波函數(shù)與薛定諤方程課件

第二章

波函數(shù)與薛定諤方程ThewavefunctionandSchr?dingerEquation1

第二章

2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

TheWavefunctionanditsstatisticexplanation

2.2態(tài)疊加原理

Theprincipleofsuperposition

2.3薛定諤方程

TheSchr?dingerequation

2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws

2.5定態(tài)薛定諤方程

TimeindependentSchr?dingerequation

2.6一維無限深勢阱

Theinfinitepotentialwell

2.7線性諧振子

Thelinearharmonicoscillator

2.8勢壘貫穿

Thetransmissionofpotentialbarrier學習內容22.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋學習內容21.理解微觀粒子運動狀態(tài)的描述波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋。2.通過對實驗的分析,理解態(tài)疊加原理。3.掌握微觀粒子運動的動力學方程波函數(shù)隨時間演化的規(guī)律Schr?dinger方程。4.掌握定態(tài)及其性質。5.通過對三個實例的討論,掌握定態(tài)Schr?dinger方程的求解。學習要求31.理解微觀粒子運動狀態(tài)的描述波函數(shù)及其統(tǒng)計

微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)典力學對粒子運動狀態(tài)的描述，即微觀粒子的運動狀態(tài)不能用坐標、速度、加速度等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋1．微觀粒子狀態(tài)的描述德布羅意指出：微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個復函數(shù)來描述，函數(shù)—稱為波函數(shù)?！?/p>

描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波4微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)★如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復函數(shù)。三個問題？(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？deBroglie波§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)1）5★如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中I0

1XP電子單縫衍射實驗2．波函數(shù)的統(tǒng)計解釋電子源感光屏PPQQO電子小孔衍射實驗§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)2）6I01XP電子單縫衍射實驗2．波函數(shù)的統(tǒng)計解釋電子源感光屏▲兩種錯誤的看法（1）波由粒子組成

如水波，聲波，由物質的分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。

電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上仍可呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。

事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)3）7▲兩種錯誤的看法（1）波由粒子組成如水波，聲波，由

波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)4）8波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，而抹殺了粒子實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如一個原子內的電子，其廣延不會超過原子大小≈1。

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。1.有一定質量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)5）9實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如一個原子內1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化;2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著

（1）入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;我們再看一下電子的衍射實驗▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏QQ衍射實驗事實：§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)6）101.實在的物理量的空間分布作周期性的經(jīng)典概念中波意味著（11926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：

波函數(shù)在空間中某一點的強度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點出現(xiàn)的概率成比例。（2）入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.

可見，波函數(shù)模的平方與粒子時刻在處附近出現(xiàn)的概率成正比。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)7）

波動觀點粒子觀點明紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2小電子出現(xiàn)的概率小111926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：設粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強度是則微觀粒子在t時刻出現(xiàn)在處體積元dτ內的幾率這表明描寫粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)有時也稱為幾率幅。按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,粒子在空間中某一點處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點模的平方成比例§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)8）12設粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強度是則微觀粒子

（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學的一個基本假設（基本原理）。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復函數(shù)表示。（3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。必須注意

稱為幾率密度(概率密度)§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)9）13（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率令3．波函數(shù)的歸一化條件和所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的

是常數(shù)。時刻，在空間任意兩點和處找到粒子的相對幾率是：可見，和描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)10）14令3．波函數(shù)的歸一化條件和所非相對論量子力學僅研究低能粒子，實物粒子不會產生與湮滅。這樣，對一個粒子而言，它在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即和描述同一狀態(tài)這與經(jīng)典波截然不同。對于經(jīng)典波，當波幅增大一倍（原來的2倍）時，則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一的特性，提出波函數(shù)的歸一化條件：§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)11）15非相對論量子力學僅研究低能粒子，實物粒子不會產生與湮又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一種不確定性。滿足此條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)12）16又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一Ex.1

已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。

歸一化常數(shù)Solve:

歸一化的波函數(shù)(1).求歸一化的波函數(shù)§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)13）17Ex.1已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現(xiàn)幾率最大?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)14）18（2）幾率分布：（3）由幾率密度的極值條件由于注意（1）歸一化后的波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性（δ為實函數(shù)）。若是歸一化波函數(shù)，那末，也是歸一化波函數(shù)，與前者描述同一幾率波。若對空間非絕對可積時，需用所謂δ函數(shù)歸一化方法進行歸一化。（2）只有當幾率密度對空間絕對可積時，才能按歸一化條件進行歸一化?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)15）19注意（1）歸一化后的波函數(shù)仍有一個模為一的因子Solve：

歸一化常數(shù)★例如平面波的歸一化問題

ex.2

已知平面波,求歸一化常數(shù)§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)16）歸一化的平面波：

利用20Solve：歸一化常數(shù)★例如平面波的歸一化問題ex補充作業(yè)題1.下列一組波函數(shù)共描寫粒子的幾個不同狀態(tài)?并指出每個狀態(tài)由哪幾個波函數(shù)描寫。同理，三維平面波：

歸一化條件歸一化條件21補充作業(yè)題1.下列一組波函數(shù)共描寫粒子的幾個不同狀態(tài)?并2.已知下列兩個波函數(shù)試判斷:(1)波函數(shù)和是否描述同一狀態(tài)?(2)對取兩種情況,得到的兩個波函數(shù)是否等價?222.已知下列兩個波函數(shù)試判斷:(1)波函數(shù)開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同時開1，2，衍射花樣（黑曲線）實驗事實顯然§2.2態(tài)疊加原理1.電子雙縫衍射實驗

12

表明幾率不遵守迭加原則，而波函數(shù)（幾率幅）遵守迭加原則：23開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同物理意義

當兩個縫都開著時，電子既可能處在態(tài)，也可能處在態(tài)，也可處在和的線性迭加態(tài)?？梢?，

若和是電子的可能狀態(tài)，則也是電子的可能狀態(tài)。

反言之，電子經(jīng)雙縫衍射后處于態(tài)，則電子部分地既可處于態(tài)，也可部分地處在態(tài)?！?.2態(tài)迭加原理（續(xù)1）迭加態(tài)的概率:

干涉項電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度24物理意義當兩個縫都開著時，電子既可能處在態(tài)

態(tài)的迭加原理是量子力學的一個基本假設，它的正確性也依賴于實驗的證實。

1.若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)2．態(tài)迭加原理§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)3）

當兩個縫的幾何參數(shù)或電子束相對位置不完全對稱時，迭加態(tài),其概率為干涉項

2.當體系處于態(tài)時，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是，并且25態(tài)的迭加原理是量子力學的一個基本假設，它的正確性也依賴3．電子在晶體表面的衍射，動量空間的波函數(shù)

d

電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)，也可能處在、

等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成

取各種可能值的平面波的線性疊加，即§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)4）電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各種不同的動量運動，出射后的電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。263．電子在晶體表面的衍射，動量空間的波函數(shù)d電子從晶體表考慮到電子的動量可以連續(xù)變化§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)5）而（2）（1）

即衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果顯然,二式互為Fourer變換式,所以與一一對應,是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。27考慮到電子的動量可以連續(xù)變化§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)5）而§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)6）若歸一化，則也是歸一化的Prove:以坐標

為自變量的波函數(shù)，坐標空間（坐標表象）波函數(shù)以動量為自變量的波函數(shù)，動量空間（動量表象）波函數(shù)給出t時刻粒子處在位置處的幾率

給出t時刻粒子動量為的幾率二者描寫同一量子狀態(tài)28§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)6）若歸一化，則§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)7）此顯示出把平面波歸一化為函數(shù)的目的一維情況下，與的Fourer變換關系：如果僅考慮在某一給定時刻粒子的兩表象波函數(shù)的關系，可取t=029§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)7）此顯示出把平面波歸一化為§2.3薛定諤方程1．微觀粒子運動方程應具有的特點（1）含有波函數(shù)對時間的一階導數(shù)（2）方程必為線性的（3）質量為的非相對性粒子(即低速運動的粒子),其總能為

本節(jié)研究量子力學的動力學問題，建立量子力學的動力學方程——Schr?dinger方程

30§2.3薛定諤方程1．微觀粒子運動方程應具有的特點（1）含又（2）

（3）（1）

2．自由粒子的運動方程將（1）和（2）式代入（3）式，得§2.3薛定諤方程（續(xù)1）（4）

31又（2）（3）（1）2．自由粒子的運動方程將（1）和（2

滿足運動方程應具有的三個特點，此即為自由粒子的基本運動方程——自由粒子的Schr?dinger方程。討論通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果將能量關系式E=p2/2μ寫成如下方程形式：即得自由粒子的Schr?dinger方程（4）。再做算符替換：（5）§2.3薛定諤方程（續(xù)2）稱為能量算符稱為動量算符32滿足運動方程應具有的三個特點，此即為自由粒子的3．勢場中運動粒子的Schr?dinger方程設勢場中運動粒子的狀態(tài)波函數(shù)為（6）

§2.3薛定諤方程（續(xù)3）用能量關系式乘以波函數(shù)

按（5）式，將能量和動量分別用能量算符和動量算符替代，即得Schr?dinger方程粒子的哈密頓函數(shù)333．勢場中運動粒子的Schr?dinger方程設勢場哈密頓函數(shù)4．多粒子體系的Schr?dinger方程§2.3薛定諤方程（續(xù)5）作動量算符替代則利用哈密頓算符，可將Schr?dinger方程（6）寫成另一形式（7）稱為哈密頓算符34哈密頓函數(shù)4．多粒子體系的Schr?dinger方程§2.3

（1）Schr?dinger作為一個基本假設提出來，它的正確性已為非相對論量子力學在各方面的應用而得到證實。注意

（2）Schr?dinger方程在非相對論量子力學中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學中的地位相仿,只要給出粒子在初始時刻的波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時刻的波函數(shù)?！?.3薛定諤方程（續(xù)6）Schr?dinger方程（9）

哈密頓算符

（8）35（1）Schr?dinger作為一個基本假設提出來，它的正§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律1．幾率守恒定律由Schr?dinger方程

（1）

則設是粒子狀態(tài)的歸一化波函數(shù)取復共軛

討論粒子在一定空間區(qū)域內出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化代入（1）式后，有

36§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律1．幾率守恒定律由Schr（2）令稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程（3）（2）

幾率連續(xù)性方程與經(jīng)典電動力學中的電荷守恒方程具有相同的形式。（3）式對空間V作體積分§2.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)1）(4)37（2）令稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程（3）（2）幾率當時(4)式表明:粒子單位時間在內出現(xiàn)的幾率的增量等于單位時間內流入內的幾率(負號表示流入)。(3)式是幾率守恒守律的積分形式。(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恒。表明波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅?！?.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)２）38當時(4)式表明:粒子單位時間在內出現(xiàn)的——量子力學的電荷密度——量子力學的質量流密度——量子力學的電流密度——量子力學的質量密度2．電荷守恒定律，粒子數(shù)守恒設粒子的電荷為，質量為——量子力學的電荷守恒律——量子力學的物質守恒律§2.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)３）39——量子力學的電荷密度——量子力學的質量流密度——量子力學3．波函數(shù)的標準條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計解釋，是粒子在

時刻出現(xiàn)在點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求應是的單值函數(shù)且有限。（2）根據(jù)粒子數(shù)守恒定律:此式右邊含有及其對坐標一階導數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續(xù)且其一階導數(shù)亦連續(xù)。

概括之，波函數(shù)在全空間每一點應滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標準條件?！?.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)４）403．波函數(shù)的標準條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計解釋，§2.5

定態(tài)薛定諤方程

1．定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)（1）

（2）

若與無關，則可以分離變量，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與無關的常數(shù)（4）41§2.5定態(tài)薛定諤方程

1．定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)（1）（2）（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可見分離變量中引入的常數(shù)為粒子的能量，當粒子處在由波函數(shù)（6）所描述的狀態(tài)時，粒子的能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)1）2．定態(tài)Schr?dinger方程

當粒子處在定態(tài)中時，具有確定的能量，其空間波函數(shù)由方程（3），即由 42（5）（6）(5)代入(2)式，得到令deBro在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?dinger方程。

（7）§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)2）3.Hamilton算符和能量本征值方程（8）

（9）

這兩個方程都是以一個算符作用在定態(tài)波函數(shù)上，得出定態(tài)能量乘以該定態(tài)波函數(shù)，因此算符43在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?ding（10）均稱為能量算符（11）

§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)3）利用哈密頓算符(能量算符)可將方程(9)和定態(tài)Schr?dinger方程(7)和分別寫成（12）

（13）

和兩式均稱為哈密頓算符(能量算符)的本征方程的本征函數(shù)能量本征值

為本征波函數(shù)44（10）均稱為能量算符（11）§2.5定態(tài)薛定諤方程（

當體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時，粒子的能量有確定的值。

討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中的能量

；解能量算符本征方程（12）求定態(tài)波函數(shù)的問題又歸結為解定態(tài)Schr?dinger方程+定解條件構成的本征值問題:

§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)5）定解條件本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài)

45當體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時4.求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個標準條件求解能量的本征值問題，得：本征函數(shù)本征能量§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)7）（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應第個本征值

的定態(tài)波函數(shù)464.求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方與無關5．定態(tài)的性質（2）幾率流密度與時間無關（1）粒子在空間幾率密度與時間無關與無關判別定態(tài)的方法：§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)8）（1）能量是否為確定值（2）幾率與時間無關（3）幾率流密度與時間無關47與無關5．定態(tài)的性質（2）幾率流密度與時間無關（1）粒子1.下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？（1）

（2）

（3）

思考題

2.如果一個粒子只有兩個可能位置,在量子力學中其波函數(shù)怎樣?意義又如何?481.下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？（1）（2）§2.6一維無限深勢阱在繼續(xù)闡述量子力學基本原理之前，先用Schrodinger方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題（一維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘貫穿）。（1）有助于具體理解已學過的基本原理；（2）有助于進一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問題，數(shù)學簡單，從而能對結果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；

（4）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎。其好處主要有四：49§2.6一維無限深勢阱在繼續(xù)闡述量子力學基本原1．定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符無限深勢阱-aa0U(x)§2.6一維無限深勢阱（續(xù)1）(1)(2)考慮一維粒子的運動，其勢能為:501．定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符無限深勢阱-aa2．定態(tài)Schr?dinger方程的解因及有限，由（2）

（3）令（4）（1）

從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁?！?.6一維無限深勢阱（續(xù)2）其通解為：（5）

利用的連續(xù)性，由（3）和（5）得512．定態(tài)Schr?dinger方程的解因及有限，當，有（n為偶數(shù)）

(6)當，有（n為奇數(shù)）

(7)§2.6一維無限深勢阱（續(xù)3）(6)和(7)兩式統(tǒng)一寫成（8）

本征能量：（9）

52當，有（n為偶數(shù)）(6)當本征函數(shù)§2.6一維無限深勢阱（續(xù)4）（10）

為偶數(shù)（11）

為奇數(shù)(10)和(11)兩式統(tǒng)一寫成由歸一化條件求得歸一化常數(shù)53本征函數(shù)§2.6一維無限深勢阱（續(xù)4）（10）為偶數(shù)（1推導:（取實數(shù)）§2.6一維無限深勢阱（續(xù)5）（12）

歸一化的本征函數(shù)54推導:（取實數(shù)）§2.6一維無限深勢阱（續(xù)5）（12）歸or

由此可見：粒子的每個定態(tài)波函數(shù)是由兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。3．粒子的定態(tài)波函數(shù)§2.6一維無限深勢阱（續(xù)6）55or由此可見：粒子的每個定態(tài)波函數(shù)是由4．幾率幅與幾率密度曲線圖§2.6一維無限深勢阱（續(xù)7）564．幾率幅與幾率密度曲線圖§2.6一維無限深勢阱（續(xù)7）55.宇稱空間反射：空間矢量反向的操作。稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）稱波函數(shù)具有負宇稱（或奇宇稱）（3）在空間反射下，如果則稱波函數(shù)沒有確定的宇稱。（1）在空間反射下，如果有：

則稱波函數(shù)有確定的宇稱?！?.6一維無限深勢阱（續(xù)8）575.宇稱空間反射：空間矢量反向的操作。稱波函數(shù)具有正宇稱（或討論基態(tài)能量（3）取負整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)?！?.6一維無限深勢阱（續(xù)9）（1）能量取分離譜，即能量是量子化的。(2)粒子能量最低的態(tài)稱為基態(tài)與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，因為“靜止的波”是沒有意義的，亦即的態(tài)不存在，無意義。58討論基態(tài)能量（3）取負整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)?！?.本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點對稱：

而導致的。（5）束縛態(tài)——通常將在無窮遠處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。§2.6一維無限深勢阱（續(xù)10）（4）當為偶數(shù)時，，即具有負宇稱（奇宇稱）。當為奇數(shù)時，，即具有正宇稱（偶宇稱)。59本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點對稱：（5）束縛態(tài)——通?！?.7線性諧振子

在經(jīng)典力學中，當質量為的粒子，受彈性力作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子稱為（線性）諧振子。經(jīng)典允許的振動范圍諧振子在運動中能量守恒。其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)。1.經(jīng)典諧振子諧振子哈密頓量：引言諧振子能量：60§2.7線性諧振子在經(jīng)典力學中，當質量為的粒子，

量子力學中的線性諧振子是指在勢場中運動的質量為的粒子

2.量子諧振子例如雙原子分子，兩原子間的勢是二者相對距離的函數(shù)，如圖所示。自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的?！?.7線性諧振子（續(xù)1）61量子力學中的線性諧振子是指在勢場在處，有一極小值。在附近，勢可以展開成泰勒級數(shù)：axV(x)0V0記若取，即平衡位置處于勢點；并記，則§2.7線性諧振子（續(xù)2）62在處，有一極小值。在附近，勢可以展Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinger方程：

1.Schr?dinger方程（1）

改寫成令

（為待定常數(shù)）（2）

（3）

§2.7線性諧振子（續(xù)3）63Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinge于是方程（2）可寫成（4）

2.方程的求解當時，方程（4）的漸近形式為

（5）

方程（5）在處的有限解為

令方程（4）的解

（6）

代入方程（4）可得滿足的微分方程

§2.7線性諧振子（續(xù)4）64于是方程（2）可寫成（4）2.方程的求解當時本征函數(shù):用常微分方程的冪級數(shù)解法求厄密方程（7）滿足有限性條件（8）的有限解，可得厄密方程本征值問題的本征值：(8)（稱為厄密方程）(7)(9)稱為厄密多項式§2.7線性諧振子（續(xù)5）65本征函數(shù):用常微分方程的冪級數(shù)解法求厄密方程（7）滿足厄密多項式的微分形式積分公式(10)幾個厄密多項式：§2.7線性諧振子（續(xù)6）66厄密多項式的微分形式積分公式(10)幾個厄密多項式：§2.由歸一化條件(11)并運用積分公式：

求得歸一化常數(shù)(12)3.線性諧振子的能量本征函數(shù)(13)歸一化的本征函數(shù)§2.7線性諧振子（續(xù)7）67由歸一化條件(11)并運用積分公式：求得歸一化常數(shù)(12)本征波函數(shù)(14)4.線性諧振子的本征能量由(2)和(9)式,即由和得本征能量:

(15)§2.7線性諧振子（續(xù)8）68本征波函數(shù)(14)4.線性諧振子的本征能量由(2)和(9)1能量的本征值：

（1）能量譜為分離譜，兩能級的間隔為

（2）對應一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的，每個能級的簡并度為1（一能級對應的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度）（3）基態(tài)能量：（又稱零點能）

零點能不等于零是量子力學中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應，已被絕對零點情況下電子的晶體散射實驗所證實。討論§2.7線性諧振子（續(xù)9）691能量的本征值：（1）能量譜為分離譜，兩能級的間隔為（基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：2.基態(tài)在處的勢能：在范圍內動能由幾率密度看出,粒子在處出現(xiàn)的幾率最大；在范圍內，粒子出現(xiàn)的幾率不為零。對其它各能級狀態(tài)下的波函數(shù)可作類似的分析。

§2.7線性諧振子（續(xù)10）70基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：2.基態(tài)在處的

在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運動。這是因為振子在處，其勢能，即勢能等于總能量，動能為零，經(jīng)典的粒子動能不可以小于零，因此粒子被限制在內?？梢姡孔优c經(jīng)典情況完全不同。3.具有宇稱§2.7線性諧振子（續(xù)11）

上式諧振子波函數(shù)所包含的是的偶函數(shù)，所以的宇稱由厄密多項式的宇稱決定。由于的最高次項是。當偶數(shù)，則厄密多項式只含ξ的偶次項(偶宇稱)；當奇數(shù)，則厄密多項式只含ξ的奇次項(奇宇稱)。所以,具有宇稱71在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運動。這是4．本征函數(shù)與幾率密度§2.7線性諧振子（續(xù)12）724．本征函數(shù)與幾率密度§2.7線性諧振子（續(xù)12）72§2.7線性諧振子（續(xù)13）73§2.7線性諧振子（續(xù)13）73n=10時諧振子的幾率密度

從以上本征函數(shù)與幾率密度曲線圖看出，量子力學的諧振子波函數(shù)ψn有n個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。§2.7線性諧振子（續(xù)14）74n=10時諧振子的幾率密度從以上本征函數(shù)與幾率密度曲線勢壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢場散射的問題§2.8

勢壘貫穿Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

一維方勢壘方勢壘是一種典型勢壘75勢壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢場散射的問題§2.8勢壘貫（1）E>U0情形1.定態(tài)薜定諤方程0aV(x)V0IIIIIIE令

§2.8勢壘貫穿76（1）E>U0情形1.定態(tài)薜定諤方程0aV則方程變?yōu)榉謪^(qū)取解ⅠⅡⅢ2.方程的求解向右傳播的入射平面波向左傳播的反射平面波由左向右的透射波因Ⅲ區(qū)無由右向左傳播的平面波，故三式均為兩個左右傳播的平面波的疊加§2.8勢壘貫穿77則方程變?yōu)榉謪^(qū)取解Ⅰ2.方程的求解向右傳播的入射平面波向左

可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅間的關系聯(lián)立這四個方程式，消除與由波函數(shù)的連續(xù)性條件

（4）§2.8勢壘貫穿78可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅（5）利用幾率流密度公式:求得入射波的幾率流密度

透射波的幾率流密度

反射波的幾率流密度

§2.8勢壘貫穿79（5）利用幾率流密度公式:求得入射波透

為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。3.透射系數(shù)和反射系數(shù)透射系數(shù)（6）反射系數(shù)（7）以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢壘到的III區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來。表明粒子數(shù)守恒§2.8勢壘貫穿80為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，（2）E<U0情形

是虛數(shù)Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實數(shù)其中在(4)和(6)式中，把換為

，得到透射波振幅:

（8）§2.8勢壘貫穿81（2）E<U0情形是虛數(shù)ⅠⅡⅢ令是實數(shù)其中在(4)和透射系數(shù):

（9）隧道效應（tunneleffect）

粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應.它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn)。當然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢壘穿透的波動圖象。此結果表明，即使，透射系數(shù)一般不等于零。0aV(x)V0入射波+反射波透射波x§2.8勢壘貫穿82透射系數(shù):（9）隧道效應（tunneleffect）當很小，或，而

又不太小時，有，則討論于是（10）式(9)化成1.低能粒子穿透因與

同數(shù)量級，則

故4可忽略§2.8勢壘貫穿表明

隨壘寬

和壘高

的增大而成指數(shù)減小。83當很小，或，而又不太小時，有

2.任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。對每一小方勢壘透射系數(shù)E0a