法平面方程課件

§18.3幾何應(yīng)用一平面曲線的切線與法線二.空間曲線的切線與法平面三曲面的切平面與法線四小結(jié)§18.3幾何應(yīng)用一平面曲線的切線與法線二1問題的提出

我們可以利用偏導(dǎo)數(shù)來確定空間曲線的切向量和空間曲面的法向量問題的提出我們可以利用偏導(dǎo)數(shù)來確定空間曲2切線方程為法線方程為的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理條件，則

一.

平面曲線的切線與法線切線方程為法線方程為的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理條件，則一3求曲線上過點的切線方程，這里㈠設(shè)曲線用參數(shù)方程表示為二.空間曲線的切線與法平面求曲線上過點4由于切線是割線的極限位置，從而考慮通過點和點的割線方程在上式各端的分母都除以由于切線是割線的極限位置，從而考慮通過點在上式各端的分母都除5由于切線是割線的極限位置，在上式中令取極限，就得到曲線在點的切線方程：由此可見，曲線在點的切線的一組方向數(shù)是由于切線是割線的極限位置，在上式中令6曲線在點的法平面就是過點且與該點的切線垂直的平面，于是切線的方向數(shù)就是法平面的法方向數(shù)，從而過點的法平面方程是㈡如果曲線的方程表示為可以把它寫成如下的以為參數(shù)的參數(shù)方程于是可得曲線在點的切線方程和法平面方程如下：曲線在點的法平面就是過點且與該點7㈢一般地，如果曲線表示為兩個曲面的交線：設(shè)，設(shè)上述方程組在點確定了一對函數(shù)由這兩個方程可解出這時容易把它化成剛才討論過的情形：㈢一般地，如果曲線表示為兩個曲面的設(shè)8從而可得曲線在點的切線方程：和法平面方程從而可得曲線在點的切線方程：和法平面方程9解：在（1，1，1）點對應(yīng)參數(shù)為t=1切線方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：x+2y+3z=8例1求曲線在點處的切線及法平面方程。解：在（1，1，1）點對應(yīng)參數(shù)為t=1切線方程10例2、求曲線在點（1，-2，1）處的切線及法平面方程。法平面方程：x-z=0切線方程：例2、求曲線11例求曲線在點的切線與法平面方程解在曲線方程中分別對求導(dǎo)，得對應(yīng)于點的參數(shù)，于是從而切線方程為法平面方程為例求曲線在點的切線與法平面方12例求兩柱面的交線在點：處的切線方程。例求兩柱面的交線在點：處的切線方程。13解在方程組中分別對求導(dǎo)數(shù)，得于是從而在點有：解在方程組中分別對求導(dǎo)數(shù)，得于是從而在點14所以切線方程為：即此直線可看作是平面與平面的交線。所以切線方程為：即此直線可看作是15三曲面的切平面與法線㈠設(shè)曲面方程為過曲面上點任作一條在曲面上的曲線，設(shè)其方程為顯然有在上式兩端對求導(dǎo)，得三曲面的切平面與法線㈠設(shè)曲面方程為過曲面上點16曲線在M處的切向量曲線在M處的切向量17上式說明向量與切線向量正交。從而曲面在點的切平面方程為由于的任意性，可見曲面上過的任一條曲線在該點的切線都與正交，因此這些切線應(yīng)在同一平面上，這個平面稱為曲面在點的切平面，而就是切平面的法向量。在點（設(shè)點對應(yīng)于參數(shù)）有上式說明向量18過點與切平面垂直的直線，稱為曲面在點的法線，其方程為該法線的一組方向數(shù)為：過點與切平面垂直的直線，稱為曲面在19綜上所述若曲面方程為則該曲面在點的切平面方程為過點的法線方程為綜上所述若曲面方程為則該曲面在點的切平面方程為20設(shè)分別為曲面在點的法線與軸正向之間的夾角，那末在點的法線方向余弦為設(shè)分別為曲面在21㈡若曲面方程為容易把它化成剛才討論過的情形：于是曲面在（這里）點的切平面方程為法線方程為㈡若曲面方程為容易把它化成剛才討論過的情形：于是曲面22㈢若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組可以確定兩個函數(shù)：于是可以將看成的函數(shù)，從而可以將問題化為剛才已經(jīng)討論過的情形。代入方程，得因此需分別計算對的偏導(dǎo)數(shù)。㈢若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組23將分別對求導(dǎo)，注意到為的函數(shù)按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有解方程組，得將24法線方程于是曲面在點的切平面方程為法線方程于是曲面在點的切平面方程為25例1求球面在點的切平面及法線方程解設(shè)則所以在點處球面的切平面方程為法線方程例1求球面26曲面的夾角兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲面在該點的夾角。如果兩個曲面在該點的夾角等于90度，則稱這兩個曲面在該點正交。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例2證明對任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。曲面的夾角兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲27即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點處，兩法向量的內(nèi)積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。即證明球面28解切平面方程為法線方程為解切平面方程為法線方程為29解令切平面方程法線方程解令切平面方程法線方程30解設(shè)為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得解設(shè)