江蘇省南京市六校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版含答案）

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數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）

A.1B.C.D.2

2.已知集合，，（）

A.B.C.D.

3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）

A.45B.49C.56D.63

4.從2位男生，3位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種

A.16B.36C.54D.96

5.“”是“直線與圓相切”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，，則的離心率為（）

A.B.C.2D.

7.已知，則（）

A.B.C.D..

8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則下列等式一定正確的是（）

A.B.C.D.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

9.給出下列命題中，其中正確的命題是（）

A.隨機(jī)變量，則

B.已知，，則

C.隨機(jī)變量，若，則，

D.以模型擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.2

10.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則（）

A.函數(shù)解析式

B.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖像

C.直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸

D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2

11.如果有限數(shù)列滿足，則稱其為“對(duì)稱數(shù)列”，設(shè)是項(xiàng)數(shù)為的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為50，公差為的等差數(shù)列，則（）

A.若，則B.若，則所有項(xiàng)的和為590

C.所有項(xiàng)的和可能為0D.當(dāng)時(shí)，所有項(xiàng)的和最大

12.如圖，在菱形中，，，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折到的位置，連接和，為的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.面面

B.線段長(zhǎng)度的取值范圍為

C.直線和所成的角始終為

D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)在三棱錐外接球的外部

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.

14.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______

15.函數(shù)為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______

16.如圖，是圓臺(tái)母線的中點(diǎn)，是底面的直徑，上底面半徑為1，下底面半徑為2，，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則、兩點(diǎn)在圓臺(tái)側(cè)面上連線長(zhǎng)最小值的平方等于______

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若，，求.

18.（本小題滿分12分）請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.

①；②；

③.

在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.

19.（本小題滿分12分）已知四棱錐中，平面，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)是棱上的點(diǎn)，若二面角的余弦值為，試求直線與平面所成角的正弦值.

20.（本小題滿分12分）已知橢圓：的左右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)比短軸長(zhǎng)大4.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

21.（本小題滿分12分）春節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了大年初三上午9：20~10：40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段9：20~9：40記作區(qū)間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作.例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.

（1）估計(jì)這600輛車在9：20~10：40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9：20~10：00之間通過(guò)的車輛數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9：20~10：40之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9：46~10：40之間通過(guò)的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn)，求，，的值；

（3）若恒成立，求的最大值.

南京市六校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考

數(shù)學(xué)答案

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1-4：BBDC5-8：ABCB

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

9.AC10.ABC11.BD12.AC

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.14.15.16.

四、解答題：本大題共6小題，共70分

17.解：（1）∵

∴當(dāng)時(shí)，

兩式相減得：，即，

∴且符合，∴的通項(xiàng)公式為

（2）由（1）可知，

∴

∴

18.解：（1）選①，，由正弦定理得

，即

∴

∵∴

選②，由得

，

∵，∴，∴，∴

選③，由

∴

∴，

∵，

∴，∵，∴

（2）解法一：由（1）可知，又，由余弦定理得

∴

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

又

∴周長(zhǎng)的取值范圍為

解法二：由（1）知，又正弦定理

得

∴周長(zhǎng)，

又，∴

周長(zhǎng)，

又，∴

∴周長(zhǎng)的取值范圍為

19.證：在四棱錐中，∵平面

∴

∵，，∴

又∵，∴平面

又∵平面，∴平面平面

（2）由（1）得，，兩兩垂直，∴為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則由題意：，，，，，

由得，

∵平面，∴平面的一個(gè)法向量為

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

∴即

令，則，，

∵二面角的余弦值為

∴，解得

設(shè)直線與平面所成角為，平面的一個(gè)法向量為

又

∴，即直線與平面所成角的正弦值為

20.解：（1）由題意得，可得，

又，，聯(lián)立方程得：，

故粗圓方程為.

（2）證明：∵，根據(jù)向量加法與減法的幾何意義可得，

即，

設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立橢圓方程，

得，

，即

設(shè)，，則

，，

，，

將韋達(dá)定理式代入化簡(jiǎn)得，

，解得或，

此時(shí)均滿足，

當(dāng)時(shí)，直線方程為，過(guò)點(diǎn)與重合，故舍去，

當(dāng)時(shí)，直線方程為，過(guò)定點(diǎn)，

故直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為.

21.解（1）由題意，這600輛車在9：20~10：40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為，即10點(diǎn)04分

（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10：00前通過(guò)的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，

即，所以的可能取值為0，1，2，3，4

所以，

，

，

，

所以的分布列為

01234

所以.

（3）由（1）可得，

，

所以.

估計(jì)在9：46~10：40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，也就是通過(guò)的車輛數(shù)，

由，

所以，估計(jì)在9：46~10：40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)為輛.

22.解（1），則.

令，得，所以在上單調(diào)遞增.

令，得，所以在上單調(diào)遞減.

（2）因?yàn)?，所以，所以方程?

依題意，，.于是與拋物線切于點(diǎn)，

由得.所以，，.

（3）設(shè)，則恒成立.

易得.

①當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/p>