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文檔簡介

1第三節(jié)向量組的最大無關(guān)組與秩一、向量組的秩二、向量組的等價三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系2一、向量組的秩一個向量組所含的向量個數(shù)最多的無關(guān)部分組有什么性質(zhì)?問題定義2.3.1如果一個向量組Ω的一個部分組線性無關(guān),并且向量組中的任意一個向量都可以由線性表出,則稱為這個向量組的一個最大線性無關(guān)向量組,簡稱最大無關(guān)組.向量組Ω的最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)r稱為向量組Ω的秩,記作只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組,并規(guī)定它的秩為0.3例1設向量組A:

1=[1,1,1]T,

2=[2,1,0]T,

3=[3,2,1]T求A的一個最大無關(guān)組解因

1,

2線性無關(guān),

3=

1+

2

1,

2為A的一個最大無關(guān)組

1,

3和

2,

3也都是A的最大無關(guān)組例2n維單位坐標向量組ε1,ε2,…,εn是Rn的一個最大無關(guān)組因為向量組ε1,ε2,…,εn

線性無關(guān)而n+1個n維向量必然線性相關(guān),Rn的任一個向量都可由ε1,ε2,…,εn

線性表出所以ε1,ε2,…,εn

為Rn的一個最大無關(guān)組例P93：例2.2.7向量組的最大無關(guān)組是什么？最大無關(guān)組唯一嗎？不。7一個向量組的最大無關(guān)組與原向量組有什么關(guān)系?向量組最大無關(guān)組的四個基本問題

存在、唯一、個數(shù)、求法需要進一步討論兩個向量組之間的關(guān)系向量組最大無關(guān)組的幾個問題8二、向量組的等價設有兩個n維向量組A與B,如果向量組A的每個向量可由向量組B線性表出,則稱向量組A可由向量組B線性表出,如果向量組A和向量組B可以互相線性表出,則稱向量組A與向量組B是等價的,記為向量組A≌向量組B定義2.3.2從而11向量組A,B,C之間的等價具有下列性質(zhì)(1)自反性AA

(2)對稱性A

B=>B

A(3)傳遞性A

B,B

C=>A

C向量組的等價關(guān)系滿足：13推論2.3.1向量組的任意兩個最大無關(guān)組等價定理2.3.1向量組與它的任一最大無關(guān)組等價14定理2.3.2如果n維向量組

1,

2,

,

s可由n維向量組

1,

2,

,

t線性表出,并且s>t,則向量組

1,

2,

,

s必線性相關(guān)

如果向量組

1,

2,

,

s

可由向量組

1,

2,

,

t線性表出,并且

1,

2,

,

s線性無關(guān),則s≤t推論2.3.215兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相同推論2.3.3一個向量組的任意兩個最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同推論2.3.4推論2.3.5等價向量組的秩相等推論2.3.5的逆命題不成立16例3已知向量組

1,2可由向量組

1,2線性表示,即問這兩個向量組是否等價?解已知由

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