習(xí)交流3正弦線、余弦線、正切線方向有何特點(diǎn)？提示：正弦線方向由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線方向由原點(diǎn)指向垂足；正切線方向由切點(diǎn)指向切線與α的終邊(或反向延長線)的交點(diǎn)．預(yù)習(xí)交流4(1)角α終邊上一點(diǎn)P(3，n)，且sinα＝eq\f(4,5)，則n＝______；(2)若角α的終邊過點(diǎn)(sin30°，－cos30°)，則sinα＝______；(3)若－eq\f(π,2)＜α＜0，則點(diǎn)(tanα，cosα)位于第______象限．提示：(1)4(2)－eq\f(\r(3),2)(3)二一、利用定義求三角函數(shù)值已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)，且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，求cosθ與tanθ的值．思路分析：此類問題的解答一般根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．對于本題可由定義求出m的值，再求cosθ與tanθ的值．解：由已知有，eq\f(\r(2),4)m＝eq\f(m,\r(3＋m2))，得m＝0，或m＝±eq\r(5).(1)當(dāng)m＝0時，cosθ＝－1，tanθ＝0；(2)當(dāng)m＝eq\r(5)時，cosθ＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝－eq\f(\r(15),3)；(3)當(dāng)m＝－eq\r(5)時，cosθ＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(\r(15),3).已知點(diǎn)P(5，a)是角α的終邊上一點(diǎn)，且tanα＝－eq\f(12,5)，求sinα＋cosα的值．解：∵x＝5，y＝a，∴tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(a,5)＝－eq\f(12,5)，∴a＝－12，r＝eq\r(52＋－122)＝13.則sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(5,13)，sinα＋cosα＝－eq\f(12,13)＋eq\f(5,13)＝－eq\f(7,13).已知角的終邊上一點(diǎn)，求該角的三角函數(shù)值，一般是先求出該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r，再由三角函數(shù)的定義，求出三角函數(shù)值．若點(diǎn)的坐標(biāo)有字母時，由于字母符號未知，所以點(diǎn)所在象限不確定，因此要根據(jù)情況進(jìn)行分類討論，避免漏解．二、三角函數(shù)值的符號的應(yīng)用判斷下列各式的符號：(1)tan120°·sin269°；(2)cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))).思路分析：此類問題的解決一是要弄清角的終邊所在的象限，二是要熟記三角函數(shù)值在各象限的符號．解：(1)∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0；∵269°是第三象限角，∴sin269°＜0，∴tan120°·sin269°＞0.(2)∵π＜4＜eq\f(3π,2)，∴4弧度角是第三象限角，∴cos4＜0；∵－eq\f(23π,4)＝－6π＋eq\f(π,4)，∴－eq\f(23π,4)是第一象限角，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))＞0，∴cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))＜0.1．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－1)，則①sinα·tanα＞0；②cosα·tanα＞0，③sinα·cosα＞0；④sinα·tanα＜0中成立的是__________(填序號)．答案：③④解析：∵P(－2，－1)是第三象限內(nèi)的點(diǎn)，∴角α為第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，∴①②不正確，③④正確．2．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，求角α的終邊所在的象限．解：方法一：∵P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0且cosα＜α＜0，知α為第二或第四象限角，由cosα＜0，知α為第二或第三象限角，∴α的終邊在第二象限．方法二：由P為第三象限，知tanα＜0且cosα＜α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)定義知，tanα＝eq\f(y,x)＜0，cosα＝eq\f(x,r)＜0，∴x＜0且y＞α的終邊在第二象限．三角函數(shù)值“符號看象限”：根據(jù)符號規(guī)律，結(jié)合具體函數(shù)及角的所在象限進(jìn)行判斷，如第二象限角，其正弦值為正，而余弦與正切值為負(fù)．由點(diǎn)所在象限求角所在象限時，關(guān)鍵是弄清已知點(diǎn)的坐標(biāo)符號，以此判定點(diǎn)所在象限即知角的終邊所在象限．三、作三角函數(shù)線作出eq\f(3π,4)的正弦線、余弦線和正切線．思路分析：利用三角函數(shù)線的作法即可完成．解：在直角坐標(biāo)系中作單位圓，如圖所示．以x軸正半軸為始邊作eq\f(3π,4)角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P.作PM⊥x軸，垂足為M，過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)A作x軸的垂線與OP的反向延長線交于點(diǎn)T，則sineq\f(3π,4)＝MP，coseq\f(3π,4)＝OM，taneq\f(3π,4)＝AT，即eq\f(3π,4)的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.在單位圓中畫出滿足sinα＝eq\f(1,2)的角α的終邊．解：所給函數(shù)是正弦函數(shù)，故作直線y＝eq\f(1,2)交單位圓于點(diǎn)P，Q，連結(jié)OP，OQ，則射線OP，OQ即為角α的終邊．作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此點(diǎn)作x軸的垂線，得垂足，從而可得正弦線與余弦線．作正切線時，應(yīng)從A(1,0)點(diǎn)引單位圓的切線，與角的終邊(角α為第一或第四象限角時)或終邊的反向延長線(角α為第二或第三象限角時)交于一點(diǎn)T，即可得到正切線AT.三角函數(shù)線的主要作用是求函數(shù)定義域、值域、解三角不等式、比較兩三角函數(shù)值的大小等．1．已知在△ABC中，sinA·cosB＜0，則△ABC的形狀是__________．答案：鈍角三角形解析：在△ABC中，由sinA·cosB＜0，可知sinA＞0，cosB＜0，故∠B為鈍角，即此三角形為鈍角三角形．2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5,12)，則sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______.答案：eq\f(12,13)eq\f(5,13)eq\f(12,5)解析：由x＝5，y＝12，得r＝eq\r(52＋122)＝13.∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(12,5).3．已知cosθ·tanθ＜0，那么θ是第______或第______象限角．答案：三四解析：由cosθ·tanθ＜0，知sinθ＜0，且θ的終邊不在坐標(biāo)軸上，由此知θ的終邊在第三或第四象限．4．若600°角的終邊上有一點(diǎn)(－4，a)，則a的值是__________．答案：－4eq\r(3)解析：在坐標(biāo)系中把600°角的終邊找到，看其在第幾象限，再利用數(shù)形結(jié)合思想來求a的值．因?yàn)?00°＝360°＋240°，所以600°的終邊與240°的終邊重合，如圖所示，設(shè)P(－4,a)，作PM⊥x軸于M，由sin240°＝eq\f(a,\r(16＋a2))＝－eq\f(\r(3),2