安徽省淮南二中高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年安徽省淮南二中高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(共10小題，每小題4分)1．化簡=（)A． B． C． D．2．已知，則在上的投影為（）A．﹣2 B．2 C． D．3．如果，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么（）A．該平面內(nèi)存在一向量不能表示，其中m，n為實數(shù)B．若向量與共線，則存在唯一實數(shù)λ使得C．若實數(shù)m，n使得,則m=n=0D．對平面中的某一向量，存在兩對以上的實數(shù)m，n使得4．在△ABC中,AB=，AC=1，B=,則△ABC的面積是(）A． B． C．或 D．或5．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a，b，c，滿足a2+bc≤b2+c2,則角A的范圍是(）A． B． C． D．6．若是夾角為的單位向量，且，,則=(）A．1 B．﹣4 C． D．7．藍(lán)軍和紅軍進行軍事演練，藍(lán)軍在距離的軍事基地C和D,測得紅軍的兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°，∠ACB=45°，如圖所示,則紅軍這兩支精銳部隊間的距離是（）A． B． C． D．8．如圖，在△ABC中，，P是BN上的一點，若，則實數(shù)m的值為（)A． B． C．1 D．39．在△ABC中，已知6?=2?=3?，則∠A=()A．30° B．45° C．120° D．135°10．定義兩個平面向量的一種運算?=｜|?｜｜sinθ，其中θ表示兩向量的夾角，則關(guān)于平面向量上述運算的以下結(jié)論中：①，②l（?）=（l）?,③若=l，則?=0,④若=l且l＞0，則（+）?=（?）+（?）．其中恒成立的個數(shù)是(）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題（共4小題，每小題4分）11．已知|｜=6，｜｜=8，且|+|=|﹣|,求|﹣|．12．若平面向量，滿足=1，平行于y軸，=（2，﹣1），則=．13．在△ABC中,角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，則△ABC的形狀是．14．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則：①若cosBcosC＞sinBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；②若acosA=bcosB，則△ABC為等腰三角形；③，,若,則△ABC為銳角三角形；④若O為△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上敘述正確的序號是．三、解答題（12分+10分+10分+12分）15．已知向量=(1，），=（﹣2，0)．（1）求｜﹣｜；（2）求向量﹣與的夾角；（3）當(dāng)t∈R時，求｜﹣t｜的取值范圍．16．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別a，b，c，已知,,且∥(1）證明sinBsinC=sinA；（2）若a2+c2﹣b2=ac，求tanC．17．已知A、B分別在射線CM、CN（不含端點C）上運動,∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c．（1)若b﹣a=c﹣b=2．求c的值；（2）若c=，∠ABC=θ,試用θ表示△ABC的周長，并求周長的最大值．18．（2)如圖,在△ABC中，D是BC的中點,==，(i）若?=4，?=﹣1，求?的值；（ii)若P為AD上任一點，且?≥?恒成立，求證：2AC=BC．

2016—2017學(xué)年安徽省淮南二中高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題,每小題4分)1．化簡=（）A． B． C． D．【考點】向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾何意義．【分析】根據(jù)向量加法的混合運算及其幾何意義即可求出．【解答】解：=（+）﹣(+）=﹣=,故選：D2．已知，則在上的投影為（）A．﹣2 B．2 C． D．【考點】平面向量的坐標(biāo)運算．【分析】根據(jù)投影的定義在上的投影為．【解答】解:根據(jù)投影的定義可得:===2，故選：D3．如果，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么（）A．該平面內(nèi)存在一向量不能表示，其中m，n為實數(shù)B．若向量與共線,則存在唯一實數(shù)λ使得C．若實數(shù)m,n使得，則m=n=0D．對平面中的某一向量,存在兩對以上的實數(shù)m，n使得【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】A，根據(jù)平面向量的基本定理可判定；B，若向量=，，則λ不存在；C，∴不共線，時,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=0．D，根據(jù)平面向量的基本定理可判定【解答】解：對于A，∵，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，根據(jù)平面向量的基本定理可得該平面任一向量一定可以表示，其中m，n為實數(shù)，故A錯；對于B,若向量=，，則λ不存在；對于C，∵,是平面內(nèi)所有向量的一組基底，∴不共線，時，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=0，故正確;對于D,根據(jù)平面向量的基本定理可得該平面任一向量一定可以表示，其中m,n為唯一實數(shù)對，故錯；故選：C4．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，則△ABC的面積是（）A． B． C．或 D．或【考點】正弦定理．【分析】先由正弦定理求得sinC的值,進而求得C，根據(jù)三角形內(nèi)角和求得A，最后利用三角形面積公式求得答案．【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==,∴C=，A=,S=AB?ACsinA=或C=，A=，S=AB?ACsinA=．故選D5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a,b,c，滿足a2+bc≤b2+c2,則角A的范圍是（）A． B． C． D．【考點】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可得cosA，結(jié)合A的范圍，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【解答】解:∵a2+bc≤b2+c2,可得：bc≤b2+c2﹣a2，∴cosA=≥=，∵A∈(0，π)，∴A∈（0，]．故選：B．6．若是夾角為的單位向量，且,,則=（）A．1 B．﹣4 C． D．【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】因為,，是夾角為的單位向量，代入后根據(jù)向量的數(shù)量積運算法則可得答案．【解答】解：∵,,是夾角為的單位向量∴=（2+）(﹣3+2）=﹣6+2+=﹣故選C．7．藍(lán)軍和紅軍進行軍事演練，藍(lán)軍在距離的軍事基地C和D，測得紅軍的兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如圖所示，則紅軍這兩支精銳部隊間的距離是（）A． B． C． D．【考點】解三角形的實際應(yīng)用．【分析】先在△BCD中，求得BC的長,再求得AC的長,最后在△ABC中利用余弦定理，即可求得AB的長,即伊軍這兩支精銳部隊的距離．【解答】解:在△BCD中,DC=,∠DBC=180°﹣30°﹣60°﹣45°=45°，∠BDC=30°,∴,∴BC=．在等邊三角形ACD中，AC=AD=CD=，在△ABC中,AC=，BC=，∠ACB=45°∴AB==．故選A．8．如圖,在△ABC中，，P是BN上的一點，若，則實數(shù)m的值為（)A． B． C．1 D．3【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)題意，設(shè)=λ，將向量表示成向量、的一個線性組合,再結(jié)合題中向量的等式，建立關(guān)于m、λ的方程組,解之即可得到實數(shù)m的值．【解答】解：∵，∴設(shè)=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故選：A9．在△ABC中，已知6?=2?=3?，則∠A=（)A．30° B．45° C．120° D．135°【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得6bc?cosA=﹣2ac?cosB=﹣3ab?cosC，再把余弦定理代入求得a2=5b2,c2=2b2，從而求得cosA=的值，進而求得A的值．【解答】解：設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，由已知6?=2?=3?，可得6bc?cosA=2ac?cos（π﹣B）=3ab?cos(π﹣C),即6bc?cosA=﹣2ac?cosB=﹣3ab?cosC．再利用余弦定理可得6bc?=﹣2ac?=﹣3ab?,化簡可得a2=5b2，c2=2b2，∴cosA==﹣，故A=135°，故選：D．10．定義兩個平面向量的一種運算?=｜｜?｜｜sinθ，其中θ表示兩向量的夾角，則關(guān)于平面向量上述運算的以下結(jié)論中：①,②l（?）=（l）?，③若=l,則?=0，④若=l且l＞0，則（+）?=(?)+（?）．其中恒成立的個數(shù)是（)A．5 B．4 C．3 D．2【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)由新定義，即可判斷①；首先運用新定義，再當(dāng)λ＜0時,即可判斷②;由向量共線得到sinθ=0，即可判斷③；先由向量共線，再由新定義，即可判斷④．【解答】解：對于①?=｜|?|｜sinθ=?，故恒成立，對于②l(?)=l|｜?|｜sinθ，(l）?=｜l｜?｜｜?|｜sinθ，當(dāng)l＜0時不成立,對于③若=l,則θ=0°或180°,則sinθ=0，故?=0，故成立對于④若=l且l＞0，設(shè)與的夾角為α，則與的夾角為α則+=（1+l），（+）?=（1+l）||?||?sinα,（?）+（?）=||?||?sinα+||?｜|?sinα=l｜|?｜｜?sinα+｜|?||?sinα=(1+l)｜｜?||?sinα，故成立,綜上可知：只有①③④恒成立故選：C二、填空題（共4小題，每小題4分)11．已知｜|=6，｜|=8,且|+|=|﹣|，求｜﹣｜．【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由｜+|=|﹣｜平方可得=0，再由向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．【解答】解：由于｜+|=|﹣|，則（）2=（）2，即有=，即有=0，則|｜===10．12．若平面向量,滿足=1，平行于y軸,=（2，﹣1）,則=(﹣2，0）或（﹣2，2)．【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)，以及向量模的坐標(biāo)運算即可求出．【解答】解：設(shè)=(x，y)，平行于y軸，得出=（x+2，y﹣1）=(0，y﹣1）,解得x=﹣2又∵足=11，∴（y﹣1）2=1解得y=0，或y=2∴=（﹣2，2）或（﹣2，0)故答案為：(﹣2，2)(﹣2,0)13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a,b，c，若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA,則△ABC的形狀是等腰或直角三角形．【考點】正弦定理．【分析】由正弦定理將已知化簡為三角函數(shù)關(guān)系式，可得cosA(sinB﹣sinA)=0，從而可得A=或B=A或B=π﹣A（舍去），即可判斷三角形的形狀．【解答】解：在△ABC中,∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA,C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA,∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A(舍去）,可得△ABC的形狀是等腰或直角三角形．故答案為：等腰或直角三角形．14．△ABC的三個內(nèi)角A,B，C的對邊分別是a,b,c，則：①若cosBcosC＞sinBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；②若acosA=bcosB,則△ABC為等腰三角形；③，，若，則△ABC為銳角三角形;④若O為△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C,,以上敘述正確的序號是①③④⑤．【考點】三角形中的幾何計算．【分析】對5個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解:①若cosBcosC＞sinBsinC，則cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，即﹣cosA＞0，cosA＜0,則∠A為鈍角，故△ABC一定是鈍角三角形，正確．②若acosA=bcosB，則由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°,則△ABC為等腰三角形或直角三角形，錯誤；③,,則=tanA+tanB+tanC=(1﹣tanAtanB）tan(A+B)+tanC＞0tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan(A+B)?0＞tanAtanBtan(A+B）∴必有A+B＞，且A，B都為銳角∴C也必為銳角，∴△ABC為銳角三角形,正確，④O為△ABC的外心，?=?（﹣）=?﹣?，=|｜?|｜cos＜,＞﹣|｜?｜｜?cos＜，＞=||2﹣|｜2=（b2﹣c2），正確，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，則由正弦定理得a2+b2=c2,則△ABC是直角三角形，∴（﹣）?(﹣)=0，∴﹣?（+）+=0，∴=﹣2，∵﹣=+，∴2=2+2+2，∴52=2+2，即結(jié)論成立．故答案為①③④⑤．三、解答題(12分+10分+10分+12分）15．已知向量=（1，）,=（﹣2,0)．（1)求｜﹣｜;（2)求向量﹣與的夾角；(3）當(dāng)t∈R時，求|﹣t｜的取值范圍．【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（1）由向量的加減運算和向量的模的公式，計算即可得到所求值;（2）求得（﹣）?=2﹣?=6，由向量的數(shù)量積的夾角公式，計算即可得到所求值;（3)運用向量的平方即為模的平方，化簡可得關(guān)于t的二次函數(shù)，配方即可得到最小值，即可得到所求范圍．【解答】解：（1)由向量=（1，），=(﹣2，0）,所以﹣=（1，)﹣（﹣2，0）=（3,）,｜﹣|==2;（2）由（﹣）?=2﹣?=4﹣（﹣2）=6，可得cos＜（﹣），＞===，由0≤＜（﹣)，＞≤π，所以向量﹣與的夾角為；（3）因為|﹣t｜2=2﹣2t?+t22=4t2+4t+4=4（t+）2+3，當(dāng)t=﹣時，上式取得最小值3．所以當(dāng)t∈R時，|﹣t|的取值范圍是．16．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別a,b，c，已知，，且∥（1）證明sinBsinC=sinA；（2)若a2+c2﹣b2=ac，求tanC．【考點】余弦定理的應(yīng)用．【分析】（1)運用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡整理即可得證；(2）運用余弦定理和同角的基本關(guān)系式，計算即可得到所求值．【解答】解：（1)證明:由,，且∥，可得=+，由正弦定理可得=+=1，即有sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，即為sin（B+C）=sinBsinC,則sinBsinC=sinA;（2）由（1)+=1,可得tanB+tanC=tanBtanC，由a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可得,cosB==?=,sinB==，可得tanB==,則tanC===．17．已知A、B分別在射線CM、CN（不含端點C）上運動，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c．（1）若b﹣a=c﹣b=2．求c的值；（2）若c=，∠ABC=θ,試用θ表示△ABC的周長，并求周長的最大值．【考點】解三角形的實際應(yīng)用．【分析】（1)根據(jù)b﹣a=c﹣b=2．用c表示a，b,利用余弦定理即可求c的值；（2）根據(jù)正弦定理求出AC，BC的長度，即可求出周長的最大值．【解答】解：（1)∵b﹣a=c﹣b=2,∴b=c﹣2，a=b﹣2=c﹣4＞0，∴c＞4．∵∠MCN=π，∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosπ,即c2=（c﹣4）2+（c﹣2)2﹣2(c﹣4)(c﹣2）×（﹣），整理得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（2）在△ABC中，由正弦定理可得，即，則AC=2sinθ,BC=2sin（）．∴△ABC的周長f（θ）=｜AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin（）+=2sin()+．又∵θ∈(0，），∴＜＜π，∴當(dāng)=，即θ=時,f（θ）取得最大值2+．18．（2)如圖，在△ABC